Воистину короткое доказательство, что двух мнимых единиц - мало
Если помните, Гамильтон в течение десяти лет пытался придумать числа с двумя "мнимыми единицами", которые описывали бы поворот в пространстве, и у него ничего не получалось.
В самом начале "ликбеза по кватернионам" я привёл одно из самых простых доказательств, что этого не может быть. Простое в том плане, что читатель вовсе не обязан понимать всякие весёлые термины из теории групп и прочей абстрактной алгебры - надо лишь помнить, что такое собственные значения и собственные вектора.
Но сейчас я покажу вам доказательство совсем в три строчки, уровня средней школы :) Правда, мы рассматриваем частный случай, когда мы решили дополнить комплексные числа a+bi (как обычно, i2=-1) ещё одной "мнимой единицей", j. Оказывается, что как бы мы ни вводили правила относительно j, то есть, чему равно j2, чему равно ij и ji - результат будет всегда один - полученные числа не будут обладать ассоциативностью, т.е
a(bc) ≠ (ab)c,
а это очень и очень паршиво - повороты себя так не ведут!
Думаю эту штуку включить в книгу в качестве упражнения, с непременным ответом в конце книги.
Хоть мы и не знаем, чему равно ij, но оно явно должно выражаться через действительную часть и две мнимых единицы:
ij = α0 + α1i + α2j, (1)
где αn - действительные числа.
Помножим это равенство слева на i:
i·ij = α0i - α1 + α2ij.
Предположим, что данные числа обладают свойством ассоциативности. Тогда, мы имеем право в левой части сначала помножить между собой два i, а только потом результат умножить на j. Тем временем, в правой части вместо ij подставим его выражение через (1):
-j = α0i - α1 + α2(α0+α1i+α2j).
Это должно быть тождеством, а значит, в том числе, коэффициенты при j в левой и правой части должны быть равны:
-1 = (α2)2,
чего при действительной α2 быть просто не может. Мы пришли к противоречию, следовательно, ассоциативность не соблюдается.
"Слабость" этого доказательства в том, что мы непременно хотели "надстройку" над комплексными числами, а это вещь весьма и весьма специфическая! Обобщить результат, думаю, можно, но придётся попотеть. Показать, что любые гиперкомплексные числа с двумя компонентами так или иначе сводятся либо к комплексным, либо к дуальным (i2=0), либо к двойным числам (i2=1), причём последние два типа для описания поворотов уже заведомо не годятся.
PS. Если четырёхкомпонентные числа - это кватернионы, то трёхкомпонентные, над которыми Гамильтон так долго мучился - это тернионы (тернарный, терция - число три). Если так, то девизом Гамильтона был:
Через тернионы - к кватернионам, а потом к звёздам!
В самом начале "ликбеза по кватернионам" я привёл одно из самых простых доказательств, что этого не может быть. Простое в том плане, что читатель вовсе не обязан понимать всякие весёлые термины из теории групп и прочей абстрактной алгебры - надо лишь помнить, что такое собственные значения и собственные вектора.
Но сейчас я покажу вам доказательство совсем в три строчки, уровня средней школы :) Правда, мы рассматриваем частный случай, когда мы решили дополнить комплексные числа a+bi (как обычно, i2=-1) ещё одной "мнимой единицей", j. Оказывается, что как бы мы ни вводили правила относительно j, то есть, чему равно j2, чему равно ij и ji - результат будет всегда один - полученные числа не будут обладать ассоциативностью, т.е
a(bc) ≠ (ab)c,
а это очень и очень паршиво - повороты себя так не ведут!
Думаю эту штуку включить в книгу в качестве упражнения, с непременным ответом в конце книги.
Хоть мы и не знаем, чему равно ij, но оно явно должно выражаться через действительную часть и две мнимых единицы:
ij = α0 + α1i + α2j, (1)
где αn - действительные числа.
Помножим это равенство слева на i:
i·ij = α0i - α1 + α2ij.
Предположим, что данные числа обладают свойством ассоциативности. Тогда, мы имеем право в левой части сначала помножить между собой два i, а только потом результат умножить на j. Тем временем, в правой части вместо ij подставим его выражение через (1):
-j = α0i - α1 + α2(α0+α1i+α2j).
Это должно быть тождеством, а значит, в том числе, коэффициенты при j в левой и правой части должны быть равны:
-1 = (α2)2,
чего при действительной α2 быть просто не может. Мы пришли к противоречию, следовательно, ассоциативность не соблюдается.
"Слабость" этого доказательства в том, что мы непременно хотели "надстройку" над комплексными числами, а это вещь весьма и весьма специфическая! Обобщить результат, думаю, можно, но придётся попотеть. Показать, что любые гиперкомплексные числа с двумя компонентами так или иначе сводятся либо к комплексным, либо к дуальным (i2=0), либо к двойным числам (i2=1), причём последние два типа для описания поворотов уже заведомо не годятся.
PS. Если четырёхкомпонентные числа - это кватернионы, то трёхкомпонентные, над которыми Гамильтон так долго мучился - это тернионы (тернарный, терция - число три). Если так, то девизом Гамильтона был:
Через тернионы - к кватернионам, а потом к звёздам!