Квантовая механика - заметки туриста
К физике я никакого отношения не имею и пропустил даже скудную программу инженерного вуза, но при этом, всегда хотел разобраться что же конкретно утверждает квантовая механика. Однако, учитывая принятую при освоении КМ практику "заткнись и считай", сделать это без нормальной математической подготовки, контрольных работ, зачетов, оценок и преподавателей оказалось сложновато.
Я начинал пару раз читать лекции Фейнмана и учебник Садберри. Но соображения Фейнмана оказывались хоть и просты, но крайне утомительны и растянуты, к середине тома 8 просто устаешь ждать чему же тебя собираются учить. Обычные же учебники с места в карьер переходили к сложной математике, которая меня не особо мотивировала, и слишком быстро проскакивали "очевидные" вещи, которые собственно, меня и интересовали.
И вот однажды, лед таки тронулся. С годами любопытствований, у меня все же созрело некое представление о том, что нужно ждать от квантовой механики. И тут мне в руки попался "Теоретический минимум" по квантовой механике Сасскинда.
Об этой книге отдельно. "Теоретический минимум" - это громко сказано. Сведения там даются только самые базовые. Но это уже настоящая честная физика с основами математического аппарата, а не популярные рассуждения для домохозяек, которыми грешат многие популяризаторы науки.
Но у книги есть главное преимущество: в отличии от обычных учебников, Сасскинд не ленится разжевывать каждую идею еще и еще раз, пока не доводит ее до состояния, когда ее можно понять вообще без всякой подготовки.
Местами и он срезал пару углов, но в остальном, книга написана с поразительным терпением и заботой о ленивых и любопытных невеждах.
После Сасскинда том 8 лекций Фейнмана пошел уже не в пример веселее. Я наконец понял, что пытается объяснить Фейнман. Собственно, теперь не так сложно перейти и к настоящим учебникам.
Дальше попытаюсь раз за разом изложить свои впечатления от этого "интеллектуального туризма" в квантовую механику.
Первый и очень важный вопрос, который мне пришлось для себя решить: что именно нужно представлять себе, при изучении всех этих математических ухищрений?
Например, классическая механика предлагает представлять материальные точки, действующие на них силы, скорости и траектории этих точек. В квантовой механике такой простой и наглядной картины нет. Более того, даже те представления, которые есть ни один физик не желает обсуждать не обложившись довольно сложной математикой.
Примерно к середине книги Сасскинда, кое-какой образ мне удалось нарисовать. Я уверен, что это образ не противоречит квантовой механике, но если что, готов признать, что он имеет ряд спорных моментов.
Итак, первое. Забываем все, что мы знаем о “реальном” мире. Мир квантовой механики реален, но не совсем в том смысле, как ожидается.
Реальность мира означает, что если мы приготовили систему в некотором состоянии, то через какое то время мы можем подвергнуть эту систему неким экспериментам и из их результата узнать о начальных условиях приготовления системы. Т.е. переданная системе информация сохраняется и может быть извлечена обратно. В промежутке между приготовлением и измерением все представления о реальности системы бессмысленны. Система хочет только одного: вернуть вам информацию и она не остановится ни перед нарушением локальности, ни перед разрушением ваших интуитивных представлений о том, как должна вести себя “реальная” система.
Тут возникает традиционный философский вопрос: что значит измерение? Это когда я вижу стрелку прибора? Нет. Все это можно представить гораздо прозаичнее. Условно говоря, природа меряет себя сама.
Представьте себе этакую кипящую кашу из событий, очень тесно и непрерывно друг с другом связанных. Представьте, что от этой каши оторвалась небольшая подсистема, на какое то время осталась изолированной и потом снова вернулась в кашу. Эта ситуация - и есть то, что изучает квантовая механика (точнее, изученная мной вводная ее часть).
Какое-то время система была в свободном полете и тут она описывалась квантовой механикой. Как только она попала обратно в кашу, система “измерена”, квантовая механика дает ответ о результатах измерения и квантовое рассмотрение пока закрываем. С другой стороны, сама эта каша представляет собой последовательность множества квантовых событий.
Давайте это нарисуем:
Некая система готовится при определенных условия. Дальше, система какое-то время существует изолированно от мира, дальше система измеряется в эксперименте.
