Школьная задачка про резисторы
Несколько лет в рамках педпрактики я вёл в МФТИ курс "Телекоммуникационные устройства" (http://nabbla1.livejournal.com/50723.html), ещё и плакатики нарисовал, правда, их на следующий же день сняли (http://nabbla1.livejournal.com/53274.html).
Как ни странно, студентам ФРТК - Факультета Радиотехники и Кибернетики - до 5-го курса так никто и не рассказывал, что за зверь такой волновое сопротивление и что будет, если его не согласовать, поэтому я решил сделать небольшой ликбез, буквально на 1-2 пары, причем так, что студенты сами маленькими шажками выводят все соотношения, благодаря чему они запоминаются куда лучше, а я получаю возможность худо-бедно проверить знания студентов. Идею я подсмотрел у Фейнмана.
Всё начинается с простой задачки о лестничной цепи резисторов (см. схему) - нужно найти общее сопротивление цепи. Потом мы резистор R1 заменяем на катушку L, а резистор R2 - на конденсатор C и ищем импеданс при некоторой частоте ω. Далее, начинаем уменьшать длину каждого звена, сказав, что L=L0Δx, C=C0Δx, где L0, C0 - погонные индуктивность и ёмкость, Δx - длина звена, которую мы устремим к нулю. Всё - у нас получится формула волнового сопротивления
Дальше можно подать на эту лестничную цепь некоторое напряжение и, решив диффур 1-го порядка, посмотреть, как напряжение распространяется вправо, т.е найти U(x), при условии, что U(0)=U0. Получаем ответ:
откуда видно - амплитуда остаётся неизменной, крутится только фаза, причём с ростом частоты линейно растёт фазовый набег. И наконец, последнее усилие - вместо источника синусоидального напряжения подключить к цепи источник напряжения произвольной формы u(t) и посмотреть форму сигнала на удалении x от начала цепи. Тут самое время вспомнить преобразование Фурье и применить его так или иначе. Хорошо если студент помнит ПФ от сдвинутого во времени сигнала, т.к это именно оно и есть. Не знает - ну хотя бы выведет, уже будет неплохо. Оказывается, что в такой цепи сигнал только запаздывает, но не меняет своей формы - ровно такое поведение мы интуитивно ожидали от линии передачи, но здесь вывели его на коленке. Уже сразу можно понять, как это применить на практике - обрубить "бесконечный хвост" линии передачи, а чтобы начало линии "ничего не заметило", поставить туда его эквивалент - резистор сопротивлением Z. Можно пофилософствовать над тем, как так вышло - у нас были чисто реактивные компоненты - катушки и конденсаторы, но внезапно полный импеданс стал чисто активным - так куда же пропадает мощность!? А на следующем занятии закрепить материал, уже честно записав систему дифференциальных уравнений для отрезка линии передачи и рассмотреть, как сигнал будет отражаться от несогласованных концов.
Такой метод я успел обкатать на нескольких группах студентов, в целом весьма позитивно, но в последний раз умудрился немножко сесть в лужу. Я слишком рано объяснил, зачем нам понадобилась эта задачка с резисторами, и студент у доски решил "срезать путь" - сразу же вместо резисторов поставить катушку и конденсатор, дескать "зачем лишнюю работу делать?". Ну пожалуйста, флаг в руки! Тут-то и притаилась ловушка!
Студент привычно сказал: сопротивление цепи Z не изменится,если мы добавляем ещё одно звено. Записал квадратное уравнение, нашёл его корни:
и впал в ступор: какой из них выбрать?
В оригинальной задаче с резисторами один из корней получался отрицательным и отбрасывался как "абсурдный" / "не соответствующий физике дела". Здесь же все комплексное, так что и отрицательные, и чисто мнимые, и какие угодно значения - вполне законны.
