Различные структуры на множествах

[oskar_808]

В математических текстах принято опускать обозначение структуры на множествах. Например, кольцо -- это тройка (R,+,*), где R -- множество, + и * -- отображения RxR-->R с некоторыми свойствами. Обозначают кольцо (R,+,*) просто R. В таком обозначении есть плюсы и минусы. Минус состоит в том, что на одном и том же множестве можно задавать разные

Comments

[arifulov_ph]

Если называют только множество-носитель, а операции только подразумеваются, всё выглядит привычно. Вот то, что можно пользоваться любым множеством, изоморфным носителю, не понял. Целые числа равномощны рациональным, но это неизоморфные кольца.

[oskar_808]

Множество целых чисел равномощно множеству рациональных чисел; следовательно, на множестве рациональных чисел можно ввести структуру кольца таким образом, что полученное кольцо будет изоморфно кольцу целых чисел (в категории колец). Разумеется, это кольцо не будет изоморфно кольцу рациональных чисел с обычными операциями на нём.

Ситуации, в которых перенос структуры может быть осмысленным, возникают тогда, когда строится новая структура с "неудобным" подстилающим множеством. Например, есть конструкция прямого произведения в категории алгебраических многообразий, дающая в результате не стандартное прямое произведение множеств (как множество пар), а нечто изоморфное стандартному прямому произведению. В таком случае удобно воспользоваться свойством изофибрантности забывающего функтора.

[arifulov_ph]

Спасибо.