Как я уже сказал, система (красный кружок) при этом не решает никаких других задач, кроме той, что ей нужно передать информацию, которую она получила при приготовлении в приемник, в виде результатов эксперимента.
Потому, что информацию должна сохраняться. Потому, что иначе наше существование в этом мире было бы невозможно.
Система не обязана оставаться пространственно локализованной. Например, она может вылететь из источника, разделиться на части, которые разлетятся на километры и затем, каждая часть попадет в свой “приемник” (какая-то раньше, какая-то позже).
Так вот, и в этом случае, систему не заботит ничего, кроме необходимости сохранить и вернуть информацию. Если при этом расчеты покажут, что части системы для этого должны общаться мгновенно с нарушением принципов локальности - это ничего не значит для системы. Во время изоляции от окружающего мира система попросту реально не существует и принципы реальности ей не писаны. Она только хочет вернуть информацию.
Это своего рода “Матрица”.
На первый взгляд, пространная задача передачи информации могла бы решаться неким сложнейшим, совершенно не формализуемым путем. Попробуйте ка опишите уравнениями Матрицу, которая ”has you”, или обратимый клеточный автомат, также сохраняющий информацию! Но физикам крупно повезло. Квантовая механика, хотя и сложна, на самом включает поразительно простые принципы, на удивление просто увязываемые с классической действительностью. Сложно понять что стоит за этими принципами. Как я понимаю, пока это никому даже близко не удалось.
Замечу, что образ с системой, которая “хочет” передать информацию - чисто мой. Не относитесь к нему как к части науки. Это просто ИМХО полезный образ. Правда, его обрывки можно собрать у Сасскинда.
Итак, каковы же детали процесса, изображенного на рисунке с точки зрения квантовой механики.
Первое и очень неудобное уточнение: источник не создает систему с нуля. Он только придает некое состояние уже существующей системе. Соответственно, приемник не исследует систему полностью. Он считывает с нее только записанные источником параметры.
Например, мы можем придать электрону спин, а затем измерить его. При этом, сам электрон существует как некий “бэкграунд”, который мы выносим за рамки рассмотрения.
Что можно выносить, а что нельзя? Это либо интуиция, либо магия, либо просто за рамками теоретического минимума. Не знаю.
Второе уточнение, сильно все упрощающее: когда система измеряется в приемнике, вся вложенная в нее источником информацию полностью уничтожается. Уничтожается в том смысле, что вся считываемая приемником информация переходит к нему и в системе этой информации больше нет. Это как перенос файла с диска на диск (в отличии от копирования).
Дальше интереснее.
Когда источник готовит систему, мы можем описать этот процесс некоторым количеством обычных (вещественных) чисел. Например, N числами. Например, приготовление спина электрона можно описать двумя числами: угол к оси z и угол к оси x в проекции на плоскость x-y.
Физики любят описывать все в числах. Я полагал, что природу это не должно волновать. Но как оказалось, она вполне даже идет физикам на встречу.
Дальше, самое интересное: дискретность результатов. Если система достаточно мала, то приемник всегда выберет один из конечного числа возможных результатов эксперимента.
Например, для спина 1/2, который создается двумя числами, эксперимент всегда дает один из двух возможных исходов (отклонился вверх, отклонился вниз).
На самом деле, физики рассматривают и бесконечное число исходов (для пространственных координат). Но мы ведь не знаем: вдруг пространство в масштабе планковых величин дискретно? Лично я не стал уходить пока в лишние абстракции. Приготовление системы описывается вещественными числами, а результат измерений всегда дискретный. И точка. Даже если исходов может быть почти бесконечно.
Это работает. Я пробовал.
Но постойте, я обещал, что система будет возвращать информацию, которую в нее заложили при приготовлении? Как же она сможет это сделать, если на вход подано множество вещественных чисел, а на выходе выбор из N вариантов исходов?
Так и есть, полностью сберечь информацию система не сможет. Но она сможет сделать это настолько хорошо, как только возможно.
Единственный доступный ей способ - передавать информацию вероятностями.
Каждый исход N может наступить с определенной вероятностью. Вероятность - это вещественное число. Значит, каждая вероятность может передавать одну вещественную величину.
Но это опять не совсем так. Сумма вероятностей должна быть равна единице, значит система может передавать только N-1 величин.
