Является ли полем кольцо Z[√6]?

[kodt_rsdn]

Я чот подзабил на теорию колец и полей (потому что в институте их глубоко не проходили, а самостоятельно в абстрактную алгебру втыкал постольку-поскольку). Поэтому, возможно, задаю глупый вопрос. Но он меня грызёт.

Кольцо ℤ[√6] ⊂ ℝ - это вещественные числа, полученные из пары целых:

ℤ[√6] = {(a + b√6) | a, b ∈ ℤ}

Comments

[fat_crocodile]

Так, я сначала всё верно написал, а потом запутался :)
Это кольцо, там нет даже дробей.
Это же алгебра, а не матан и не топология, тут нужно не чтобы в окрестности, а чтобы просто было.

[kodt_rsdn]

Так вот я и хочу понять, всегда ли можно найти обратное число в этом кольце?

Если да, тогда Z[√6] включает в себя Q. Потому что целые числа в Z[√6], обратные целым тоже должны быть в нём (мы на это надеемся), ну и все дроби тоже будут в нём.

Собственно, доказательство.

Пусть m / n = a + b√6: пытаемся найти Z[√6]-представление произвольного рационального числа.

Тогда √6 = (m/n-a)/b = (m-an)/bn

Ну и всё, мы вывалились из Q.

Значит, Q не в Z[√6], и значит, Z[√6] не поле.

Вотъ такъ! Месяц в голове крутил, потом за пять минут опроверг. :(

[fat_crocodile]

так я же говорю, нет.
там нету 1/3. Ну, ни при каких целых а, b не будет равенства

1/3 = a + b*sqrt(3)

[fat_crocodile]

Извини, я тут параллельно занятие вел, писал, пока ученик думал, так что не дочитывал твои комментарии до конца :) Отреагировал на первую. строчку.

Да, конечно, ты всё верно доказал.