Движение точечной массы в потенциальном поле
Ведение
Уважаемые друзья! Настоящей статьей я делаю попытку начать цикл статей, нацеленных на решение задач, которые плохо объясняются в школьном курсе физики. Как-то случайно я наткнулся на высказывание Р. Фейнмана о том, что студентов в Бразилии, где он преподавал, просто заставляют зазубривать формулы, не требуя понимания сущностной части предмета. В некотором смысле я вижу и в нашей стране похожую тенденцию. Многие законы должны приниматься школьниками просто на веру, а принципы, которые часто являются определяющими для всех существующих современных моделей, скрываются совсем. Мне трудно судить, почему так происходит. Очевидно, что факторов можно привести великое множество и среди них, например, имеет место факт, что большинство новых учебников просто переписывают из старых учебников, повторяя сложившееся стереотипы и ошибки. При этом всю черновую работу выполняют авторы без реального опыта работы в соответствующей области знаний. Авторские же монографии часто слишком сложны и узкоспециализированы, чтобы школьники могли их читать самостоятельно. Данные статьи будут предназначены прежде всего 15 - 20-летним, о которых довольно точно сказал Дмитрий Быков на заседании Совета федерации. Я и сам однажды столкнулся с мальчишками и девчонками, у которых горят глаза. Как-то со своей женой я прогуливался по ВДНХ и в одном из павильонов, где проходила выставка, ребята из московского лицея демонстрировали свои и другие проекты. Проходя мимо горки с шариками и песком, я услышал из объяснения молодого человека, что это модель ускорителя. Остановившись, я промямлил что-то вроде того, что на современных ускорителях упругие процессы практически не изучают, а поиски концентрируются в области ядро-ядерных глубоконеупругих взаимодействий, поляризационных измерений, В-физики и других реакций, с участием тяжелых кварков. Молодой человек заинтересовался, и вскоре около меня собрались практически все ребята, а вопросы же сыпались и сыпались в очень широком спектре - от того на каких ускорителях и детекторах мне посчастливилось работать, до - как жить в США и Германии, и как поступить в аспирантуру за рубежом. Через некоторое время моя жена оттащила меня за рукав, повторив уже известное, что с тобой просто невозможно никуда ходить. Но на меня эти мальчишки и девчонки произвели самое лучшее впечатление, и даже сейчас, печатая эти строки, я улыбаюсь. К сожалению, от наших помпезных владельцев яхт, самолетов и дворцов какой-либо поддержки ожидать сложно. Поэтому нашей псевдоэлите я могу посоветовать расслабиться и погреметь бриллиантами. А я попробую делать то, что когда-то делал в вечерней школе с девяти- и десятиклассниками СССР. И потом, мир стал информационным. Если, например, вы хотите послушать Леонарда Сасcкинда об ОТО, то лекции стэнфордовского университета доступны всем и совершенно бесплатно. А немецкие школьники научат вас говорить по-немецки. В целом, все это гораздо полезнее нашего ТВ, однако и зависит от каждого из нас.
Траектории движения планет в гравитационном поле Солнца
Законы, по которым движутся планеты в Солнечной системе, известны приблизительно с 1666 г. А в 1687 г. увидела свет книга Ньютона «Philosophiae Naturalis Principia Mathematica». В книге изложена далеко продвинутая небесная механика, базирующаяся на трех законах, которые сейчас называют законами Ньютона [4]. Другими словами, Ньютон сформулировал правило, по которому можно определить силовое поле точечного объекта с массой (и соответственно и потенциал этого поля). Второй закон Ньютона является уравнением движения. Т.е. если в некоторой системе координат заданы силовое поле, координаты, скорость и масса точечного объекта А, то дальнейшее поведение объекта А в пространстве-времени полностью определено. Теперь можно сформулировать настоящую задачу. Можете ли вы самостоятельно получить 1-ой и 2-й законы Кеплера, используя законы Ньютона и законы сохранения? Во времена моей молодости законы Кеплера просто постулировались в школьном учебнике по астрономии без каких-либо доказательств. Но, представьте, ведь когда-то же эти законы были открыты, и если вы откроете эти законы для себя заново, то очевидно, забыть их вы никогда не сможете, поскольку вам не нужно будет заучивать абстрактный текст. Более того, задача о баллистике тела в атмосфере Земли замечательно была решена еще в конце 19-ого века, о чем можно судить по «успехам» артиллерийских систем в 1-ой Мировой. Еще вы, возможно, будете сильно удивлены, что даже современные феноменологические теории в своей основе содержат принципы точечных частиц и евклидового (для релятивистской кинематики псевдориманова) пространства. Поэтому задача о движении тела в потенциальном поле чрезвычайно важна, хотя решать ее можно даже численно на любом компьютере. Но для нас, прежде всего, интересно рассмотреть задачу аналитически. Другими словами, нужно показать, что планета будет двигаться по эллипсу. И пока вы, уважаемые мои читатели, будете осмысливать то, что я вам написал, я попробую оформить выкладки, которые помогут вам выполнить поставленную задачу самостоятельно.
