Из истории математики
"Много тысячелетий назад (заведомо до Моисея) в Египте жил замечательный математик, сделавший массу открытий. Он был землемером (отсюда "геометрия") фараона, и известно лишь имя, которое он получил при посмертном обожествлении, - Тот (в функции этого бога на том свете входила перевозка душ умерших в лодке через Стикс или Лету древнего Египта). Первое его математическое открытие - натуральный ряд: он обнаружил, что самого большого целого числа нет (идея актуальной бесконечности), до него числа исчерпывались суммой налога фараону. Тот научился проводить доказательства, основанные на факте существования актуальной бесконечности.
Вторым я назову не вполне математическое открытие: изобретение первого фонетического алфавита. До этого письменность в Египте была только иероглифической. Тот же уменьшил число символов до нескольких десятков, сообразив, что, скажем, звук "с" можно всегда изображать упрощенным иероглифом, ранее означавшим слово "собака".
В диалоге Платона "Федр" описано обсуждение Тотом и главным египетским богом Аммоном изобретения алфавита. Тот утверждает, что способность записывать информацию сделает людей гораздо умнее, так как им не придется все запоминать, а можно будет тратить ум на размышления. Аммон же возражает, говоря, что, хотя люди восхищены изобретением, умнее они не станут. "Напротив, - говорит он, - они станут глупее, так как отвыкнут думать, полагаясь на свои записи". (Компьютеризацию тогда еще не обсуждали.) Финикийский и еврейский алфавиты произошли от египетского алфавита Тота, а от финикийского - греческий, а от него впоследствии - и римская латиница, и наша кириллица.
Третье изобретение Тота - геометрия. Он придумал (ради измерения площадей участков, чтобы знать и ожидаемый урожай, и налог, и нужное для полива количество нильской воды) и аксиомы, и теоремы, и определения, и построения. Единственное, в чем он не дошел до современного уровня, было то, что он совершенно не интересовался независимостью своих аксиом. Например, вместо аксиомы параллельных Евклида, он ввел, кажется, четыре или пять разных аксиом, каждая из которых на самом деле влечет за собой все остальные. Но он этого не доказывал, а просто пользовался всеми "аксиомами", и честь выбрать из этих аксиом одну ("пятый постулат"), а остальные превратить в теоремы принадлежит Евклиду.
Среди геометрических достижений того времени (если не самого Тота, то его учеников) - замечательное измерение радиуса земного шара. От Фив до Мемфиса караваны верблюдов шли почти по меридиану, и посчитать число шагов (то есть расстояние) не составляло труда. Измерить разность высот Солнца в полдень в один и тот же день в обеих столицах Египта тоже сумели. После этого радиус легко вычислить; удивительно, однако, что относительная ошибка этого измерения составляла всего 1% (по сравнению с современными измерениями).
Греки провели измерение Земли заново (через пару сотен лет). Не располагая Нилом, они решили использовать Средиземное море и проплыли на север от устья Нила до острова Родос. Расстояние они измерили, умножив "скорость корабля при ветре средней силы" на время путешествия. Размер Земли при этом получился вдвое больше правильного (считать верблюжьи шаги легче, чем оценивать, средней ли силы ветер).
Интересно, что много столетий спустя один генуэзский капитан пришел к католической королеве с просьбой отправить его в Индию западным путем (вместо восточного, впоследствии пройденного Васко де Гамой). Королева тотчас назначила экспертную комиссию и вскоре отказала капитану, потому что, дескать, "невозможно построить корабль, который вместил бы столько бочек пресной воды, сколько нужно, дабы доплыть так далеко". Но капитан спорил, и после нескольких туров дискуссий с экспертами ему позволили рискнуть умереть от жажды (говорят, вся дискуссия основывалась на том, что эксперты верили греческой оценке размеров Земли, а капитан - египетской). Вот как была (случайно) открыта Америка.
