p-адика для чайников 2
Итак, если запустить виндузовский калькулятор, перевести его в "научный" режим, ввести "-1" и переключиться в двоичную систему, то мы увидим:
x=1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Т.е. цепочку единиц от начала разрядной сетки и до двесятичной двоичной запятой. Если к такому числу прибавить в столбик единицу, то, поскольку
1+1=10 (в двоичной системе),
единичка будет переноситься по разрядам всё дальше и дальше влево, пока не ускачет за разрядную сетку, во всех ячейках при этом останутся нули. Таким образом,
x+1=0, т.е. x=-1.
Т.е. в некотором смысле сумма
1+2+4+8...+2n+...=-1.
Вспомним формулу для суммы геометрической прогрессии
1+q+q2+q3+...+qn+...=1/(1-q).
Если подставить в эту формулу q=2, то как раз получится 1/(1-2)=-1. Вот только формула эта выводится для |q|<1, а |2|>1, или всё же в каком-то смысле меньше 1?
Ведь чтобы ряд сходился нам надо, чтобы 2n->0, при n->oo (это я бесконечность так изобразил). Ну что же, если нельзя, но очень хочется, давайте объявим что 2n и в самом деле стремится к нулю. Т.е. объявим, что окрестность нуля за номером n состоит из всех чисел, которые делятся на 2n и самого нуля. При этом, как полагается, окрестности с большим номером оказываются вложены в окрестности с меньшим номером.
Вот только при ранее бесконечномалая последовательность 2-n уже стремится не к нулю, а в бесконечности. Так что приобретя право писать бесконечно много цифр слева от двичной запятой, мы потеряли право писать бесконечно много цифр справа от запятой. Причём, в отличие от обычной вещественной записи, знак минус перед числом нам никогда не понадобится (вспомните пример в начале текста). Ну да это нас пугать не должно, главное, чтобы конструкция была непротиворечива.
Ясно, что такие (2-адические) числа мы можем всегда складывать и вычитать. Сложнее понять, можно ли так же легко их умножать и делить. С умножением проще: пишем формальное умножение в столбик и радуемся, ибо вправо от запятой всегда будет конечное число цифр, а влево от запятой, нам никакие "хвосты" не страшны. А как с делением?
Оказывается, для того, чтобы деление на любое число кроме нуля было возможно систему счисления надо брать не абы какую, а с основанием в виде простого числа (или степени простого числа). Вот только, если вещественные числа, по какому бы основанию мы не взяли систему счисления, устроены одинаково, такие вот "числа навыворот" (p-адические числа, читается "пэ-адические") для каждого простого p свои.
Удивительно, что такие числа находят применение не только в компьютерах, для хранения отрицательных чисел, но и в современной математической физике.
Продолжение следует (если хоть кто-то напишет, что ему это продолжение будет интересно).
( Часть 1)
x=1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Т.е. цепочку единиц от начала разрядной сетки и до двесятичной двоичной запятой. Если к такому числу прибавить в столбик единицу, то, поскольку
1+1=10 (в двоичной системе),
единичка будет переноситься по разрядам всё дальше и дальше влево, пока не ускачет за разрядную сетку, во всех ячейках при этом останутся нули. Таким образом,
x+1=0, т.е. x=-1.
Т.е. в некотором смысле сумма
1+2+4+8...+2n+...=-1.
Вспомним формулу для суммы геометрической прогрессии
1+q+q2+q3+...+qn+...=1/(1-q).
Если подставить в эту формулу q=2, то как раз получится 1/(1-2)=-1. Вот только формула эта выводится для |q|<1, а |2|>1, или всё же в каком-то смысле меньше 1?
Ведь чтобы ряд сходился нам надо, чтобы 2n->0, при n->oo (это я бесконечность так изобразил). Ну что же, если нельзя, но очень хочется, давайте объявим что 2n и в самом деле стремится к нулю. Т.е. объявим, что окрестность нуля за номером n состоит из всех чисел, которые делятся на 2n и самого нуля. При этом, как полагается, окрестности с большим номером оказываются вложены в окрестности с меньшим номером.
Вот только при ранее бесконечномалая последовательность 2-n уже стремится не к нулю, а в бесконечности. Так что приобретя право писать бесконечно много цифр слева от двичной запятой, мы потеряли право писать бесконечно много цифр справа от запятой. Причём, в отличие от обычной вещественной записи, знак минус перед числом нам никогда не понадобится (вспомните пример в начале текста). Ну да это нас пугать не должно, главное, чтобы конструкция была непротиворечива.
Ясно, что такие (2-адические) числа мы можем всегда складывать и вычитать. Сложнее понять, можно ли так же легко их умножать и делить. С умножением проще: пишем формальное умножение в столбик и радуемся, ибо вправо от запятой всегда будет конечное число цифр, а влево от запятой, нам никакие "хвосты" не страшны. А как с делением?
Оказывается, для того, чтобы деление на любое число кроме нуля было возможно систему счисления надо брать не абы какую, а с основанием в виде простого числа (или степени простого числа). Вот только, если вещественные числа, по какому бы основанию мы не взяли систему счисления, устроены одинаково, такие вот "числа навыворот" (p-адические числа, читается "пэ-адические") для каждого простого p свои.
Удивительно, что такие числа находят применение не только в компьютерах, для хранения отрицательных чисел, но и в современной математической физике.
Продолжение следует (если хоть кто-то напишет, что ему это продолжение будет интересно).
( Часть 1)