Свойства эллипса
Каноническое уравнение эллипса и свойство (9) понадобятся нам позднее при получении траектории движения планеты в гравитационном поле Солнца. Также при возведении в квадрат уравнения, мы могли получить лишние решения, которые легко обнаружить при помощи простейшей подстановки, которая, однако, для простоты представления опущена и должна быть проведена вами самостоятельно подстановкой найденных решений в (1).
Второй закон Кеплера
Движение по эллипсу
Заключение
Таким образом, мы показали, что точечная масса в центральном поле с потенциалом, обратно пропорциональным расстоянию, при некоторых условиях движется по эллипсу. В действительности, движение происходит по кривым, которые называются коническими сечениями - эллипс, гипербола, парабола [4]. По какой конкретно кривой будет происходить движение, зависит от E из формулы (25).
После прочтения данного текста может показаться, что великие открытия делаются в той же последовательности, что и был изложен материал. В действительности, в подавляющем большинстве случае (это личное мнение автора) исходными данными являются данные экспериментов - в данном случае наблюдения за планетами и кометами. На основе этих данных строятся траектории в звездной системе координат, которые можно аппроксимировать различными кривыми. И открытие совершается тогда, когда существующая методика расчета применяется к данным из другой области, для которой применимость хорошо известных законов еще не проверена. Смотрите, ведь никто не проверял, что закон сохранения момента импульса действует в Солнечной системе. А сила притяжения на космических расстояниях вычисляется по тому же закону, что и в экспериментах на Земле. Кстати, дискуссия по этому вопросу ведется до сих пор. Достаточно вспомнить опыты Этвеша, а также темную материю и энергию (скорость вращения галактик на периферии не соответствует ожидаемому значению, обусловленному видимой массой галактики). Однако для движения планет приведенная методика расчета показывает чрезвычайно высокую точность (имеется в виду сравнение с экспериментом), а исключением является движение Меркурия, для которого существенен эффект замедления времени в гравитационном поле Солнца. Но об этом мы, возможно, поговорим в следующей статье.
Литература
[1] В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. Аналитическая геометрия. М.: Наука, 1981. C. 144-160.
[2] И. Н. Бронштейн, К. А. Семендяев. Технико-теоретический справочник по математике. М., 1954. С. 307.
[3] Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Механика. М.: Наука, 1988. Т1. C. 45-57.
[4] В. И. Арнольд. Природа. № 8 (864). 1987. C. 5-26.
Уважаемые друзья! Настоящей статьей я делаю попытку начать цикл статей, нацеленных на решение задач, которые плохо объясняются в школьном курсе физики. Как-то случайно я наткнулся на высказывание Р. Фейнмана о том, что студентов в Бразилии, где он преподавал, просто заставляют зазубривать формулы, не требуя понимания сущностной части предмета. В некотором смысле я вижу и в нашей стране похожую тенденцию. Многие законы должны приниматься школьниками просто на веру, а принципы, которые часто являются определяющими для всех существующих современных моделей, скрываются совсем. Мне трудно судить, почему так происходит. Очевидно, что факторов можно привести великое множество и среди них, например, имеет место факт, что большинство новых учебников просто переписывают из старых учебников, повторяя сложившееся стереотипы и ошибки. При этом всю черновую работу выполняют авторы без реального опыта работы в соответствующей области знаний. Авторские же монографии часто слишком сложны и узкоспециализированы, чтобы школьники могли их читать самостоятельно. Данные статьи будут предназначены прежде всего 15 - 20-летним, о которых довольно точно сказал Дмитрий Быков на заседании Совета федерации. Я и сам однажды столкнулся с мальчишками и девчонками, у которых горят глаза. Как-то со своей женой я прогуливался по ВДНХ и в одном из павильонов, где проходила выставка, ребята из московского лицея демонстрировали свои и другие проекты. Проходя мимо горки с шариками и песком, я услышал из объяснения молодого человека, что это модель ускорителя. Остановившись, я промямлил что-то вроде того, что на современных ускорителях упругие процессы практически не изучают, а поиски концентрируются в области ядро-ядерных глубоконеупругих взаимодействий, поляризационных измерений, В-физики и других реакций, с участием тяжелых кварков. Молодой человек заинтересовался, и вскоре около меня собрались практически все ребята, а вопросы же сыпались и сыпались в очень широком спектре - от того на каких ускорителях и детекторах мне посчастливилось работать, до - как жить в США и Германии, и как поступить в аспирантуру за рубежом. Через некоторое время моя жена оттащила меня за рукав, повторив уже известное, что с тобой просто невозможно никуда ходить. Но на меня эти мальчишки и девчонки произвели самое лучшее впечатление, и даже сейчас, печатая эти строки, я улыбаюсь. К сожалению, от наших помпезных владельцев яхт, самолетов и дворцов какой-либо поддержки ожидать сложно. Поэтому нашей псевдоэлите я могу посоветовать расслабиться и погреметь бриллиантами. А я попробую делать то, что когда-то делал в вечерней школе с девяти- и десятиклассниками СССР. И потом, мир стал информационным. Если, например, вы хотите послушать Леонарда Сасcкинда об ОТО, то лекции стэнфордовского университета доступны всем и совершенно бесплатно. А немецкие школьники научат вас говорить по-немецки. В целом, все это гораздо полезнее нашего ТВ, однако и зависит от каждого из нас.