И возникает вопрос - какой из корней выбрать? Или вовсе взять оба, сказать, что задача имеет два решения? Ну и самое главное - а было ли у нас право так лихо отбрасывать отрицательный корень в исходной задаче и тем более - тупо подставить вместо резисторов катушку и конденсатор и ожидать, что ответ по-прежнему будет верен?
Сейчас я готов дать ответ, но предупреждаю: он довольно занудный.
В первую очередь скажем: решение задачи об общем сопротивлении цепи - единственное! Это "прямая задача" - мы взяли набор линейных элементов, спаяли их вместе и измеряем тестером. Он обязан что-то нам измерить, не будут же его показания прыгать от одного значения к другому! Если элементы нелинейные - ещё куда ни шло, можно придумать схемы с неустойчивым равновесием, которые убегут либо в одно состояние, либо в другое, но здесь явно не этот случай!
Если речь идет о бесконечной цепи, то мы её не сможем собрать, однако можем добавлять по одному звену и смотреть, что получается. Либо последовательность будет сходиться, тогда её предел и будет нашим ответом, либо она уйдет на бесконечность, тогда мы скажем, что цепь разорвана. И наконец, последовательность может не сходиться, тогда мы скажем, что задача поставлена некорректно.
Возьмём оригинальную задачу с резисторами. Сопротивление одного звена Z0=R1+R2. Далее, если у нас уже есть n-1 - звенная цепь с сопротивлением Zn-1, то добавив ещё одно звено, получим сопротивление
(мы пока считаем, что R1, R2 - действительные значения, больше нуля)
Эта последовательность будет ограничена с двух сторон - от R1 (Zn-1=0) до R1+R2, (Zn-1 -> ∞), кроме того, она монотонно убывающая. Это тоже можно понять «на пальцах» - когда мы к одному звену цепи справа присоединяем ещё одно, это новое звено шунтирует резистор R, что может только уменьшить общее сопротивление. Последовательность монотонно убывает и ограничена, следовательно, она сходится.
Приравняв Zn и Zn-1, мы получим уравнение, которому предел последовательности должен удовлетворять, но обратное неверно - корень уравнения не обязан являться пределом нашей последовательности.
Корней оказывается два,
а пределом последовательности является тот, который со знаком «+».
Зачем нам понадобилось столько занудства - станет ясно, когда мы попробуем заменить R1 на jωL, а R2 - на 1/jωC. Получаем следующую последовательность:
Уже сразу можно заметить, что все члены последовательности являются чисто мнимыми. Это тоже понятно - если мы соединяем между собой только реактивные элементы, которые не разогреваются, а лишь гоняют мощность взад-вперёд, то и цепь из них должна быть чисто реактивной, т.е с мнимым импедансом!
Мало того, при достаточно малой частоте (ω<1/2√LC) последовательность не сходится. Возьмём для примера ω=1, L=1, C=1/100. На графике показан результат.
Сойтись она просто не может: обозначив Xn = Im Zn, получим для мнимой компоненты следующее выражение:
Если Xn-1 < 0, то
откуда
а следовательно и Xn > Xn-1 - последовательность монотонно возрастает.
Далее, если 0 < Xn-1 < 100, то
следовательно
а значит, Xn > Xn-1 - рост продолжается, причём он ускоряется по мере приближения к 100 - ведь знаменатель становится всё ближе и ближе к нулю. Поэтому в какой-то момент Xn превысит 100, отчего последует скачок в отрицательные значения - и всё повторится.
Ситуация примерно такова: мы не можем прийти к бесконечной цепи, просто наращивая звенья - сколько бы звеньев мы ни прибавляли, на каждом этапе мы будем иметь конечную цепь, которая не потребляет активной мощности, а вместо этого рано или поздно возвращает её отправителю.
Ну а есть ли вообще смысл у двух корней, которые мы нашли ранее:
Да, он есть. Мы на самом деле решали вот какую задачу: «найти такой импеданс Z, что прибавляя к нему сколько угодно звеньев из катушки и конденсатора, мы всё равно получим полный импеданс цепи, равный Z».
