По ту сторону реальности
Множество рациональных вещественных чисел всюду плотно. Это значит, что между двумя рациональными вещественными числами, как бы мало они ни отличались своими значениями, всегда можно втиснуть другое рациональное число, не совпадающее ни с одним из этих двух. Оно будет больше меньшего из них, но меньше большего.
Кроме того, над полем таких чисел определена замкнутая группа операций (ЕМНИП; могу ошибаться в термиологии) типа сложение-вычитание, умножение-деление. И какие вещественные рациональные числа в эти операции ни подставляй - за пределы множества оных чисел выйти не удастся. Ну, при конечном числе операций, это понятно.
То есть. Границ нет, пределов нет, ограничений нет. Всё гармонично, бесконечно и т.д. Нельзя выйти за границы, которых не удаётся нащупать и которые невидимы до степени несуществования.
Можно доказать, что квадратный корень из двойки - число иррациональное. Но для этого нужно сначала определить операцию извлечения квадратного корня. Для чего, в первую очередь, нужно определить возведение числа в квадрат. А это просто умножение числа на себя. То есть, вполне себе «рациональная» операция. Каковые, как известно, за пределы рациональных вещественных чисел оные числа вывести не могут. И не выводят.
То есть. Поиск операции, обратной некой немного экзотичной форме умножения (умножения на себя же) таки позволяет далее выйти за пределы. Хотя так, «в лоб» этих пределов не видно даже в теории.
Однако, интересный прецедент. ЕВПОЧЯ.
Кроме того, над полем таких чисел определена замкнутая группа операций (ЕМНИП; могу ошибаться в термиологии) типа сложение-вычитание, умножение-деление. И какие вещественные рациональные числа в эти операции ни подставляй - за пределы множества оных чисел выйти не удастся. Ну, при конечном числе операций, это понятно.
То есть. Границ нет, пределов нет, ограничений нет. Всё гармонично, бесконечно и т.д. Нельзя выйти за границы, которых не удаётся нащупать и которые невидимы до степени несуществования.
Можно доказать, что квадратный корень из двойки - число иррациональное. Но для этого нужно сначала определить операцию извлечения квадратного корня. Для чего, в первую очередь, нужно определить возведение числа в квадрат. А это просто умножение числа на себя. То есть, вполне себе «рациональная» операция. Каковые, как известно, за пределы рациональных вещественных чисел оные числа вывести не могут. И не выводят.
То есть. Поиск операции, обратной некой немного экзотичной форме умножения (умножения на себя же) таки позволяет далее выйти за пределы. Хотя так, «в лоб» этих пределов не видно даже в теории.
Однако, интересный прецедент. ЕВПОЧЯ.