Например, для приготовления спина ½ нужно 2 вещественные величины, а 2 возможных исхода смогут передать только одну величину. Одну так одну, решила природа и так и сделала. Вторую величину вы можете померять, если повернете этот же прибор под другим углом.
Если результат эксперимента имеет 3 исхода, тогда этот эксперимент может передать 2 величины. Но при приготовлении системы понадобиться 4 вещественных величины. Соответственно, еще две вы можете получить “повернув” прибор. “Повернув” в кавычках потому, что это уже может быть принципиально другой прибор. Обычным пространственным поворотом можно отделаться только в случае спина ½.
И того, получаем, что при приготовлении системы в нее вкладывается больше вещественных величин, чем способен представить в виде вероятностей прибор.
Если мы будем повторять эксперимент в одинаковых условиях, то исходя из статистики экспериментов мы можем вычислить только половину вещественных величин, используемых при приготовлении системы.
Теперь, вспомним принцип, упомянутый выше, согласно которому при измерении прибор полностью уничтожает информацию, имеющуюся в системе.
Прибор снимает только часть информации, а остальную уничтожает. Прибор другой конструкции снимет другую часть, а остальеное снова уничтожит. Таким образом, некоторые величины никак не могут быть измерены одновременно. Отсюда и получаем принцип неопределенности.
И того, подытожим, что мы имеем. Мы имеем приготовление системы и считывание с нее информации в виде вероятностей различных исходов N. Число N одинаково для любой конструкции прибора. Из системы как бы нельзя получить больше состояний, чем в ней есть.
Если измерить бесконечное число одинаковых систем, то можно получить точное значение передаваемых системам в источнике параметров. Каждая отельная система скрывает в себе всю информацию, полученную в источнике но при измерении отдает только маленькую частицу информации.
Теперь вопрос: если у нас есть прибор, умеющий мерять систему (выбирает состояние из множества исходов N), и есть другие приборы, выбирающие из N по другому, тогда есть ли способ как-то так описать систему и приборы, чтобы можно было предсказать результаты измерений для любого прибора?
Как не странно, такой способ есть. Он называется “вектор состояния”.
Как сказал Сасскинд, математики любят упрощать свои идеи вплоть до полной непостижимости. В учебниках написано, что вектор состояния - это нечто удовлетворяющее определенным аксиомам.
Аксиомы, если на пальцах, сводятся к тому, что вектор состояния - это нечто, что можно суммировать, увеличивать/уменьшать и поворачивать на некий угол.
Кроме того, любые два вектора можно как бы спроецировать друг на друга, получив в результате комплексное число. То-есть, число, которое можно поворачивать на некий угол.
Все это довольно абстрактно. Но под эти аксиомы прекрасно подходит просто некий набор комплексных чисел.
Ходим складывать - складываем каждое число набора с каждым. Хотим умножать на число - умножаем каждый элемент. Хотим поворачивать - поворачиваем как единое целое.
Наконец, операция внутреннего произведения сводится к … захотите, сами прочитаете.
Дальше, идея заключается в том, что при описании приготовленного состояния системы в модули чисел вектора состояния из N чисел можно запихнуть вероятности N исходов. Точнее, каждая вероятность равна квадрату модуля соответствующего числа.
Каждое число в векторе состояния имеет еще и угол (фазу). Зачем нужна фаза?
Фазы несут ту часть информации, которая вложена в систему при приготовлении, но не воспринимается при измерении конкретным прибором. Т.е. не влияет на измерение.
Дальше, если мы возьмем другой прибор, то с точки зрения этого прибора модули чисел в векторе состояния будут другими. И опять не учитываемая этим прибором информация как-то должна быть записана в фазах чисел.
Дальше, оказывается, что существует довольно простой набор математических идей, который позволяет связать воедино все возможные приборы и векторы состояний, предназначенные для описания и измерения выбранного типа систем.
Я не буду описывать детали, т.к. в заголовке на писано “заметки туриста”.
Выглядит все так, как будто бы система описывается вектором состояния, а каждый возможный прибор смотрит на этот вектор в своей “системе координат”. Для того, чтобы узнать вероятности для конкретного прибора, нужно выполнить нечто вроде перевода вектора состояния в “систему координат” прибора.
