Последний бастион рациональности
Грустный праздник - день убийства Великого Иоанна Предтечи - в общем позади. (Церковный день начинается с вечера и заканчивается вечером.) И у меня возникло желание немного пошутить :)
Перед нами лист бумаги с двумя утверждениями:
1) Единорог существует.
2) Оба утверждения на этом листе ложны.
Рассмотрим сначала утверждение (2). Если бы оно было истинно, то оба утверждения были бы ложны. В частности, было бы ложно утверждение (2), и мы пришли бы к противоречию. Следовательно, утверждение (2) ложно. Значит, не верно, что оба утверждения ложны, поэтому по крайней мере одно из них истинно. Так как утверждение (2) не истинно, то истинно должно быть утверждение (1). Следовательно, Единорог существует.
;)
[Уверен, что у большинства читателей возникнет желание найти логическую ошибку в этом рассуждении, но большинство её там не найдёт. Разгадка сей загадки - под спойлером!]
Но сначала подсказка.
Это пример задачи, в которой не работает закон исключенного третьего. Нельзя доказывать от противного.
Вот ещё более простой пример для понимания.
"Данное утверждение, которое вот тут написано и Вы его сейчас читаете, ложно"
Если оно истинно, то оно говорит о себе правду, а оно говорит, что оно ложно. Значит, оно не может быть истинным.
А если оно ложно (а оно говорит, что оно ложно), то оно истинно. Значит, оно не может быть и ложным.
Значит, бывают такие утверждения, которые и не истинны, и не ложны.
[Ну, и вот обещанная загадка.]Второе утверждение из тех двух - как раз такое. Оно не истинно, но и не ложно.
Между тем, рассуждая, мы неявно исходили из постулата, что если оно не истинно, то оно ложно. К сожалению, в данном случае сам этот постулат ложен :(
Конечно, это ужасная ситуация, потому что на этом примере видно, что НЕ всегда вполне правильные логические рассуждения приводят к верному выводу.
Именно поэтому и возникла конструктивистская логика, в которой нет закона исключенного третьего. То есть, нет аксиомы, согласно которой "Либо А верно, либо А неверно". Конструктивистская логика существует, она разработана, ей можно пользоваться. Её недостаток в том, что она страшно тяжела и неповоротлива. Закон исключенного третьего резко облегчает работу ума. Потому математики предпочитают его использовать - так же, как физики Ньютоновскую механику.
Все знают, что она вообще-то неверна. Но используют, потому что при небольших скоростях она практически верна.
Здесь то же самое.
К сожалению, реальная ситуация ещё сложнее. Я разрешил для тебя это парадокс максимально простым способом, однако существует ещё несколько подходов к его разрешению:
Конструктивистская логика не является общепризнанной, а в целом среди математиков царит бардак и нет единого мнения, куда двигаться.
Ситуация смягчается тем, что в 99.9% случаев эта проблема неактуальна. Как и Ньютоновская механика в 99.9% случаев вполне достаточна для практических целей, хотя она, строго говоря, и неверна (а верна теория Эйнштейна).
Кстати, вот хорошая книга по теме.
Увы, современная математика, как и современная физика, в своей основе производит странное впечатление. Там ощущаются какие-то смысловые дыры.
Многие думают, что такие дыры есть в каких угодно других науках, но не в математике. И вот теперь уважаемый читатель знает правду. :)
[А если серьезно...]А если серьезно, то опереться в этой жизни можно только на Иисуса Христа. И, может быть, ещё на немногих проверенных близких людей, по-настоящему заслуживающих доверия.
Всё остальное - прах, егоже возметает ветр от лица земли. Математика, физика - без разницы.
Перед нами лист бумаги с двумя утверждениями:
1) Единорог существует.
2) Оба утверждения на этом листе ложны.
Рассмотрим сначала утверждение (2). Если бы оно было истинно, то оба утверждения были бы ложны. В частности, было бы ложно утверждение (2), и мы пришли бы к противоречию. Следовательно, утверждение (2) ложно. Значит, не верно, что оба утверждения ложны, поэтому по крайней мере одно из них истинно. Так как утверждение (2) не истинно, то истинно должно быть утверждение (1). Следовательно, Единорог существует.
;)
[Уверен, что у большинства читателей возникнет желание найти логическую ошибку в этом рассуждении, но большинство её там не найдёт. Разгадка сей загадки - под спойлером!]
Но сначала подсказка.
Это пример задачи, в которой не работает закон исключенного третьего. Нельзя доказывать от противного.
Вот ещё более простой пример для понимания.
"Данное утверждение, которое вот тут написано и Вы его сейчас читаете, ложно"
Если оно истинно, то оно говорит о себе правду, а оно говорит, что оно ложно. Значит, оно не может быть истинным.
А если оно ложно (а оно говорит, что оно ложно), то оно истинно. Значит, оно не может быть и ложным.
Значит, бывают такие утверждения, которые и не истинны, и не ложны.
[Ну, и вот обещанная загадка.]Второе утверждение из тех двух - как раз такое. Оно не истинно, но и не ложно.
Между тем, рассуждая, мы неявно исходили из постулата, что если оно не истинно, то оно ложно. К сожалению, в данном случае сам этот постулат ложен :(
Конечно, это ужасная ситуация, потому что на этом примере видно, что НЕ всегда вполне правильные логические рассуждения приводят к верному выводу.
Именно поэтому и возникла конструктивистская логика, в которой нет закона исключенного третьего. То есть, нет аксиомы, согласно которой "Либо А верно, либо А неверно". Конструктивистская логика существует, она разработана, ей можно пользоваться. Её недостаток в том, что она страшно тяжела и неповоротлива. Закон исключенного третьего резко облегчает работу ума. Потому математики предпочитают его использовать - так же, как физики Ньютоновскую механику.
Все знают, что она вообще-то неверна. Но используют, потому что при небольших скоростях она практически верна.
Здесь то же самое.
К сожалению, реальная ситуация ещё сложнее. Я разрешил для тебя это парадокс максимально простым способом, однако существует ещё несколько подходов к его разрешению:
Конструктивистская логика не является общепризнанной, а в целом среди математиков царит бардак и нет единого мнения, куда двигаться.
Ситуация смягчается тем, что в 99.9% случаев эта проблема неактуальна. Как и Ньютоновская механика в 99.9% случаев вполне достаточна для практических целей, хотя она, строго говоря, и неверна (а верна теория Эйнштейна).
Кстати, вот хорошая книга по теме.
Увы, современная математика, как и современная физика, в своей основе производит странное впечатление. Там ощущаются какие-то смысловые дыры.
Многие думают, что такие дыры есть в каких угодно других науках, но не в математике. И вот теперь уважаемый читатель знает правду. :)
[А если серьезно...]А если серьезно, то опереться в этой жизни можно только на Иисуса Христа. И, может быть, ещё на немногих проверенных близких людей, по-настоящему заслуживающих доверия.
Всё остальное - прах, егоже возметает ветр от лица земли. Математика, физика - без разницы.