Задачки для 8-11
Продолжение позавчерашнего поста с задачками.
От Пирса до Высокой сосны
В бассейне (в стоячей воде) скорость Пети вдвое выше, чем скорость Васи. Но время, за которое Петя проплывает по реке от Пирса до Высокой сосны ровно такое же, какое тратит Вася, проплывая от Высокой сосны до Пирса. Во сколько раз быстрее доплывает Петя от Высокой сосны до Пирса, чем Вася в обратном направлении?
[пояснения]
И к ней в пару еще такая задача.
Петя проплывает по реке от Пирса до Высокой сосны втрое быстрее, чем обратно. Он знает, во сколько раз быстрее Васи он плавает в бассейне, поэтому с уверенностью утверждает, что Васе путь туда-обратно и вовсе не под силу. Во сколько раз Петя быстрее Васи в стоячей воде?
[пояснения]
Замаскированная теория чисел
В вершинах тетраэдра записали 4 разных натуральных числа. На каждом ребре написали произведение этих чисел. В каждой грани записали произведение трех чисел в ее вершинах. Внутри тетраэдра записали число, равное произведению чисел во всех его вершинах. Все эти числа сложили и получили 2024. Какие числа были написаны в вершинах?
[пояснения]
Классическая геометрия
В трапеции ABCD основание BC вдвое меньше основания AD, а диагональ АС равна боковой стороне CD. Найдите величину угла A трапеции.
[пояснения]
Однажды в Хогвартсе
Встретились как-то раз три ученика-волшебника из Хогвартса.
Белла сказала: среди этих двух нет волшебников.
Томми сказал: среди этих двух тут всего один волшебник!
А Мина сказала: среди этих двух оба волшебники.
А все дело в том, что слизеринцы грязнокровок за волшебников не считают! Кто из детей учится в Слизерине? Кто из детей чистокровные волшебники?
[пояснения]
Город Прогрессо
План мексиканского города Прогресо представляет собой пересечение взаимно перпендикулярных прямых -- улиц. На всех улицах одностороннее движение. Те улицы, что идут с севера на юг, пронумерованы подряд четными числами. Те, что идут с запада на восток, пронумерованы подряд нечетными числами. Любые две соседние улицы разнонаправлены (движение в противоположных направлениях) и находятся на расстоянии 200 метров друг от друга. Мексиканка Катрина стоит на мотоцикле на углу 51-ой и 60-ой улиц, а ей надо попасть на заправку на угол 53-ей и 62-ой. У нее осталось бензина на 1 км, сможет ли она доехать до заправки?
(аккуратно, тут под спойлером не только рассуждения, но и подсказка к решению)
[пояснения]
Задача про Суперманзану 28
В равносторонний шестиугольник вписан квадрат так, что две его вершины совпадают с вершинами шестиугольника, а две другие - с серединами сторон шестиугольника. Во сколько раз площадь этого квадрата больше площади оставшейся части шестиугольника?
[пояснения]
Неопытный доставщик
Приложение доставки Walt рассчитывает время доставки, ориентируясь на среднюю скорость курьера в городе 30 км/час. Неопытный доставщик Оли первые 5 километров доставки проехал со скоростью ровно 30 км/час, но потом на 5 минут застрял на светофоре. С какой скоростью ему нужно проехать оставшиеся 5 километров, чтобы соблюсти время доставки, установленное приложением?
[пояснения]
От Пирса до Высокой сосны
В бассейне (в стоячей воде) скорость Пети вдвое выше, чем скорость Васи. Но время, за которое Петя проплывает по реке от Пирса до Высокой сосны ровно такое же, какое тратит Вася, проплывая от Высокой сосны до Пирса. Во сколько раз быстрее доплывает Петя от Высокой сосны до Пирса, чем Вася в обратном направлении?
[пояснения]
- Задачу предлагали в 8 классе. Для 8 класса она несложная.
И к ней в пару еще такая задача.
Петя проплывает по реке от Пирса до Высокой сосны втрое быстрее, чем обратно. Он знает, во сколько раз быстрее Васи он плавает в бассейне, поэтому с уверенностью утверждает, что Васе путь туда-обратно и вовсе не под силу. Во сколько раз Петя быстрее Васи в стоячей воде?
[пояснения]
- Вообще, задачи довольно часто придумываются сериями. Считается хорошим тоном, если автор придумал серию задач -- то либо взять всю (или почти всю) серию в разные классы, либо же всю серию не трогать. Понятно, почему. Когда ребята пишут параллельно, ничего страшного, что задачи у них похожие. Если же одна из однотипных задач будет использована, то использовать вторую, например, на следующий год уже будет не очень круто.
- В этом варианте предлагали задачу в 10 классе.
- Задачи, конечно, похожие, но разные.
Замаскированная теория чисел
В вершинах тетраэдра записали 4 разных натуральных числа. На каждом ребре написали произведение этих чисел. В каждой грани записали произведение трех чисел в ее вершинах. Внутри тетраэдра записали число, равное произведению чисел во всех его вершинах. Все эти числа сложили и получили 2024. Какие числа были написаны в вершинах?
[пояснения]
- Задачу предлагали в 8 классе. Она не сверх-легкая.