Тут мне очень полезным показался пример со спином ½. Такая частица - это просто стрелочка в трехмерном пространстве (без длины, только направление).
Вектор состояния хитрым образом вяжется к этой системе: угол стрелочки к оси z (можно привязывать к любой оси) задает соотношение между модулями двух чисел вектора состояния; а разность фаз между числами вектора состояния задает угол к оси x в проекции “стрелочки” на плоскость x-y.
Эксперимент возвращает один из двух исходов с вероятностью, определяемой модулями чисел вектора состояния.
Вектор состояния не описывает систему так, как это принято в классической механике - непосредственно координаты точек в пространстве и другое. По сути, задача вектора только кодировать вероятности для определенного прибора, которым мы собираемся мерять систему и кроме того, включать дополнительные параметры, которые этот прибор не видит, но видят другие приборы аналогичного типа (меряющие ту же часть системы).
Наконец, последняя важный вопрос: раз уж мы описали систему вектором состояния, тогда что происходит с этим вектором состояния пока система изолирована от мира?
В принципе могло бы ничего не происходить. Тогда информация была бы точно доставлена в целости и сохранности.
Если с вектором состояний начнет происходить что-то слишком сложное, информация будет утрачена.
Еще вопрос - обязан ли вектор состояний реагировать на окружающие его условия? Как уже было сказано, система хочет только доставить информацию. Значит вектор мог бы проходить сквозь стены и делать все что угодно.
На самом деле, во время изолированного существования частице позволено не все.
Она ведет некое особое существование, отличное от обычного, когда она подвергается измерению каждый миг. Отличное, но похожее. Так как ее “обычное” поведение - это и есть совокупность последовательности изолированных поведений.
Как оказалось, вектор состояния частицы ведет себя вполне определенным образом: он вращает фазами своих компонентов. Скорость этого вращения зависит от условий, в которых находится изолированная система. Если условия меняются, то меняется и скорость. Так как такое вращение обратимо (похоже, физики предпочитают термин ‘унитарно“), информация переносится без потерь.
Тут как обычно есть нюанс: вращение происходит в какой-то одной “системе координат”. Физики называют эти системы коориднат “базисами”. Базисы привязаны к исходам прибора а не к пространственным координатам.
Т.е. с точки зрения одного из возможных приборов вероятности не меняются (вращаются только недоступные для этого прибора фазы).
В других базисах вероятности меняются (колеблются со временем).
Если для конкретной системы в конкретных условиях мы нашли как она вращается, мы можем описать это указав базис и скорости вращения каждой фазы. Физики упаковывают это в одну квадратную матрицу и называют ее “Гамильтониан”. Базис записывается как ‘собственные векторы“ матрицы, а скорости вращения - как ‘собственные числа“.
Вы можете вычислить их просто в Вольфрам-математике для начала, чтобы не вникать что это за идеи.
Наконец, энергия системы определяется скоростью вращения фаз вектора состояния.
Если для каждого числа вектора скорость одинаковая - энергия имеет определенное значение. Если разное - тогда значение энергии не определено.
Опять таки, лучше нет системы, чем спин ½. Для этой системы базис - это некое выбранное направление в пространстве.
Вектор состояния - как было сказано - это тоже направление в пространстве.
Во время изолированной эволюции эта система может не вращать вектором состояния (если магнитного поля нет) или вращать стрелочкой спина вокруг направления магнитного поля. Матрица гамильтониана упаковывает в себя направление поля и его интенсивность.
Кроме того, в учебниках описано множество формальных математичеких идей
(наблюдаемая, уравнение шредингера), которые описывают картину строже и точнее.
Если вы уже поняли все выше описанное вы все еще не имеете не малейшего понятия, как применять эту картину с переносом и сдачей информации вектором состояния к простейшим случаям, вроде движения частиц, то вы не одиноки. Для меня это тоже вынос мозга. Вроде бы написанное в учебниках и понятно, но ощущение понимания уже становится каким-то не таким, как хочется. Чего-то не хватает.
Базовые идеи необычны, но, похоже, их применение к реальности требует еще больших усилий. Особенно, если хочется не потерять общую картину теории. Большой вопрос - возможно ли это вообще. Простое освоение математических приемов не особо привлекательно, если мы изучаем КМ из чистого любопытства.