Это, можно сказать, обратная задача - придумать, какую сделать цепь, чтобы выполнилось какое-то требование - и у такой задачи может быть несколько решений.
Так что мы можем всё-таки использовать такой подход для вывода волнового сопротивления - «если поставить в конце линии передачи резистор сопротивлением Z, то независимо от длины линии входное сопротивление тоже будет равно Z, и сигнал будет распространяться по линии без искажения формы, только с запаздыванием».
Второе решение, которое при бесконечно малых звеньях упростится до
- тоже имеет право на существование. Как ни странно, близкое к нему значение действительно используют в СВЧ-усилителях на основе тоннельного диода. Он присоединён к концу линии передачи, усиливает приходящий оттуда сигнал и отправляет назад. Если далее поставить циркулятор, то усиленный сигнал сможет пойти дальше куда надо. Не знаю, нашлось ли такому способу практическое применение, но в любом случае вещь интересная.
Если попытаться поставить на конце линии сопротивление в точности
, получается совсем странная картина - вместо запаздывания сигнала начинается его опережение, как будто бы он в обратную сторону распространяется. Подозреваю, что при попытке такое в железе реализовать, там попросту начнётся самовозбуд.
Вот такая вот, блин, элементарная задачка. Есть в ней действительно что-то фейнмановское.
Итого:
1. Первая задача про лестничную цепь резисторов - вполне корректна, однако чаще всего решается нестрого - не доказывается, что решение существует, а лишний корень отбрасывается "по наитию". Ведь отрицательное сопротивление - вещь вполне допустимая - им обладает газовый разряд, туннельный диод или специально сконструированные схемы. Скажем, я делал регулируемый источник питания для микродрельки, который имел вых. сопротивление -12 Ом. Я мог выставить напряжение 2 вольта вместо штатных 12, тогда дрелька вращается медленно и без визга бормашины, но если она встречает сопротивление, ток растёт, вместе с ним растёт напряжение на выходе, так что дрель получает силы преодолеть препятствие - сгрызает всё, продолжая гордо крутиться на малой скорости! Отбросить отрицательный корень в задачке нужно было потому, что к нему последовательность явно не сходится.
2. Задача про лестничную цепь из катушек и конденсаторов уже не так корректна: если мы будем наращивать по одному звену и смотреть получающийся импеданс, он будет продолжать скакать и никогда не выйдет на какое-либо установившееся значение. То, что подставляя L и C в ответ к предыдущей задаче, мы получаем осмысленный и интуитивно понятный результат - "сигнал, поданный на вход, бесконечно распространяется вдоль по цепи и никогда не вернётся назад, поэтому такая цепь выглядит как активное сопротивление - оно будто бы съедает всю поступающую мощность" - можно считать везением или искать какую-то более глубокую математическую подоплёку. В общем-то, это вполне в духе физиков (а такое решение предложил Фейнман в своих лекциях) - пробежать галопом к нужному решению, подсократив бесконечности там и тут, и прийти-таки к правильному ответу, с тем, чтобы ещё десятилетия спустя математики придумали новый аппарат, который это задним числом разрешит. Теория струн во многом опирается на тот "факт", что 1+2+3+... (сумма всех натуральных чисел) = -1/12 (см здесь.)
3. Тем не менее, можно вообще не задаваться вопросом, чему равен импеданс бесконечной цепи, а спросить лучше - какое сопротивление мы должны поставить, чтобы прибавление какого угодно числа L-C цепочек его не поменяло? Ровно эту задачу мы на самом деле решали, но вот проблема - оба корня имеют полное право на существование. Но это ничего - в конце концов, понятно, что положительным сопротивлением куда разумнее законцовывать цепь. Если же мы поставим отрицательное той же величины по модулю - проблем не оберемся, хотя было бы интересно эту тему ещё немножко копнуть.
