Задачи для 8 класса
1. Маша хочет разложить 25 карандашей в 8 разных коробок так, чтобы количество карандашей в коробках было попарно различным. Как это сделать? (Если это невозможно, то объясните, почему.)
2. В любую клетку квадрата 8х8 разрешается поставить жёлтую, красную или синюю фишку, но так, чтобы никакие две фишки разных цветов не оказались на одной вертикали или горизонтали. Выставьте наименьшее возможное количество фишек, к которым (с учётом этого запрета) нельзя было бы добавить ни одной ещё.
3. Вова записал несколько многочленов, возвёл каждый в квадрат и сложил результаты. В итоге он получил выражение x2+y2+z2+2013(ху+xz+уz)+1. Коля не знает, какие именно многочлены использовал Вова, но уверен, что тот ошибся. Кто из них прав и почему?
4. Ян коллекционирует геометрические модели. Любые две из его моделей отличаются либо по размеру, либо по форме, либо по цвету, либо сразу по нескольким признакам. Есть модели трёх размеров (мелкие, средние и крупные), причём их количество попарно различно. Есть модели четырёх форм (шары, кубы, пирамиды и цилиндры), причём их количество попарно различно. Есть модели пяти цветов (жёлтые, синие, красные, белые, зелёные), причём их количество попарно различно. Чему равно наибольшее возможное число моделей в коллекции, удовлетворяющей этим условиям?
5. Марк последовательно выписывает числа 122, 122122, 122122122 и т.д. На каком шаге он запишет число, нацело делящееся на 2013?
6. На турнир приезжают 9 шахматистов, каждые два из которых должны будут сыграть одну партию между собой. Организаторы хотят провести турнир в 3 городах в течение 4 дней. Важно, чтобы ежедневно все игроки играли одинаковое число партий, и никому из них не пришлось бы переезжать в другой город в течение игрового дня. Составьте расписание турнира, удовлетворяющее этим требованиям. (Если это невозможно сделать, то объясните, почему.)
2. В любую клетку квадрата 8х8 разрешается поставить жёлтую, красную или синюю фишку, но так, чтобы никакие две фишки разных цветов не оказались на одной вертикали или горизонтали. Выставьте наименьшее возможное количество фишек, к которым (с учётом этого запрета) нельзя было бы добавить ни одной ещё.
3. Вова записал несколько многочленов, возвёл каждый в квадрат и сложил результаты. В итоге он получил выражение x2+y2+z2+2013(ху+xz+уz)+1. Коля не знает, какие именно многочлены использовал Вова, но уверен, что тот ошибся. Кто из них прав и почему?
4. Ян коллекционирует геометрические модели. Любые две из его моделей отличаются либо по размеру, либо по форме, либо по цвету, либо сразу по нескольким признакам. Есть модели трёх размеров (мелкие, средние и крупные), причём их количество попарно различно. Есть модели четырёх форм (шары, кубы, пирамиды и цилиндры), причём их количество попарно различно. Есть модели пяти цветов (жёлтые, синие, красные, белые, зелёные), причём их количество попарно различно. Чему равно наибольшее возможное число моделей в коллекции, удовлетворяющей этим условиям?
5. Марк последовательно выписывает числа 122, 122122, 122122122 и т.д. На каком шаге он запишет число, нацело делящееся на 2013?
6. На турнир приезжают 9 шахматистов, каждые два из которых должны будут сыграть одну партию между собой. Организаторы хотят провести турнир в 3 городах в течение 4 дней. Важно, чтобы ежедневно все игроки играли одинаковое число партий, и никому из них не пришлось бы переезжать в другой город в течение игрового дня. Составьте расписание турнира, удовлетворяющее этим требованиям. (Если это невозможно сделать, то объясните, почему.)