Рассказывать надо так, чтобы был понятен смысл, и что-то осталось в голове спустя неделю после экзамена. (а) Единственность есть в достаточно регулярном случае. (б) Единственность может нарушаться в отдельных особых точках. (в) Пример: если время, за которое можно попасть в особую точку, конечно (тот самый интеграл), то единственность очевидным образом нарушается.
Но общий принцип должен быть такой: студентам надо доказывать теоремы анализа в самых естественных предположениях, когда доказательства в наименьшей степени обременены техническими деталями. 99.9% студентов никогда не столкнутся с более вырожденными ситуациями, даже если они станут математиками.
Но мне больше нравится рассказывать в основном об автономных дифференциальных уравнениях = векторных полях, рисовать картинки и доказывать теорему о выпрямлении векторного поля.
Разве f(x_0,t_0)\ne 0 достаточно? Как такое может быть, ведь можно изменить поле направлений линейно, сделав, скажем, горизонтали прямыми с наклоном 1?
Теорему Осгуда никто никогда студентам не рассказывает. Почему - не знаю. В книжке Петровского она есть, в остальных базовых популярных учебниках ее просто нет.
Теорема Осгуда это когда единственность имеет место, если заменить в оценках правой части липшцевость в виде F(u)=Cu на любую функцию с расходящимся в нуле интегралом от du/F(u) например u*Ln(u), u*Ln(Ln(u)). Пример u'=u^a, где a <1 показывает что требование расходящегося интеграла существенно. У Петровского в задачах предлагается доказать что какую бы функцию F(u) выше не взять всегда можно построить еще "лучшую"(как к примеру показывает башня из логарифмов
( ... )
0. Извиняюсь, в предыдущем комменте имелась в виду лемма Грёнволл`а. (Торопился, не думал.) 1. Теорему Осгуда я рассказываю студентам. Замена Липшицевости на "достаточно быстрое зануление" очень нравится студентам. И док-во очень простое. Собственно мой пост вызван именно этим фактом. К сожалению, само утверждение только для автономных систем. Но мне каждый раз кажется, что и в неавтономном случае что-то подобное верно. 2. Вряд ли существует простое/разумное "необходимое и достаточное" условие на единственность. Но мне хотелось бы условие легко формулируемое, без Липшица, но при этом покрывающее Липшицевский случай. (Шоб студентам жизнь облегчить)
Comments 10
Рассказывать надо так, чтобы был понятен смысл, и что-то осталось в голове спустя неделю после экзамена. (а) Единственность есть в достаточно регулярном случае. (б) Единственность может нарушаться в отдельных особых точках. (в) Пример: если время, за которое можно попасть в особую точку, конечно (тот самый интеграл), то единственность очевидным образом нарушается.
Но общий принцип должен быть такой: студентам надо доказывать теоремы анализа в самых естественных предположениях, когда доказательства в наименьшей степени обременены техническими деталями. 99.9% студентов никогда не столкнутся с более вырожденными ситуациями, даже если они станут математиками.
Но мне больше нравится рассказывать в основном об автономных дифференциальных уравнениях = векторных полях, рисовать картинки и доказывать теорему о выпрямлении векторного поля.
Reply
Reply
Разве f(x_0,t_0)\ne 0 достаточно? Как такое может быть, ведь можно изменить поле направлений линейно, сделав, скажем, горизонтали прямыми с наклоном 1?
Reply
Reply
Reply
Я её рассказываю. Собственно именно через неё получается единственность.
Reply
Reply
1. Теорему Осгуда я рассказываю студентам. Замена Липшицевости на "достаточно быстрое зануление" очень нравится студентам. И док-во очень простое.
Собственно мой пост вызван именно этим фактом. К сожалению, само утверждение только для автономных систем.
Но мне каждый раз кажется, что и в неавтономном случае что-то подобное верно.
2. Вряд ли существует простое/разумное "необходимое и достаточное" условие на единственность. Но мне хотелось бы условие легко формулируемое, без Липшица, но при этом покрывающее Липшицевский случай. (Шоб студентам жизнь облегчить)
Reply
f(t,x)-f(t_0,x_0)=f(t,x) < С(x-x_0)
Reply
Reply
Leave a comment