Нужно ли возиться с этими лестничными цепями? Нужно ли при этом обращать внимание на все эти тонкости, или лучше вообще с самого начала браться за систему диффуров для линии передачи - не знаю. Было бы интересно услышать ваше мнение.
PS.
Как ни странно, студентам ФРТК - Факультета Радиотехники и Кибернетики - до 5-го курса так никто и не рассказывал, что за зверь такой волновое сопротивление и что будет, если его не согласовать, поэтому я решил сделать небольшой ликбез, буквально на 1-2 пары, причем так, что студенты сами маленькими шажками выводят все соотношения, благодаря чему они запоминаются куда лучше, а я получаю возможность худо-бедно проверить знания студентов. Идею я подсмотрел у Фейнмана.
Всё начинается с простой задачки о лестничной цепи резисторов (см. схему) - нужно найти общее сопротивление цепи. Потом мы резистор R1 заменяем на катушку L, а резистор R2 - на конденсатор C и ищем импеданс при некоторой частоте ω. Далее, начинаем уменьшать длину каждого звена, сказав, что L=L0Δx, C=C0Δx, где L0, C0 - погонные индуктивность и ёмкость, Δx - длина звена, которую мы устремим к нулю. Всё - у нас получится формула волнового сопротивления
Дальше можно подать на эту лестничную цепь некоторое напряжение и, решив диффур 1-го порядка, посмотреть, как напряжение распространяется вправо, т.е найти U(x), при условии, что U(0)=U0. Получаем ответ:
откуда видно - амплитуда остаётся неизменной, крутится только фаза, причём с ростом частоты линейно растёт фазовый набег. И наконец, последнее усилие - вместо источника синусоидального напряжения подключить к цепи источник напряжения произвольной формы u(t) и посмотреть форму сигнала на удалении x от начала цепи. Тут самое время вспомнить преобразование Фурье и применить его так или иначе. Хорошо если студент помнит ПФ от сдвинутого во времени сигнала, т.к это именно оно и есть. Не знает - ну хотя бы выведет, уже будет неплохо. Оказывается, что в такой цепи сигнал только запаздывает, но не меняет своей формы - ровно такое поведение мы интуитивно ожидали от линии передачи, но здесь вывели его на коленке. Уже сразу можно понять, как это применить на практике - обрубить "бесконечный хвост" линии передачи, а чтобы начало линии "ничего не заметило", поставить туда его эквивалент - резистор сопротивлением Z. Можно пофилософствовать над тем, как так вышло - у нас были чисто реактивные компоненты - катушки и конденсаторы, но внезапно полный импеданс стал чисто активным - так куда же пропадает мощность!? А на следующем занятии закрепить материал, уже честно записав систему дифференциальных уравнений для отрезка линии передачи и рассмотреть, как сигнал будет отражаться от несогласованных концов.
Такой метод я успел обкатать на нескольких группах студентов, в целом весьма позитивно, но в последний раз умудрился немножко сесть в лужу. Я слишком рано объяснил, зачем нам понадобилась эта задачка с резисторами, и студент у доски решил "срезать путь" - сразу же вместо резисторов поставить катушку и конденсатор, дескать "зачем лишнюю работу делать?". Ну пожалуйста, флаг в руки! Тут-то и притаилась ловушка!
Студент привычно сказал: сопротивление цепи Z не изменится,если мы добавляем ещё одно звено. Записал квадратное уравнение, нашёл его корни:
и впал в ступор: какой из них выбрать?
В оригинальной задаче с резисторами один из корней получался отрицательным и отбрасывался как "абсурдный" / "не соответствующий физике дела". Здесь же все комплексное, так что и отрицательные, и чисто мнимые, и какие угодно значения - вполне законны.
И возникает вопрос - какой из корней выбрать? Или вовсе взять оба, сказать, что задача имеет два решения? Ну и самое главное - а было ли у нас право так лихо отбрасывать отрицательный корень в исходной задаче и тем более - тупо подставить вместо резисторов катушку и конденсатор и ожидать, что ответ по-прежнему будет верен?
