2 совсем простые штучки из самого начала обучения математикe

[niktoinikak]

всегда производили и производят на меня впечатление чуда.
1. Равенство строчного и стобцового ранга матрицы. Как, почему?! Со временем понятно - из двойственности соответствующих пространств, но всё равно - чудо.
2. Хочу предложить задачку(разумеется не математикам - они знают).
Группа - это множество, где любые 2 элемента можно перемножить и при этом получается 3-ий элемент этого мн-ва(возможно совпадающий с одним из исходных).
При этом
1. Для любых а, в, c
(ав)с = а(вс)
2. Существует е такое, что для любого а
ае = еа = а (е - называется единицей группы)
и для любого а существует а', что aa' = a'a = e (a' - обратный элемент для а)
Оказывается, достаточно потребовать, чтобы существовала левая единица и левый обратный , т е если существует е такой,что для любого а
еа = а
и для любого а существует а' такой, что
а'а = е
то мн-во группа, т е тогда и
ае = а и aa' = e (для любого а)

Решение
[Spoiler (click to open)]пусть a'' - левый обратный для а', т е a'' a' = e
Тогда

ae = (а'' a')ae = a''a'aa'a = a''(a'a)a'a = a''ea'a = a''a'a = ea = a

т е левая единица заодно и правая. Ну тогда что левый обратный и правый получается легко.