Проект "логика для чайников" - параграф 25
Измерение истинности: многозначная логика
Во многих случаях для оценки истинности достаточно двух значений - истина и ложь. Но иногда хочется получить более тонкие градации.
“Измерение” истинности сводится к проверке: можно или нельзя называть определенные вещи определенными именами. В двузначной логике ответ должен быть либо “да, можно”, либо “нет, нельзя”. В многозначной логике допускаются и другие ответы.
Почему-то, когда речь заходит о выборе между двузначной и многозначной логикой, многие люди впадают в крайности. Одни превозносят многозначную как способ решения давних проблем в будущем. Особенно любят по этому поводу “поминать всуе” нечеткую логику. Другие презрительно оттопыривают губу и заявляют, что многозначная логика - баловство, и все надо сводить к двузначной. Спрашивается, почему бы не использовать и то, и другое в зависимости от обстоятельств?
Для других измерений этот подход кажется вполне закономерным. Возьмем, к примеру, взвешивание. Если бы на весах было всего два деления: “тяжелое” и “легкое”, то такие весы можно было бы применять для срабатывания какого-нибудь механизма. Наступил маленький ребенок на плиту перед лифтом - дверь не открылась, наступил взрослый - открылась. Для этих весов точная масса не важна. Благодаря чему, весы можно сделать проще и дешевле. Но в других случаях хочется узнать вес точнее, и тогда нужны более или менее точные весы со множеством делений.
А теперь расскажу о том, какие “весы с делениями” бывают в логике.
Нечеткая логика
Многие понятия имеют “нечеткие” границы. Это было видно на примере с “черной лошадью”. Не определено четко, где граница между черным и нечерными лошадьми.
Во многих случаях нечеткость границы нас не волнует. Но иногда хочется другого: нарочно обратить внимание на эту нечеткость, и попытаться измерить ее.
Фактически, тут приходится измерять чувство уверенности, своего рода эмоцию. Такое измерение получается более-менее субъективным. Возможные градации истинности выражаются какими-нибудь числами или именами.
Самый известный пример применения нечеткой логики - это оценки в школе. Учителю предлагается оценить истинность высказывания: “ученик усвоил материал”. Учитель может ответить: “отлично” - то есть, да, усвоил так, что придраться практически не к чему. Это что-то вроде “истины”. Учитель может ответить “плохо” - то есть, не усвоил вовсе. Это что-то вроде “лжи”. Но между ними есть еще промежуточные градации: “хорошо” и “удовлетворительно”. Вместо словесных обозначений можно использовать оценки-числа: 5, 2, 4, 3. Если мы не используем оценку “1”, то здесь у нас получится 4 градации, то есть, логика школьных оценок - четырехзначная.
В целом, любое применение нечеткой логики предполагает, что истинность какого-то высказывания оценивается по некоторой шкале с большим или меньшим числом градаций.
Вероятностная логика
Если событие, которое описано в высказывании, еще не произошло, то оно может и не произойти.
Например:
“Я брошу монетку, и она упадет орлом вверх”.
Истинно это высказывание или ложно? Обычно монетка падает орлом вверх только в половине случаев. Если я скажу, что это истина, а монетка упадет решкой вверх, значит, я солгу. Но если я скажу, что это высказывание ложно, а монетка все-таки упадет орлом вверх, тогда я тоже солгу (т.к. назвал истину ложью).
Вероятностная логика позволяет преодолеть эту трудность, сказав, что высказывание истинно с вероятностью 1/2. Слово “вероятность” означает примерно то же самое, что и слово “шанс”. Наверное, вы слышали о теории вероятностей, так это примерно то же самое, что и вероятностная логика.
Могут быть и другие причины применения вероятностной логики. Например, я бросаю монетку, ловлю ее в руку и, не глядя, прячу за спину. А потом произношу то самое высказывание. Хотя случайное событие уже произошло, но я все равно не могу сказать, истинно высказывание или ложно, пока не подсмотрю, как она упала.
Далее я могу выбросить монетку, не глядя. А потом сказать:
“Монетка в моем кулаке лежала орлом вверх”
Тут уже нельзя даже выяснить, как она на самом деле падала. Остается только говорить о вероятности.
Вероятности выражаются действительными числами от 0 до 1. Поскольку таких чисел бесконечно много, то вероятностная логика - бесконечнозначная.
Другие логики
Есть и другие вариации на тему многозначных логик. Вот, например, голосование на выборах. Там предлагается оценить истинность высказывания “Наш народ хочет этого президента”. 30% проголосовали за него - значит, высказывание истинно для 30% “народа” или на 30% истинно.
Вместо истинности высказывания можно оценить какой-нибудь параметр, от которого истинность зависит. Например, вместо того чтобы спорить “тяжелый” или “легкий”, можно называть вес в килограммах, а вместо того, чтобы спорить “быстрый” или “медленный” назвать скорость в километрах в час. Это уже будет не логика, а физика или любая другая наука с измерением, но принцип очень похож на многозначную логику.