Сейчас я готов дать ответ, но предупреждаю: он довольно занудный.
В первую очередь скажем: решение задачи об общем сопротивлении цепи - единственное! Это "прямая задача" - мы взяли набор линейных элементов, спаяли их вместе и измеряем тестером. Он обязан что-то нам измерить, не будут же его показания прыгать от одного значения к другому! Если элементы нелинейные - ещё куда ни шло, можно придумать схемы с неустойчивым равновесием, которые убегут либо в одно состояние, либо в другое, но здесь явно не этот случай!
Если речь идет о бесконечной цепи, то мы её не сможем собрать, однако можем добавлять по одному звену и смотреть, что получается. Либо последовательность будет сходиться, тогда её предел и будет нашим ответом, либо она уйдет на бесконечность, тогда мы скажем, что цепь разорвана. И наконец, последовательность может не сходиться, тогда мы скажем, что задача поставлена некорректно.
Возьмём оригинальную задачу с резисторами. Сопротивление одного звена Z0=R1+R2. Далее, если у нас уже есть n-1 - звенная цепь с сопротивлением Zn-1, то добавив ещё одно звено, получим сопротивление
(мы пока считаем, что R1, R2 - действительные значения, больше нуля)
Эта последовательность будет ограничена с двух сторон - от R1 (Zn-1=0) до R1+R2, (Zn-1 -> ∞), кроме того, она монотонно убывающая. Это тоже можно понять «на пальцах» - когда мы к одному звену цепи справа присоединяем ещё одно, это новое звено шунтирует резистор R, что может только уменьшить общее сопротивление. Последовательность монотонно убывает и ограничена, следовательно, она сходится.
Приравняв Zn и Zn-1, мы получим уравнение, которому предел последовательности должен удовлетворять, но обратное неверно - корень уравнения не обязан являться пределом нашей последовательности.
Корней оказывается два,
а пределом последовательности является тот, который со знаком «+».
Зачем нам понадобилось столько занудства - станет ясно, когда мы попробуем заменить R1 на jωL, а R2 - на 1/jωC. Получаем следующую последовательность:
Уже сразу можно заметить, что все члены последовательности являются чисто мнимыми. Это тоже понятно - если мы соединяем между собой только реактивные элементы, которые не разогреваются, а лишь гоняют мощность взад-вперёд, то и цепь из них должна быть чисто реактивной, т.е с мнимым импедансом!
Мало того, при достаточно малой частоте (ω<1/2√LC) последовательность не сходится. Возьмём для примера ω=1, L=1, C=1/100. На графике показан результат.
Сойтись она просто не может: обозначив Xn = Im Zn, получим для мнимой компоненты следующее выражение:
Если Xn-1 < 0, то
откуда
а следовательно и Xn > Xn-1 - последовательность монотонно возрастает.
Далее, если 0 < Xn-1 < 100, то
следовательно
а значит, Xn > Xn-1 - рост продолжается, причём он ускоряется по мере приближения к 100 - ведь знаменатель становится всё ближе и ближе к нулю. Поэтому в какой-то момент Xn превысит 100, отчего последует скачок в отрицательные значения - и всё повторится.
Ситуация примерно такова: мы не можем прийти к бесконечной цепи, просто наращивая звенья - сколько бы звеньев мы ни прибавляли, на каждом этапе мы будем иметь конечную цепь, которая не потребляет активной мощности, а вместо этого рано или поздно возвращает её отправителю.
Ну а есть ли вообще смысл у двух корней, которые мы нашли ранее:
Да, он есть. Мы на самом деле решали вот какую задачу: «найти такой импеданс Z, что прибавляя к нему сколько угодно звеньев из катушки и конденсатора, мы всё равно получим полный импеданс цепи, равный Z».
Это, можно сказать, обратная задача - придумать, какую сделать цепь, чтобы выполнилось какое-то требование - и у такой задачи может быть несколько решений.
