дощило... чи є нескінчене ідеальним?... :)
... отож, надворі справді дощило... "чи є нескінчене ідеальним?" - запитання відверто софістичне, і протиставити тій софістичності можна хіба що тільки математичну конкретику... точніше, геометричну... і хто прочитає той пост до кінця, той зрозуміє, чому іншим варіантом назви допису був заклик "не вір очам своїм"...
Почнемо з того, що, дивлячись на поданий нижче рисунок, спитаємо себе, що на ньому зображено...?
Майже кожен, хто читає той пост, здатен відповісти, що на ньому показано дві прямі лінії, а крім них - зліва від пунктирної прямої - зображено коло і його центр, а справа... хто ще пам"ятає щось зі школи, скаже - напевно, то парабола... і не помилиться... принаймі в частині стосовно кола відповідь виглядає беззаперечною...
І справді, достатньо взяти в руки циркуль, щоб переконатись, що зліва справді коло... правда, тут не вказано масштаб, і в реальності якесь коло може, наприклад, виявитись таким, що циркуля відповідного розміру в арсеналі людства не існує, або проводити ним коло заваджає якесь болото чи море... ну але можна ж ввести й масштаби, побудувати якусь координатну сітку, провести належні вимірювання і знову ж таки переконатись, що принаймі зліва - таки справді коло... що і показано на наступному рисунку:
Як бачимо, на ньому до показаного на попередньому рисунку добавилась згадана вище координатна сітка з рівномірними шкалами (те, що за початок системи координат взято не центр кола - несуттєво), підписи до кривих, а також - дивна червона пряма справа з дещо інтригуючою назвою. Прокоментуємо її детальніше.
Відразу зазначу, що нічого нового я тут не вигадую - всі поняття і назви взято зі звичайних підручників по геометрії, яких у світі написано/переписано майже незліченну кількість. Так от, відомо, що вітки параболи при продовженні їх вправо по осі ОХ асимптотично наближаються до паралельних прямих, і "на нескінченості", ставши таки паралельними, зійдуться у одній - нескінчено далекій точці, позначеній на рисунку буквою І.
Хто знає фізику, геометричну оптику, той пригадає, що для телескопів будують саме параболічні дзеркала, щоб використовувати для своїх потреб так звану оптичну властивість кривих 2 порядку, за якою промінь світла, вийшовши з одного фокусу кривої і відбившись від самої кривої, неодмінно попадає в другий її фокус. А у випадку параболи один її фокус знаходиться "на нескінченості", тому промені світла з того фокуса йдуть паралельно її осі паралельним пучком (про що вище й мова), який потім, відбившись від параболічної поверхні дзеркала, йде далі в напрямку другого фокуса... і т.д...
На рисунку ми використовуємо кусочок звичайної евклідової площини, на якій ота "нескінчено далека ідеальна пряма" відсутня не тільки в практичному сенсі, але й в теоретичному. Тому геометри домовляються - давайте умовно доповнимо нашу евклідову площину ще однією особливою прямою (вони називають її "ідеальною" або ще інколи "невласною") і вважатимемо, що на ній перетинаються паралельні прямі з будь-яких всеможливих груп-пучків паралельних прямих.
Отож, на нашому рисунку така "ідеальна" пряма перетинає вісь іксів у точці "х = нескінченість", і якщо б ми цим обмежились, то ніякої потреби згадувати про оту "ідеальну нескінчено далеку" пряму й не було б.
Але якщо знайдеться хтось, хто, уважно то все читаючи, і володіючи при тому колючим характером і критичним, недовірливим до всього розумом, від яких немало потерпають всі довколишні рідні та друзі, скаже: "Стійте!... почекайте... заждіть... навіщо нам вводити оті всі координатні сітки, займатися їх оцифровуванням, вимірюванням відповідних довжин (це ж величезна купа додаткової і, можливо, зайвої роботи), хіба без того всього не ясно, що перед нами на першому рисунку коло і парабола - тоді все може стати з ніг на голову, і світ - перевернутися...
