Чудо. Восхождение от абстрактного к конкретному.
Теорема.
Пусть А, В - некоторые равномощные множества.
f:А->В - биекция
g:B->A - обратная биекция, т е
gf eсть I(А) - тождественное отображение А на себя.
Тогда fg eсть I(В) - тождественное отображение В на себя.
Д-во очень просто.
Пусть у - произвольная точка в В. Т к f биекция, существует точка х в А, что fx = у
Т к g обратна f, to gу = х
Т е для любой точки у в В fgy = y - что и означает что fg - I(В).
В частности, это верно, если А и В совпадают - т е для биекций А на себя
FG = I влечёт что GF = I -
F и G - взаимно обратны.
Рассмотрим конкретный пример.
Пусть R(n) - n-мерное арифметическое пространство - т е пространство последовательностей действительных чисел длины n.
Рассмотрим в нём линейные биекции.
Пусть А - такая биекция. Если выбрать в R(n) какой-то базис е(i) (i пробегает значения от 1 до n) она записываются квадратной матрицой А размера nxn, где k-ая строка - значения координат е(k) в базисе е(i)
Пусть матрица А ортогональна , т е АхА* = Е
где Е - единичная матрица, а А* транспонирована А.
Т е - скалярный квадрат каждой строки А есть 1, а скалярные произведения разных строк А - нули.
Из общей теоремы выше получаем тогда
А*хА = E
T e скалярное произведение каждого столбца матрицы А на себя также единицы, а скалярные произведения разных столбцов - нули.
Т е мы получили такую арифметическую теорему.
Пусть дана 2-мерная таблица вещественных чисел А(i,j), где i, j пробегают все значения от 1 до n
Тогда если скалярные прозведения каждой строки на себя - единицы, а разных строк - нули - то тоже верно и для столбцов!
Т е мы из совершенно абстрактных соображений получили совершенно неочевидные арифметические следствия!
Мне всегда это казалось чем-то невероятным, настоящим чудом!
И сейчас кажется.
Математика - чудо красоты.
Конечно, интересны прямые арифметические д-ва. Они конечно существуют. Напримеp Александров(думаю это стандарт) в своём куpсе Ангема и линейки проводит вычисления с алгебраическими дополнениями, где вроде выходит что соответствующие суммы одинаковы(я не вникал, во всяком случае сейчас. Но это непрозрачно :-)
Пусть А, В - некоторые равномощные множества.
f:А->В - биекция
g:B->A - обратная биекция, т е
gf eсть I(А) - тождественное отображение А на себя.
Тогда fg eсть I(В) - тождественное отображение В на себя.
Д-во очень просто.
Пусть у - произвольная точка в В. Т к f биекция, существует точка х в А, что fx = у
Т к g обратна f, to gу = х
Т е для любой точки у в В fgy = y - что и означает что fg - I(В).
В частности, это верно, если А и В совпадают - т е для биекций А на себя
FG = I влечёт что GF = I -
F и G - взаимно обратны.
Рассмотрим конкретный пример.
Пусть R(n) - n-мерное арифметическое пространство - т е пространство последовательностей действительных чисел длины n.
Рассмотрим в нём линейные биекции.
Пусть А - такая биекция. Если выбрать в R(n) какой-то базис е(i) (i пробегает значения от 1 до n) она записываются квадратной матрицой А размера nxn, где k-ая строка - значения координат е(k) в базисе е(i)
Пусть матрица А ортогональна , т е АхА* = Е
где Е - единичная матрица, а А* транспонирована А.
Т е - скалярный квадрат каждой строки А есть 1, а скалярные произведения разных строк А - нули.
Из общей теоремы выше получаем тогда
А*хА = E
T e скалярное произведение каждого столбца матрицы А на себя также единицы, а скалярные произведения разных столбцов - нули.
Т е мы получили такую арифметическую теорему.
Пусть дана 2-мерная таблица вещественных чисел А(i,j), где i, j пробегают все значения от 1 до n
Тогда если скалярные прозведения каждой строки на себя - единицы, а разных строк - нули - то тоже верно и для столбцов!
Т е мы из совершенно абстрактных соображений получили совершенно неочевидные арифметические следствия!
Мне всегда это казалось чем-то невероятным, настоящим чудом!
И сейчас кажется.
Математика - чудо красоты.
Конечно, интересны прямые арифметические д-ва. Они конечно существуют. Напримеp Александров(думаю это стандарт) в своём куpсе Ангема и линейки проводит вычисления с алгебраическими дополнениями, где вроде выходит что соответствующие суммы одинаковы(я не вникал, во всяком случае сейчас. Но это непрозрачно :-)