Тот основал в Египте звездочетство и небесную механику. Если и не он сам, то, во всяком случае, его древние последователи знали закон обратных квадратов (притяжения планет Солнцем), законы Кеплера и вывод одного из другого. Ньютон писал, что, поскольку этот вывод сгорел (вместе с семью миллионами других научных книг) в пожаре Александрийской библиотеки, где хранилась вся наука древнего Египта, то ему (Ньютону) "принадлежит честь восстановления этого древнего доказательства". В греческой и средневековой версии Тот именовался "Гермесом Трисмегистом" ("трижды величайшим") и его труды переиздавались чуть ли не ежегодно под названием "Изумрудная скрижаль" - у Ньютона дома было несколько ее изданий.
В VII в. до н.э. римский царь Нума Помпилий (следующий после Ромула) построил на форуме храм Весты, внутри которого был гелиоцентрический планетарий. В центре горел факел, изображавший Солнце. Вокруг него каждую планету (Меркурий, Венеру, Землю с Луной, Марс, Юпитер, Сатурн - а больше они не знали) носила по кеплеровой эллиптической орбите назначенная для этого весталка (учитывая и период обращения, и закон площадей). Если кто хотел найти на небе, скажем, Сатурн, то он шел в храм Весты, становился около "Земли", смотрел, где сейчас держат "Сатурн", замечал направление и потом, выйдя из храма, обнаруживал настоящий Сатурн, глядя по этому направлению.
В средние века научные книги истребляли, кроме лишь "практически полезных" - по артиллерии, мореплаванию и архитектуре. В книге Витрувия по архитектуре (1 в. н.э.) я видел среди полезных для архитектора кривых описание эллипса, сопровождающееся рассказом о его астрономических приложениях в теории движения планет. И Ньютон, и Коперник знали об этих древних гелиоцентрических теориях и цитировали их, но эта древность мало кого интересовала.
Среди других многочисленных изобретений Тота - игра в шашки, придуманная им как демократизация слишком сложных шахмат. Последние существовали вдобавок в двух вариантах; во втором фигуры означали целые армии, и на каждой была надпись, указывающая численность армии, а битва иногда не уничтожала фигуру, то есть армию, а только уменьшала ее численность.
Пифагор был одним из первых в мире, как это сейчас называется, индустриальных шпионов. Он провел в Египте около двадцати лет. Египетские жрецы обучили его своим наукам, но потребовали от него подписку о неразглашении (вследствие чего он никогда ничего и не публиковал). Теорема Пифагора была опубликована (в Вавилоне клинописью) за пару тысяч лет до него, вместе с доказательством и с формулой для нахождения Пифагоровых троек (вроде 32 + 42 = 52), описывающих все прямоугольные треугольники с целыми длинами сторон. Кроме геометрии (о которой он рассказал своим греческим ученикам, донесшим ее до Евклида, уже не связанного подпиской о неразглашении и опубликовавшего эту тотовскую геометрию), Пифагор вывез из Египта независимую от индусской теорию переселения душ, базирующееся на ней вегетарианство и еще основы теории гармонии струнных музыкальных инструментов (формулу натяжения струн разных длин для получения одинаковой частоты - натяжение пропорционально квадрату длины; условия получения октавы, терции, квинты... - в сущности, теорию рядов Фурье).
Другими подобными Пифагору переносчиками египетских тайн в Грецию и в Европу были Платон (логика, философия) и Эвдокс (теория чисел, включая алгоритм Евклида и теорию иррациональных чисел типа теорий сечений Дедекинда или колец Тротендика). Последняя теория началась с открытия несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной (то есть с иррациональности числа Ц2 ), которое в пифагорейской школе было засекречено. Дело в том, что этот факт подрывал значение арифметической теории дробей (и тем самым всей математики): дроби оказывались недостаточными для потребностей физики (для измерения всевозможных длин), а следовательно, математики занимаются ненужной чепухой, их следует прогнать или по меньшей мере не кормить.
Пришлось добавлять к арифметике дробей новую науку - теорию вещественных чисел. Эту не такую уж простую задачу Евдокс блестяще решил, и сейчас удивительно, насколько его подход близок к современным (как в этом вопросе, так и в теории делимости и диофантовых уравнений). Открытие того, что такие факты, как однозначность разложения целого числа на простые множители, нуждаются в доказательствах, на самом деле не менее важно, чем проведение самого (впрочем, неочевидного) доказательства."