- От числа 2024 решение зависит. Для других чисел будет другое решение.
Классическая геометрия
В трапеции ABCD основание BC вдвое меньше основания AD, а диагональ АС равна боковой стороне CD. Найдите величину угла A трапеции.
[пояснения]
- Задачка для 8 класса.
Однажды в Хогвартсе
Встретились как-то раз три ученика-волшебника из Хогвартса.
Белла сказала: среди этих двух нет волшебников.
Томми сказал: среди этих двух тут всего один волшебник!
А Мина сказала: среди этих двух оба волшебники.
А все дело в том, что слизеринцы грязнокровок за волшебников не считают! Кто из детей учится в Слизерине? Кто из детей чистокровные волшебники?
[пояснения]
- Это была самая обсуждаемая задача. Очень долго члены жюри спорили, ведь школьники не знают, и не обязаны знать, кто такой Хогвартс, кто такие волшебники и кто такие грязнокровки. Задача как бы классная, но если начать все пояснять, то становится ужасно длинная.
В итоге к задачке в конце приписали дисклеймер в виде "Напомним, что Слизерин - это один из факультетов школы магии Хогвартс." -- и задачку со скрипом взяли (см. задачу "Прям как в жизни" из прошлой подборки).
У школьников не возникло ни одного вопроса к Хогвартсу, волшебникам или грязнокровкам. Только один вопрос: "Мина -- это что, женское имя?" - Да, имена детей -- тоже с отсылками к книжкам. Но для решения задачи это неважно.
- Задачу в итоге давали в 9 классе. Только там редакторы варианта решили, что задача понятная. В одном из других вариантов не взяли как раз не потому, что неинтересная, или что-то, а потому что ничего не понятно.
Город Прогрессо
План мексиканского города Прогресо представляет собой пересечение взаимно перпендикулярных прямых -- улиц. На всех улицах одностороннее движение. Те улицы, что идут с севера на юг, пронумерованы подряд четными числами. Те, что идут с запада на восток, пронумерованы подряд нечетными числами. Любые две соседние улицы разнонаправлены (движение в противоположных направлениях) и находятся на расстоянии 200 метров друг от друга. Мексиканка Катрина стоит на мотоцикле на углу 51-ой и 60-ой улиц, а ей надо попасть на заправку на угол 53-ей и 62-ой. У нее осталось бензина на 1 км, сможет ли она доехать до заправки?
(аккуратно, тут под спойлером не только рассуждения, но и подсказка к решению)
[пояснения]
- Задача в этой формулировке была в 9 классе.
- Катрина -- не мексиканское имя. Мексиканский/испаноязычный вариант этого имени -- Каталина. "Ла Катрина" -- это мексиканский вот этот женский скелет к Дню Мертвых, такой нарядный и специфический.
- Вначале был вопрос: "Какого минимального количества бензина Катрине гарантировано хватит, чтобы доехать до заправки?" -- но решили, что он сильно сложный.
Не то, чтобы математически сильно сложный. Просто не все дети (и даже взрослые) понимают, что такое "гарантировано хватит". И опять же, тогда задача получается двухходовка. - В 8 классе задача предлагалась в такой формулировке:
В мексиканском городе Прогрессо все улицы односторонние, и две соседние улицы всегда разнонаправлены. Схема города указана на рисунке (расстояние между соседними улицами всегда 200 метров). Мексиканка Катрина находится на перекрестке и бензина у нее осталось на 1 километр. Но тут она замечает, что по диагонали через площадь от нее находится заправка! Хватит ли Катрине бензина доехать до заправки, соблюдая ПДД?
- В Мексике действительно есть город Прогрессо. Но улицы так пронумерованы не в нем, а в соседнем городе -- в Мериде.
Задача про Суперманзану 28
В равносторонний шестиугольник вписан квадрат так, что две его вершины совпадают с вершинами шестиугольника, а две другие - с серединами сторон шестиугольника. Во сколько раз площадь этого квадрата больше площади оставшейся части шестиугольника?
[пояснения]
- Задачу давали в 10 классе.
- Можно спрашивать намного более легкий вопрос: какая часть больше, красная или синяя?
- Задача была в 10 классе.
- Задача не то, чтобы суперская. Просто мне картинка понравилась. А вот картинка возникла при разглядывании карты нашего города Канкуна в Мексике.
- В один из младших классов коллеги задачу переделали. Нарисовали рисунок по клеточкам, и спросили немножко другой вопрос (шестиугольник потерял равностороннесть -- ну и черт с ней).
Неопытный доставщик
Приложение доставки Walt рассчитывает время доставки, ориентируясь на среднюю скорость курьера в городе 30 км/час. Неопытный доставщик Оли первые 5 километров доставки проехал со скоростью ровно 30 км/час, но потом на 5 минут застрял на светофоре. С какой скоростью ему нужно проехать оставшиеся 5 километров, чтобы соблюсти время доставки, установленное приложением?
[пояснения]
- Задачу предлагали в 11 классе как не самую легкую. Решили сильно не все.
- Имя доставщика Оли -- популярное в Мексике мужское имя, сокращение от Оливер. Но в олимпиаде имя просто убрали, чтобы не вызывало вопросы.