Траектории движения планет в гравитационном поле Солнца
Законы, по которым движутся планеты в Солнечной системе, известны приблизительно с 1666 г. А в 1687 г. увидела свет книга Ньютона «Philosophiae Naturalis Principia Mathematica». В книге изложена далеко продвинутая небесная механика, базирующаяся на трех законах, которые сейчас называют законами Ньютона [4]. Другими словами, Ньютон сформулировал правило, по которому можно определить силовое поле точечного объекта с массой (и соответственно и потенциал этого поля). Второй закон Ньютона является уравнением движения. Т.е. если в некоторой системе координат заданы силовое поле, координаты, скорость и масса точечного объекта А, то дальнейшее поведение объекта А в пространстве-времени полностью определено. Теперь можно сформулировать настоящую задачу. Можете ли вы самостоятельно получить 1-ой и 2-й законы Кеплера, используя законы Ньютона и законы сохранения? Во времена моей молодости законы Кеплера просто постулировались в школьном учебнике по астрономии без каких-либо доказательств. Но, представьте, ведь когда-то же эти законы были открыты, и если вы откроете эти законы для себя заново, то очевидно, забыть их вы никогда не сможете, поскольку вам не нужно будет заучивать абстрактный текст. Более того, задача о баллистике тела в атмосфере Земли замечательно была решена еще в конце 19-ого века, о чем можно судить по «успехам» артиллерийских систем в 1-ой Мировой. Еще вы, возможно, будете сильно удивлены, что даже современные феноменологические теории в своей основе содержат принципы точечных частиц и евклидового (для релятивистской кинематики псевдориманова) пространства. Поэтому задача о движении тела в потенциальном поле чрезвычайно важна, хотя решать ее можно даже численно на любом компьютере. Но для нас, прежде всего, интересно рассмотреть задачу аналитически. Другими словами, нужно показать, что планета будет двигаться по эллипсу. И пока вы, уважаемые мои читатели, будете осмысливать то, что я вам написал, я попробую оформить выкладки, которые помогут вам выполнить поставленную задачу самостоятельно.
Свойства эллипса
Каноническое уравнение эллипса и свойство (9) понадобятся нам позднее при получении траектории движения планеты в гравитационном поле Солнца. Также при возведении в квадрат уравнения, мы могли получить лишние решения, которые легко обнаружить при помощи простейшей подстановки, которая, однако, для простоты представления опущена и должна быть проведена вами самостоятельно подстановкой найденных решений в (1).
Второй закон Кеплера
Движение по эллипсу
Заключение
Таким образом, мы показали, что точечная масса в центральном поле с потенциалом, обратно пропорциональным расстоянию, при некоторых условиях движется по эллипсу. В действительности, движение происходит по кривым, которые называются коническими сечениями - эллипс, гипербола, парабола [4]. По какой конкретно кривой будет происходить движение, зависит от E из формулы (25).
После прочтения данного текста может показаться, что великие открытия делаются в той же последовательности, что и был изложен материал. В действительности, в подавляющем большинстве случае (это личное мнение автора) исходными данными являются данные экспериментов - в данном случае наблюдения за планетами и кометами. На основе этих данных строятся траектории в звездной системе координат, которые можно аппроксимировать различными кривыми. И открытие совершается тогда, когда существующая методика расчета применяется к данным из другой области, для которой применимость хорошо известных законов еще не проверена. Смотрите, ведь никто не проверял, что закон сохранения момента импульса действует в Солнечной системе. А сила притяжения на космических расстояниях вычисляется по тому же закону, что и в экспериментах на Земле. Кстати, дискуссия по этому вопросу ведется до сих пор. Достаточно вспомнить опыты Этвеша, а также темную материю и энергию (скорость вращения галактик на периферии не соответствует ожидаемому значению, обусловленному видимой массой галактики). Однако для движения планет приведенная методика расчета показывает чрезвычайно высокую точность (имеется в виду сравнение с экспериментом), а исключением является движение Меркурия, для которого существенен эффект замедления времени в гравитационном поле Солнца. Но об этом мы, возможно, поговорим в следующей статье.
Литература
[1] В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. Аналитическая геометрия. М.: Наука, 1981. C. 144-160.
[2] И. Н. Бронштейн, К. А. Семендяев. Технико-теоретический справочник по математике. М., 1954. С. 307.
[3] Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Механика. М.: Наука, 1988. Т1. C. 45-57.
[4] В. И. Арнольд. Природа. № 8 (864). 1987. C. 5-26.