Отрывок из статьи В.И. Арнольда "МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ДУЭЛЬ ВОКРУГ БУРБАКИ".
Вторым я назову не вполне математическое открытие: изобретение первого фонетического алфавита. До этого письменность в Египте была только иероглифической. Тот же уменьшил число символов до нескольких десятков, сообразив, что, скажем, звук "с" можно всегда изображать упрощенным иероглифом, ранее означавшим слово "собака".
В диалоге Платона "Федр" описано обсуждение Тотом и главным египетским богом Аммоном изобретения алфавита. Тот утверждает, что способность записывать информацию сделает людей гораздо умнее, так как им не придется все запоминать, а можно будет тратить ум на размышления. Аммон же возражает, говоря, что, хотя люди восхищены изобретением, умнее они не станут. "Напротив, - говорит он, - они станут глупее, так как отвыкнут думать, полагаясь на свои записи". (Компьютеризацию тогда еще не обсуждали.) Финикийский и еврейский алфавиты произошли от египетского алфавита Тота, а от финикийского - греческий, а от него впоследствии - и римская латиница, и наша кириллица.
Третье изобретение Тота - геометрия. Он придумал (ради измерения площадей участков, чтобы знать и ожидаемый урожай, и налог, и нужное для полива количество нильской воды) и аксиомы, и теоремы, и определения, и построения. Единственное, в чем он не дошел до современного уровня, было то, что он совершенно не интересовался независимостью своих аксиом. Например, вместо аксиомы параллельных Евклида, он ввел, кажется, четыре или пять разных аксиом, каждая из которых на самом деле влечет за собой все остальные. Но он этого не доказывал, а просто пользовался всеми "аксиомами", и честь выбрать из этих аксиом одну ("пятый постулат"), а остальные превратить в теоремы принадлежит Евклиду.
Среди геометрических достижений того времени (если не самого Тота, то его учеников) - замечательное измерение радиуса земного шара. От Фив до Мемфиса караваны верблюдов шли почти по меридиану, и посчитать число шагов (то есть расстояние) не составляло труда. Измерить разность высот Солнца в полдень в один и тот же день в обеих столицах Египта тоже сумели. После этого радиус легко вычислить; удивительно, однако, что относительная ошибка этого измерения составляла всего 1% (по сравнению с современными измерениями).
Греки провели измерение Земли заново (через пару сотен лет). Не располагая Нилом, они решили использовать Средиземное море и проплыли на север от устья Нила до острова Родос. Расстояние они измерили, умножив "скорость корабля при ветре средней силы" на время путешествия. Размер Земли при этом получился вдвое больше правильного (считать верблюжьи шаги легче, чем оценивать, средней ли силы ветер).
Интересно, что много столетий спустя один генуэзский капитан пришел к католической королеве с просьбой отправить его в Индию западным путем (вместо восточного, впоследствии пройденного Васко де Гамой). Королева тотчас назначила экспертную комиссию и вскоре отказала капитану, потому что, дескать, "невозможно построить корабль, который вместил бы столько бочек пресной воды, сколько нужно, дабы доплыть так далеко". Но капитан спорил, и после нескольких туров дискуссий с экспертами ему позволили рискнуть умереть от жажды (говорят, вся дискуссия основывалась на том, что эксперты верили греческой оценке размеров Земли, а капитан - египетской). Вот как была (случайно) открыта Америка.
Тот основал в Египте звездочетство и небесную механику. Если и не он сам, то, во всяком случае, его древние последователи знали закон обратных квадратов (притяжения планет Солнцем), законы Кеплера и вывод одного из другого. Ньютон писал, что, поскольку этот вывод сгорел (вместе с семью миллионами других научных книг) в пожаре Александрийской библиотеки, где хранилась вся наука древнего Египта, то ему (Ньютону) "принадлежит честь восстановления этого древнего доказательства". В греческой и средневековой версии Тот именовался "Гермесом Трисмегистом" ("трижды величайшим") и его труды переиздавались чуть ли не ежегодно под названием "Изумрудная скрижаль" - у Ньютона дома было несколько ее изданий.