Так что мы можем всё-таки использовать такой подход для вывода волнового сопротивления - «если поставить в конце линии передачи резистор сопротивлением Z, то независимо от длины линии входное сопротивление тоже будет равно Z, и сигнал будет распространяться по линии без искажения формы, только с запаздыванием».
Второе решение, которое при бесконечно малых звеньях упростится до
- тоже имеет право на существование. Как ни странно, близкое к нему значение действительно используют в СВЧ-усилителях на основе тоннельного диода. Он присоединён к концу линии передачи, усиливает приходящий оттуда сигнал и отправляет назад. Если далее поставить циркулятор, то усиленный сигнал сможет пойти дальше куда надо. Не знаю, нашлось ли такому способу практическое применение, но в любом случае вещь интересная.
Если попытаться поставить на конце линии сопротивление в точности
, получается совсем странная картина - вместо запаздывания сигнала начинается его опережение, как будто бы он в обратную сторону распространяется. Подозреваю, что при попытке такое в железе реализовать, там попросту начнётся самовозбуд.
Вот такая вот, блин, элементарная задачка. Есть в ней действительно что-то фейнмановское.
Итого:
1. Первая задача про лестничную цепь резисторов - вполне корректна, однако чаще всего решается нестрого - не доказывается, что решение существует, а лишний корень отбрасывается "по наитию". Ведь отрицательное сопротивление - вещь вполне допустимая - им обладает газовый разряд, туннельный диод или специально сконструированные схемы. Скажем, я делал регулируемый источник питания для микродрельки, который имел вых. сопротивление -12 Ом. Я мог выставить напряжение 2 вольта вместо штатных 12, тогда дрелька вращается медленно и без визга бормашины, но если она встречает сопротивление, ток растёт, вместе с ним растёт напряжение на выходе, так что дрель получает силы преодолеть препятствие - сгрызает всё, продолжая гордо крутиться на малой скорости! Отбросить отрицательный корень в задачке нужно было потому, что к нему последовательность явно не сходится.
2. Задача про лестничную цепь из катушек и конденсаторов уже не так корректна: если мы будем наращивать по одному звену и смотреть получающийся импеданс, он будет продолжать скакать и никогда не выйдет на какое-либо установившееся значение. То, что подставляя L и C в ответ к предыдущей задаче, мы получаем осмысленный и интуитивно понятный результат - "сигнал, поданный на вход, бесконечно распространяется вдоль по цепи и никогда не вернётся назад, поэтому такая цепь выглядит как активное сопротивление - оно будто бы съедает всю поступающую мощность" - можно считать везением или искать какую-то более глубокую математическую подоплёку. В общем-то, это вполне в духе физиков (а такое решение предложил Фейнман в своих лекциях) - пробежать галопом к нужному решению, подсократив бесконечности там и тут, и прийти-таки к правильному ответу, с тем, чтобы ещё десятилетия спустя математики придумали новый аппарат, который это задним числом разрешит. Теория струн во многом опирается на тот "факт", что 1+2+3+... (сумма всех натуральных чисел) = -1/12 (см здесь.)
3. Тем не менее, можно вообще не задаваться вопросом, чему равен импеданс бесконечной цепи, а спросить лучше - какое сопротивление мы должны поставить, чтобы прибавление какого угодно числа L-C цепочек его не поменяло? Ровно эту задачу мы на самом деле решали, но вот проблема - оба корня имеют полное право на существование. Но это ничего - в конце концов, понятно, что положительным сопротивлением куда разумнее законцовывать цепь. Если же мы поставим отрицательное той же величины по модулю - проблем не оберемся, хотя было бы интересно эту тему ещё немножко копнуть.
Нужно ли возиться с этими лестничными цепями? Нужно ли при этом обращать внимание на все эти тонкости, или лучше вообще с самого начала браться за систему диффуров для линии передачи - не знаю. Было бы интересно услышать ваше мнение.
PS.