Откуда у функций появляются "точки" и почему "Теорема Ферма" считается великой?
1. Функции могут быть дискретными, аналоговыми и смешанными. В Википедии дается пример частного случая дискретной функции, заданной табличным способом, который оптимален для данного частного случая функций:
2. Там же дается пример еще одного частного случая функций, который называется числовая функция и показаны четыре способа задания этих функций:
3. А вот теперь следим внимательно "за руками"! Для начала можно подготовиться, почитав этот диалог на тему "производной функции в точке". Смотрим на два последних способа задания числовых функций. Аналитически заданную функцию можно изобразить в виде таблицы таким способом (далее текст из Википедии):
"...Функцию можно задать, перечислив все её возможные аргументы и значения для них. После этого, если это необходимо, функцию можно доопределить для аргументов, которых нет в таблице, путём интерполяции или экстраполяции...
Само по себе равенство
, без указания что это функция, заданная на некотором множестве, функцией не является.
Например,
есть равенство выражений, содержащих разные переменные. Аналогично, если
является другим обозначением переменной
, то
также есть равенство выражений, содержащих разные переменные. Если же в равенстве
слева стоит обозначение выражения, содержащего переменную
, то имеется равенство двух выражений, содержащих одну переменную.
Однако высказывание функция
(или функция
) на множестве задания обозначает именно функцию..."
Другими словами: табличный способ задания функции является наиболее универсальным, хотя, в случае числовых функций, может быть достаточно трудоемким. Зато в случае нечисловых функций он может оказаться самым продуктивным как, например, в случае, рассмотренном в п.1.
4. Берем функцию площади круга: y = πx2 (рисунок из Википедии):
5. Чертим таблицу:
6. Разделяем таблицу на две части:
7. Чертим для наглядности линии связи значений двух переменных:
8. Теперь проводим некую дополнительную манипуляцю. До этого момента связь двух переменных была непосредственной (!) Теперь введем дополнительно некую опосредованную связь в виде красной ломаной линии:
9. До этого момента, изучая функции в общем виде и в виде различных частных случаев нам не требовалось понятие "точки". Еще раз: Понятие "функция" и понятие "точка" до сих пор не имели ничего общего, даже при рассмотрении различных частных случаев!
Что мы делаем далее? Используем понятие числовой оси. Чертим схематично без соблюдений масштаба и соотношений:
10. Наконец-то, у нас появились точки! Отмечаем для себя, что точки появились лишь в очень узком частном случае рассмотрения понятия функции. То есть при рассмотрении числовой функции, когда мы стали рассматривать частный случай общего понятия величины: длину (смотреть здесь).
Чтобы не загромождать статью схемами и чертежами, поясняю дальнейшие действия в нашем эксперименте по установлению истины:
11.1. Ось аргументов не трогаем, а ось ординат совмещаем с осью абсцисс в точке (0;0) и, поворачивая против часовой стрелке, следим внимательно за двумя связями пар чисел: непосредственной и опосредованной.
11.2. Довернув ось ординат до угла в девяносто градусов, обращаем внимание на следующие моменты:
11.3. Никаких тангенсов и никаких касательных не было до прямого угла, хотя все "принадлежности" функции сохранялись!
12. Теперь смотрим на результат поворота (на оси ординат я не стал вставлять схематические значения):
13. Нижний гиф-файл здесь, мне кажется способен "вправить" мозг в нормальное состояние...
Теперь о Теореме Ферма. Великой ее назвали те, кто не смог всунуть в свой мозг три множества, вместо двух, ограничивающих количество множеств определением функции, принятым в современной математике. На самом деле - это элементарная задачка для функции двух аргументов, которую будут изучать в средней школе после того, когда мне дадут возможность ввести в научный оборот разработанный мною структурный анализ. Ну, а если не дадут, то она так и останется великой на неопределенное время. Подробнее в конце этой статьи, в комментариях к ней, здесь и здесь.
2. Там же дается пример еще одного частного случая функций, который называется числовая функция и показаны четыре способа задания этих функций:
3. А вот теперь следим внимательно "за руками"! Для начала можно подготовиться, почитав этот диалог на тему "производной функции в точке". Смотрим на два последних способа задания числовых функций. Аналитически заданную функцию можно изобразить в виде таблицы таким способом (далее текст из Википедии):
"...Функцию можно задать, перечислив все её возможные аргументы и значения для них. После этого, если это необходимо, функцию можно доопределить для аргументов, которых нет в таблице, путём интерполяции или экстраполяции...
Само по себе равенство
, без указания что это функция, заданная на некотором множестве, функцией не является.
Например,
есть равенство выражений, содержащих разные переменные. Аналогично, если
является другим обозначением переменной
, то
также есть равенство выражений, содержащих разные переменные. Если же в равенстве
слева стоит обозначение выражения, содержащего переменную
, то имеется равенство двух выражений, содержащих одну переменную.
Однако высказывание функция
(или функция
) на множестве задания обозначает именно функцию..."
Другими словами: табличный способ задания функции является наиболее универсальным, хотя, в случае числовых функций, может быть достаточно трудоемким. Зато в случае нечисловых функций он может оказаться самым продуктивным как, например, в случае, рассмотренном в п.1.
4. Берем функцию площади круга: y = πx2 (рисунок из Википедии):
5. Чертим таблицу:
6. Разделяем таблицу на две части:
7. Чертим для наглядности линии связи значений двух переменных:
8. Теперь проводим некую дополнительную манипуляцю. До этого момента связь двух переменных была непосредственной (!) Теперь введем дополнительно некую опосредованную связь в виде красной ломаной линии:
9. До этого момента, изучая функции в общем виде и в виде различных частных случаев нам не требовалось понятие "точки". Еще раз: Понятие "функция" и понятие "точка" до сих пор не имели ничего общего, даже при рассмотрении различных частных случаев!
Что мы делаем далее? Используем понятие числовой оси. Чертим схематично без соблюдений масштаба и соотношений:
10. Наконец-то, у нас появились точки! Отмечаем для себя, что точки появились лишь в очень узком частном случае рассмотрения понятия функции. То есть при рассмотрении числовой функции, когда мы стали рассматривать частный случай общего понятия величины: длину (смотреть здесь).
Чтобы не загромождать статью схемами и чертежами, поясняю дальнейшие действия в нашем эксперименте по установлению истины:
11.1. Ось аргументов не трогаем, а ось ординат совмещаем с осью абсцисс в точке (0;0) и, поворачивая против часовой стрелке, следим внимательно за двумя связями пар чисел: непосредственной и опосредованной.
11.2. Довернув ось ординат до угла в девяносто градусов, обращаем внимание на следующие моменты:
11.3. Никаких тангенсов и никаких касательных не было до прямого угла, хотя все "принадлежности" функции сохранялись!
12. Теперь смотрим на результат поворота (на оси ординат я не стал вставлять схематические значения):
13. Нижний гиф-файл здесь, мне кажется способен "вправить" мозг в нормальное состояние...
Теперь о Теореме Ферма. Великой ее назвали те, кто не смог всунуть в свой мозг три множества, вместо двух, ограничивающих количество множеств определением функции, принятым в современной математике. На самом деле - это элементарная задачка для функции двух аргументов, которую будут изучать в средней школе после того, когда мне дадут возможность ввести в научный оборот разработанный мною структурный анализ. Ну, а если не дадут, то она так и останется великой на неопределенное время. Подробнее в конце этой статьи, в комментариях к ней, здесь и здесь.