В VII в. до н.э. римский царь Нума Помпилий (следующий после Ромула) построил на форуме храм Весты, внутри которого был гелиоцентрический планетарий. В центре горел факел, изображавший Солнце. Вокруг него каждую планету (Меркурий, Венеру, Землю с Луной, Марс, Юпитер, Сатурн - а больше они не знали) носила по кеплеровой эллиптической орбите назначенная для этого весталка (учитывая и период обращения, и закон площадей). Если кто хотел найти на небе, скажем, Сатурн, то он шел в храм Весты, становился около "Земли", смотрел, где сейчас держат "Сатурн", замечал направление и потом, выйдя из храма, обнаруживал настоящий Сатурн, глядя по этому направлению.
В средние века научные книги истребляли, кроме лишь "практически полезных" - по артиллерии, мореплаванию и архитектуре. В книге Витрувия по архитектуре (1 в. н.э.) я видел среди полезных для архитектора кривых описание эллипса, сопровождающееся рассказом о его астрономических приложениях в теории движения планет. И Ньютон, и Коперник знали об этих древних гелиоцентрических теориях и цитировали их, но эта древность мало кого интересовала.
Среди других многочисленных изобретений Тота - игра в шашки, придуманная им как демократизация слишком сложных шахмат. Последние существовали вдобавок в двух вариантах; во втором фигуры означали целые армии, и на каждой была надпись, указывающая численность армии, а битва иногда не уничтожала фигуру, то есть армию, а только уменьшала ее численность.
Пифагор был одним из первых в мире, как это сейчас называется, индустриальных шпионов. Он провел в Египте около двадцати лет. Египетские жрецы обучили его своим наукам, но потребовали от него подписку о неразглашении (вследствие чего он никогда ничего и не публиковал). Теорема Пифагора была опубликована (в Вавилоне клинописью) за пару тысяч лет до него, вместе с доказательством и с формулой для нахождения Пифагоровых троек (вроде 32 + 42 = 52), описывающих все прямоугольные треугольники с целыми длинами сторон. Кроме геометрии (о которой он рассказал своим греческим ученикам, донесшим ее до Евклида, уже не связанного подпиской о неразглашении и опубликовавшего эту тотовскую геометрию), Пифагор вывез из Египта независимую от индусской теорию переселения душ, базирующееся на ней вегетарианство и еще основы теории гармонии струнных музыкальных инструментов (формулу натяжения струн разных длин для получения одинаковой частоты - натяжение пропорционально квадрату длины; условия получения октавы, терции, квинты... - в сущности, теорию рядов Фурье).
Другими подобными Пифагору переносчиками египетских тайн в Грецию и в Европу были Платон (логика, философия) и Эвдокс (теория чисел, включая алгоритм Евклида и теорию иррациональных чисел типа теорий сечений Дедекинда или колец Тротендика). Последняя теория началась с открытия несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной (то есть с иррациональности числа Ц2 ), которое в пифагорейской школе было засекречено. Дело в том, что этот факт подрывал значение арифметической теории дробей (и тем самым всей математики): дроби оказывались недостаточными для потребностей физики (для измерения всевозможных длин), а следовательно, математики занимаются ненужной чепухой, их следует прогнать или по меньшей мере не кормить.
Пришлось добавлять к арифметике дробей новую науку - теорию вещественных чисел. Эту не такую уж простую задачу Евдокс блестяще решил, и сейчас удивительно, насколько его подход близок к современным (как в этом вопросе, так и в теории делимости и диофантовых уравнений). Открытие того, что такие факты, как однозначность разложения целого числа на простые множители, нуждаются в доказательствах, на самом деле не менее важно, чем проведение самого (впрочем, неочевидного) доказательства."
Отрывок из статьи В.И. Арнольда "МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ДУЭЛЬ ВОКРУГ БУРБАКИ".