Современные математики не поняли, что такое "функция"?! Часть первая
Эта статья является продолжением статьи "Функция - это график?! - 1" и готовилась под рабочим названием: "Функция - это график?! - 2". Но потом мне пришло указание "сверху" изменить заголовок на тот, который я и разместил.
Для начала необходимо определиться: что такое функция? С точки зрения МЕРЫ и с точки зрения ПОРЯДКА понятие функции различно. Это различие определяется двумя определениями. Одно дано на основании понятия переменной, котороое дал Леонард Эйлер в работе "Анализ бесконечно малых"; другое дается на основании понятия множество в топологической трактовке в Википедии. Так как математика рассматривает численные соотношения, то и понятие функции, в этой статье, будет ограничено рассмотрением числовых функций. Физические интерпретации этого понятия нас не интересуют.
Итак... Леонард Эйлер. "Анализ бесконечно малых". Книга первая. Глава 1. "О функциях вообще".
Пункт четвертый:
"Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого переменного количества и чисел или постоянных количеств.
Всякое аналитическое выражение в котором, за исключением переменного количества z, все остальные количества, составляющие это выражение, постоянны будет функцией z; так a+3Z (дальше еще примеры выражений) будут функциями z".
Пункт пятый:
"Следовательно, функция переменного количества сама будет переменным количеством".
Пункт шестнадцатый:
"Если y будет какой-либо функцией z, то и, обратно, z будет функцией y"
Теперь резюме. Введение в математику понятия функции было необходимо при переходе от арифметики к алгебре и далее к математическому анализу. Потому, что математикой исследовались вначале постоянные величины, потом переменные независимые величины и, затем, переменные зависимые величины. Исаак Ньютон в работе "Всеобщая арифметика" определил основную задачу вычислений как поиск числа, удовлетворяющего решению поставленной в каждом конкретном случае задачи. Леонард Эйлер определил, что функция - это математическая операция по применению всевозможных математических действий, в купе с числами, к переменной величине.
Еще раз. ФУНКЦИЯ ПЕРЕМЕННОГО КОЛИЧЕСТВА - есть ОПРЕДЕЛЕННЫЙ набор математических действий, включая действия над числами, над этим переменным количеством, представленный в виде аналитического выражения!
Следовательно, функция переменной - это алгоритм получения из одного числа - другого по определенному правилу.
Ключевой момент: независимая переменная величина способна принимать ЛЮБОЕ значение, но только ОДНО! Любое, но ОДНО. Функция же этой переменной, то есть зависимая переменная, принимает значения, исходя из заданного алгоритма. Потому, что переменная - это аналог числа, которое пока неизвестно. Но число - то одно...
Это все означает, что слово "функция" не употребляется без указания переменной, над которой производятся математические действия, и означает набор математических операций над этой переменной!
С точки зрения МЕРЫ - функция есть изменение результата некоего измерения (придания переменной определенных значений) путем вычисления с использованием набора математических операций.
С точки зрения ПОРЯДКА - топология заменяет понятия ПЕРЕМЕННЫХ двумя наборами ПАРАМЕТРОВ, которые предложено разместить в виде двух множеств. То есть, предлагается уйти от вычислений и установить непосредственную связь между парами элементов двух множеств: "области определения" и "области допустимых значений".
То есть, переменной уже нет. Она заменена набором параметров. Аналитического выражения, определяющего функцию, тоже уже нет. Все математические действия уже совершены. Но осталось слово "функция". Вернее того, что обозначало это понятие уже нет, но это слово "крутится" в голове ботаника... хочется, чтобы оно было... Такое умное слово... Подсказываю, навскидку. Можно заменить его словосочетанием: "функциональная связь двух множеств". Или как-то еще. Но без использования понятия "переменная" слово "функция" больше не к чему применить! Потому, что согласно Эйлеру должно быть, например так: "переменная Y - есть функция переменной X". И эта фраза имеет соответствующую символьную запись: Y = f(X).
Теперь определяемся с понятием: "график функции".
Вторая часть здесь