Во многих случаях для оценки истинности достаточно двух значений - истина и ложь. Но иногда хочется получить более тонкие градации.
“Измерение” истинности сводится к проверке: можно или нельзя называть определенные вещи определенными именами. В двузначной логике ответ должен быть либо “да, можно”, либо “нет, нельзя”. В многозначной логике допускаются и другие ответы.
Почему-то, когда речь заходит о выборе между двузначной и многозначной логикой, многие люди впадают в крайности. Одни превозносят многозначную как способ решения давних проблем в будущем. Особенно любят по этому поводу “поминать всуе” нечеткую логику. Другие презрительно оттопыривают губу и заявляют, что многозначная логика - баловство, и все надо сводить к двузначной. Спрашивается, почему бы не использовать и то, и другое в зависимости от обстоятельств?
Для других измерений этот подход кажется вполне закономерным. Возьмем, к примеру, взвешивание. Если бы на весах было всего два деления: “тяжелое” и “легкое”, то такие весы можно было бы применять для срабатывания какого-нибудь механизма. Наступил маленький ребенок на плиту перед лифтом - дверь не открылась, наступил взрослый - открылась. Для этих весов точная масса не важна. Благодаря чему, весы можно сделать проще и дешевле. Но в других случаях хочется узнать вес точнее, и тогда нужны более или менее точные весы со множеством делений.
А теперь расскажу о том, какие “весы с делениями” бывают в логике.
Нечеткая логика
Многие понятия имеют “нечеткие” границы. Это было видно на примере с “черной лошадью”. Не определено четко, где граница между черным и нечерными лошадьми.
Во многих случаях нечеткость границы нас не волнует. Но иногда хочется другого: нарочно обратить внимание на эту нечеткость, и попытаться измерить ее.
Фактически, тут приходится измерять чувство уверенности, своего рода эмоцию. Такое измерение получается более-менее субъективным. Возможные градации истинности выражаются какими-нибудь числами или именами.
Самый известный пример применения нечеткой логики - это оценки в школе. Учителю предлагается оценить истинность высказывания: “ученик усвоил материал”. Учитель может ответить: “отлично” - то есть, да, усвоил так, что придраться практически не к чему. Это что-то вроде “истины”. Учитель может ответить “плохо” - то есть, не усвоил вовсе. Это что-то вроде “лжи”. Но между ними есть еще промежуточные градации: “хорошо” и “удовлетворительно”. Вместо словесных обозначений можно использовать оценки-числа: 5, 2, 4, 3. Если мы не используем оценку “1”, то здесь у нас получится 4 градации, то есть, логика школьных оценок - четырехзначная.
В целом, любое применение нечеткой логики предполагает, что истинность какого-то высказывания оценивается по некоторой шкале с большим или меньшим числом градаций.
Вероятностная логика
Если событие, которое описано в высказывании, еще не произошло, то оно может и не произойти.
Например:
“Я брошу монетку, и она упадет орлом вверх”.
Истинно это высказывание или ложно? Обычно монетка падает орлом вверх только в половине случаев. Если я скажу, что это истина, а монетка упадет решкой вверх, значит, я солгу. Но если я скажу, что это высказывание ложно, а монетка все-таки упадет орлом вверх, тогда я тоже солгу (т.к. назвал истину ложью).
Вероятностная логика позволяет преодолеть эту трудность, сказав, что высказывание истинно с вероятностью 1/2. Слово “вероятность” означает примерно то же самое, что и слово “шанс”. Наверное, вы слышали о теории вероятностей, так это примерно то же самое, что и вероятностная логика.
Могут быть и другие причины применения вероятностной логики. Например, я бросаю монетку, ловлю ее в руку и, не глядя, прячу за спину. А потом произношу то самое высказывание. Хотя случайное событие уже произошло, но я все равно не могу сказать, истинно высказывание или ложно, пока не подсмотрю, как она упала.
Далее я могу выбросить монетку, не глядя. А потом сказать:
“Монетка в моем кулаке лежала орлом вверх”
Тут уже нельзя даже выяснить, как она на самом деле падала. Остается только говорить о вероятности.
Вероятности выражаются действительными числами от 0 до 1. Поскольку таких чисел бесконечно много, то вероятностная логика - бесконечнозначная.
Другие логики
Есть и другие вариации на тему многозначных логик. Вот, например, голосование на выборах. Там предлагается оценить истинность высказывания “Наш народ хочет этого президента”. 30% проголосовали за него - значит, высказывание истинно для 30% “народа” или на 30% истинно.
Вместо истинности высказывания можно оценить какой-нибудь параметр, от которого истинность зависит. Например, вместо того чтобы спорить “тяжелый” или “легкий”, можно называть вес в килограммах, а вместо того, чтобы спорить “быстрый” или “медленный” назвать скорость в километрах в час. Это уже будет не логика, а физика или любая другая наука с измерением, но принцип очень похож на многозначную логику.