Так ли непротиворечива математика?
Почему все это не работает?Х. Патнэм
Эта запись небольшое введение в суть вопроса. А о чем собственно разговор. Для тех, кому оно нужно. Когда-то для меня, студентки второго курса физико-математического факультета, данная информация стала громом среди ясного неба. Рухнул фундамент математики с его непротиворечивостью и логической стройностью. Поиск истины - главный вопрос математики. А к чему пришли сейчас?
Более двух тысячелетий он занимает умы математиков. Обилие рожденных теоретических фактов стало фундаментом и источником абсолютного знания, а за пределами самой математики основой новых теорий. Для получения мощных результатов математика использовала особый метод - метод дедуктивных выводов из системы небольшого числа самоочевидных положений. Аксиоматический подход. Его очевидная и безупречная логика позволила достичь значительных результатов, получив многочисленные заключения без всякой опоры на опыт и выстроив в строгую концепцию целые теории. До сих пор, всякий раз говоря о точности и надежности умозаключений, вспоминают математику. А так ли это на самом деле?
Созданные в начале XIX века, необычные геометрии и алгебры подвели ученых к мысли, что математика не есть абсолютная истина. Это был первый сигнал о грядущем глубочайшем кризисе. Развитие пошло по алогичному пути. Рождение новых, сложных и одновременно нечетких, теорий в сочетании с уверенностью в бесспорности результатов привело к поспешности выводов и пренебрежении строгостью рассуждений. Обнаружение многочисленных логических изъянов спровоцировало к концу XIX века широкомасштабное движение за математическую строгость.
В ходе общей реконструкции логической структуры математики были обнаружены неразрешимые противоречия, которые окончательно опровергли миф о незыблемости математических истин и их неопровержимости. Как следствие, возникли три подхода к пониманию и построению математики как науки. Все они ставили своей задачей разрешить известные противоречия и гарантировать отсутствие новых в будущем. Они пытались восстановить былую, хотя и кажущуюся, непротиворечивость науки. К 30-м годам XX века каждый из подходов преуспел внутри себя, но ни в коей мере не согласовался в ряде существенных вопросов с остальными. Однако, стало возможным говорить о логической выверенности математических доказательств, если они были выполнены в рамках одного подхода. Выход в свет работы Курта Геделя, в которой он показал, что непротиворечивость математики нельзя обосновать, не затрагивая самих логических принципов, вызвал шоковую реакцию. Сами подходы начали делиться и дифференцироваться с учетом выявленных проблем.
В настоящий момент существует не одна, а много математик. Каждая из них отличается индивидуальной концепцией и как следствие множеством доказываемых на ее основе утверждений. Появление около столетия назад на почве разгорающихся страстей вокруг оснований математики новой ветви философии - философии математики - было вполне естественно. Это позволило исследования в области оснований математики и математической логики рассматривать как философские программы: логицизм, интуиционизм и формализм. С течением времени родилось разочарование от выполненных программ. Философия математики оказалась в глубоком кризисе. Возможно, проводимые исследования перешли в разряд «технических», чисто математических и логических. Устоялись три классических направления, что объяснялось их способностью увязать проблемы математические и философские. Однако, дальнейшее развитие пока неопределенно. Раскрытие пути от безупречной математики к математике философской мы и посмотрим в череде нескольких шутливых записей. Немного софизмов.
Эта запись небольшое введение в суть вопроса. А о чем собственно разговор. Для тех, кому оно нужно. Когда-то для меня, студентки второго курса физико-математического факультета, данная информация стала громом среди ясного неба. Рухнул фундамент математики с его непротиворечивостью и логической стройностью. Поиск истины - главный вопрос математики. А к чему пришли сейчас?
Более двух тысячелетий он занимает умы математиков. Обилие рожденных теоретических фактов стало фундаментом и источником абсолютного знания, а за пределами самой математики основой новых теорий. Для получения мощных результатов математика использовала особый метод - метод дедуктивных выводов из системы небольшого числа самоочевидных положений. Аксиоматический подход. Его очевидная и безупречная логика позволила достичь значительных результатов, получив многочисленные заключения без всякой опоры на опыт и выстроив в строгую концепцию целые теории. До сих пор, всякий раз говоря о точности и надежности умозаключений, вспоминают математику. А так ли это на самом деле?
Созданные в начале XIX века, необычные геометрии и алгебры подвели ученых к мысли, что математика не есть абсолютная истина. Это был первый сигнал о грядущем глубочайшем кризисе. Развитие пошло по алогичному пути. Рождение новых, сложных и одновременно нечетких, теорий в сочетании с уверенностью в бесспорности результатов привело к поспешности выводов и пренебрежении строгостью рассуждений. Обнаружение многочисленных логических изъянов спровоцировало к концу XIX века широкомасштабное движение за математическую строгость.
В ходе общей реконструкции логической структуры математики были обнаружены неразрешимые противоречия, которые окончательно опровергли миф о незыблемости математических истин и их неопровержимости. Как следствие, возникли три подхода к пониманию и построению математики как науки. Все они ставили своей задачей разрешить известные противоречия и гарантировать отсутствие новых в будущем. Они пытались восстановить былую, хотя и кажущуюся, непротиворечивость науки. К 30-м годам XX века каждый из подходов преуспел внутри себя, но ни в коей мере не согласовался в ряде существенных вопросов с остальными. Однако, стало возможным говорить о логической выверенности математических доказательств, если они были выполнены в рамках одного подхода. Выход в свет работы Курта Геделя, в которой он показал, что непротиворечивость математики нельзя обосновать, не затрагивая самих логических принципов, вызвал шоковую реакцию. Сами подходы начали делиться и дифференцироваться с учетом выявленных проблем.
В настоящий момент существует не одна, а много математик. Каждая из них отличается индивидуальной концепцией и как следствие множеством доказываемых на ее основе утверждений. Появление около столетия назад на почве разгорающихся страстей вокруг оснований математики новой ветви философии - философии математики - было вполне естественно. Это позволило исследования в области оснований математики и математической логики рассматривать как философские программы: логицизм, интуиционизм и формализм. С течением времени родилось разочарование от выполненных программ. Философия математики оказалась в глубоком кризисе. Возможно, проводимые исследования перешли в разряд «технических», чисто математических и логических. Устоялись три классических направления, что объяснялось их способностью увязать проблемы математические и философские. Однако, дальнейшее развитие пока неопределенно. Раскрытие пути от безупречной математики к математике философской мы и посмотрим в череде нескольких шутливых записей. Немного софизмов.