Справді... якщо вже ми вирішили перевіряти, чи є коло колом, з допомогою координатної сітки, якоїсь системи координат, то зовсім несподівано може постати запитання - а чому та координатна сітка повинна бути саме такою, до якої ми звиклися протягом всього своого життя, свідомо й підсвідомо? Чому вона повинна бути прямолінійною, прямокутною, чому оцифровка має бути обов"язково рівномірною?...
Навіть якщо б чисто вольовим рішенням ввести заборону на розгляд питання про криволінійні координати, обмежившись тільки прямолінійними, то всеодно вся ця тема тут розкритою бути не може. Але якщо хтось таки зміг поставити таке собі запитання, то йому під силу буде, взявши якийсь один частковий випадок, подивитись, чи слушними є його сумніви, і що буде, якщо зробити все не так, як завжди і як звикло...
Наприклад, залишимо всі показані на рис.2 прямі і криві такими, як вони є, і тільки дещо переіменуємо, але з певним умислом.
Перш за все поставимо собі питання, чим обумовлена рівномірність шкали осі ОХ? - відповімо собі, що обумовлена вона зручністю, звиклістю, і заради цікавості відмовимось від всього цього! Причому поступатимемо далі кардинально. По осі ОХ залишимо позначку "1" на свому місці, а "0" і нескінченість" поміняємо місцями! Що ж до осі ОУ - то збережемо паралельність всіх прямих у цьому напрямку, перпендикулярному осі ОХ. Результат бачимо на наступному рисунку:
Бачимо, що при взаємній заміні "0" і "нескінченість" та збереженні точки "1" наша нова шкала стала нерівномірною: старому відрізку від 0 до 1, що був діаметром кола, тепер відповідає відрізок з позначками від 1 до нескінченості, а старому відрізку від 1 до нескінченості відповідає тепер відрізок від 0 до 1!
Тобто, наша "стара" вісь ОУ перенеслась тепер вправо у нескінченість, а "стара" "ідеальна нескінчено далека" пряма стала на її місце. Розуміючи, що ми своєю заміною немов здеформували вісь ОХ (помінявши її напрямок на протилежний), ми можем збагнути, що ми неначе здеформували (і дзеркально відбили!) всю площину, яку мали на другому рисунку, і нанесену на ній координатну сітку наступним чином:
Як видно з отого - останнього вже - рисунку, тепер зелена крива - то розтягнуте здеформоване коло, центр якого розташувався у "старій" нескінченості, натомість синя крива - насправді парабола, яка своїми двома вітками сходиться в одній точці, якою торкається нової "ідеальної" прямої, котра на новій шкалі теж знаходиться у "новій" нескінченості, але на старій шкалі - "прямо перед нашим носом"...
От як ті математики вміють все заплутати!...)
Що з того всього можна винести корисного?
Найперше, це те, що однозначно відповісти, що показано на першому рисунку, без отих всіх шкал, сіток, нескінчено далеких і ідеальних (невласних) прямих - не можна. Однозначність появиться, коли ми пояснимо, що ще ми підрозуміваємо під усім цим, даючи свою відповідь...)
По-друге. Принаймі в геометрії евклідової площини, доповненої ідеальною прямою, нескінченість не є абсолютною. І усвідомлення цього може викликати в свідомості допитливого читача справжній переворот, а в підсвідомості - шок і стрес... після чого розуміння того, як далі жити і що робити, може похитнутися. Тому з тим поводитися треба обережно...)
Третє. Твердження "Абсолютних істин не існує" цим постом гарно ілюструється теж, проте як сприймати саме то твердження на тлі його ж змісту - кожен нехай вирішує сам.
Четверте. Дощ минув, пора завершувати. Щиро вдячний всім і кожному, хто безповоротно потратив свій життєвий час на ознайомлення зі всім вище написаним і намальованим...)