Пытаясь осмыслить четвёртое измерение
Возьмём обобщённую сферу/шар - это множество точек, равноудалённыых/находящихся на расстоянии не больше заданного от центра сферы/шара. В одномерном пространстве (на линии) это будет две точки/отрезок. В двумерном пространстве это будет окружность/круг. В трёхмерном пространстве - нашем родном - это будет... так и будет сфера/шар. А вот большие измерения уже невозможно представить, придётся остановиться и придумать только какое-нибудь название, например, гипер-сфера/гипер-шар.
Жители меньших измерений могут попытаться представить жизнь в больших измерениях (по крайней мере, в следующем измерении) с помощью проекций или сечений. Образно это можно себе представить так, что фигура большего измерения проходит (пересекает) меньшее измерение и мы можем описать, что же будет видно в меньшем.
Если окружность протаскивать через линию, то в момент касания в 1-D мире появится точка, потом она раздвоится и две точки будут расходится, а потом обратно сходится, пока не сойдутся в точку, а затем исчезнут вовсе. Наблюдатель из 1-D увидит, что откуда ни возьмись появилась точка, которая увеличилась в 1-D сферу, которая затем уменьшилась и пропала.
Для плоскиков - жителей 2-D - похоже будет выглядеть проход 3-D сферы через из мир. Сначала появится точка, затем - 2-D сфера, т.е. окружность, она увеличится, уменьшится и затем пропадёт. Скорость увеличения-уменьшения будет изменяться, очевидно, по синусоидальному закону, если скорость прохождения (вдоль перпендикулярной оси из следущего измерения) будет постоянна.
Теперь можно представить, что будет при проходе через наш 3-D мир сферы из 4-D. Сначала "из ничего" появится точка, которая раздуется в сферу, и которая затем обратно уменьшится и пропадёт. Таким образом мы сумеем полностью увидеть сферу из 4-D. Собственно, трюк состоит в замене простанственной координаты временной. Для шара - всё то же самое, только фигуры будут сплошные.
Задание на следующий раз - 5-D сфера в нашем мире, 2,3,4-D тор и полый шар.