Математические задачи на "Элементах", 2011-...
Я тут подумал и сделал ссылочную страничку. Пользуйтесь на здоровье.
(Учтите, что условия задач приведены в кратком виде, для чтения полных условий нужно перейти по ссылке на "Элементы")
Что больше?
Петя отметил внутри правильного шестиугольника некоторую точку и соединил ее отрезками с каждой из вершин. Получившиеся шесть треугольников он покрасил через один в два цвета - красный и зеленый. Что больше: сумма площадей красных треугольников или сумма площадей зеленых треугольников? Ответ обоснуйте.
Евгений Епифанов, 7.09.15
Прыжки Виета
Натуральные числа a и b таковы, что a2 + b2 + 1 делится на ab без остатка. Докажите, что частное равно 3.
Константин Кноп, 10.08.15
Один в поле воин
а) На клетчатой плоскости нарисован треугольник с вершинами в узлах сетки, внутри которого находится ровно один узел. Какое наибольшее число узлов может быть на границе этого треугольника? б) Внутри выпуклого многоугольника с вершинами в узлах находится ровно один узел. Какое наибольшее число вершин может быть у этого многоугольника?
Евгений Епифанов, 13.07.15
Помогите нумизмату
У нумизмата имеются одинаковые на вид монеты, среди которых есть настоящие и фальшивые. Все настоящие весят одинаково, все фальшивые весят по-разному и тяжелее настоящих. Известно общее количество монет и сколько среди них фальшивых. Как за наименьшее число взвешиваний на двухчашечных весах без гирь найти хотя бы одну настоящую монету?
Константин Кноп, 15.06.15 | Комментарии (6)
Рыцарский турнир на выбывание
В рыцарском турнире на выбывание участвуют 128 рыцарей. Сила каждого известна, у всех рыцарей она разная. Побеждает всегда сильнейший. Продолжительность каждого поединка зависит от силы противников: чем меньше разница в силе, тем дольше будет идти поединок. Как распределить рыцарей по сетке турнира, чтобы он продлился как можно дольше? А если время каждого следующего раунда «стоит» в 2 раза больше? А если время каждого следующего раунда «стоит» в 10 раз больше?
Дмитрий Дагаев, Алексей Суздальцев, 18.05.15
Паркеты из полимино
а) Придумайте три различных замощения плоскости данными фигурками пентамино. б) Докажите, что существует бесконечно много различных замощений плоскости данными фигурками нонамино. в) Приведите пример еще одной фигурки гептамино, копиями которой нельзя замостить плоскость без пробелов и наложений.
Хайдар Нурлигареев, 20.04.15 | Комментарии (2)
Случайные блуждания
Студент Василий гуляет по центру города. На каждом перекрестке он случайным образом выбирает, куда пойти дальше (все варианты равновероятны). Дороги приводят либо к бару, либо к метро. С какой вероятностью Василий сначала попадет в бар?
Евгений Епифанов, 23.03.15 | Комментарии (8)
«Радикализм» в числах
Существуют ли такие три попарно взаимно простых натуральных числа A, B, C, что A + B = C и при этом C > 1000·rad(A·B·C)? Здесь rad(n) обозначает произведение всех простых делителей числа n, взятых по одному разу.
Евгений Епифанов, 23.02.15 | Комментарии (7)
Кратчайшие пути на многогранниках
Представьте, что перед вами висит на верёвочке прямоугольный параллелепипед со сторонами 10 см, 10 см и 20 см. В одной из его вершин сидит божья коровка. а) Как божьей коровке быстрее всего добраться до противоположной вершины параллелепипеда и сколько сантиметров она при этом проползет? б) До какой точки параллелепипеда божьей коровке ползти из вершины дольше всего? в) Пусть теперь у нас есть две божьих коровки. В какие точки параллелепипеда нужно их посадить, чтобы они дольше всего не могли встретиться, как бы ни ползли?
Алексей Чернов, 26.01.15
Ёлки и фонари
На большой-пребольшой площади в канун Нового года поставили много-много ёлок и много-много фонарей, причём ёлок было больше, чем фонарей. Может ли оказаться так, что на расстоянии 1 метр от каждой ёлки стоит ровно 8 фонарей?
Константин Кноп, Евгений Епифанов, 29.12.14 | Комментарии (2)
Пиратская доля
Пираты делят сокровище. У каждого из них свои представления о прекрасном, поэтому одну и ту же долю разные пираты могут оценивать по-разному. Пират доволен дележом, если уверен, что получил не меньше 1/n добычи (n - число пиратов). Как пираты должны делить сокровище, чтобы остаться довольными? А как пиратам действовать если они завидуют друг другу и довольны, только если уверены, что получили не меньше каждого из остальных?
Евгений Епифанов, 1.12.14
Неизвестный угол
Саша шел по прямой с постоянной скоростью мимо высокого здания и заметил, что в 12:00 он видел здание под углом 45°, а в 12:05 - под углом 60°. Под каким углом увидит это здание Саша в 12:15? Как изменится ответ на эту задачу, если в 12:05 Саша по-прежнему увидел здание под углом 60°, но уже прошел мимо входа?
Константин Кноп, 20.10.14 | Комментарии (1)
Один раз отрежь
Перед вами листок бумаги с изображением: а) треугольника, б) пятиконечной звезды, в) многоугольника в форме плывущего лебедя. В каждом случае придумайте, как сложить листок, чтобы после этого соответствующую фигуру можно было вырезать одним непрерывным прямолинейным разрезом ножницами.
Евгений Епифанов, 25.08.14
Задача о средней монете
Из девяти монеток только одна настоящая, а остальные восемь - фальшивые. Четыре из фальшивых монет весят одинаково и легче настоящей, другие четыре тоже весят одинаково, но тяжелее настоящей. Найдите настоящую монету за шесть взвешиваний на двухчашечных весах без гирь.
Константин Кноп, 28.07.14 | Комментарии (2)
Обезьяна и орехи
Обезьяна хочет определить, из окна какого самого низкого этажа 15-этажного дома нужно бросить кокосовый орех, чтобы он разбился. Сколько бросков потребуется обезьяне, чтобы гарантированно удовлетворить свое любопытство, если у нее есть два ореха?
Хайдар Нурлигареев, 30.06.14 | Комментарии (4)
Правило первой цифры
Бывает, что первые цифры чисел в больших объемах данных, взятых из жизни, распределены неравномерно: единицы встречаются заметно чаще других цифр, двойки чаще троек и т. д. Предположим, что имеется очень большой набор чисел с таким свойством. Определите вероятности, с которыми случайно взятое число из этого набора будет начинаться на 1, 2, …, 9.
Евгений Епифанов, 2.06.14 | Комментарии (3)
Не просто прогрессии
1. Существует ли арифметическая прогрессия из 100 членов, любые два из которых взаимно просты?
2. Докажите, что не существует бесконечной арифметической прогрессии, состоящей только из простых чисел.
Борис Бычков, 28.04.14 | Комментарии (7)
Короче, Склифософский!
а) Можно ли соединить 4 дома, стоящих в вершинах квадрата со стороной 1000 м, дорожками так, чтобы от любого дома к любому другому можно было добраться по дорожкам, а суммарная длина всех дорожек не превышала 2800 м? б) Существует ли развёртка правильного тетраэдра с ребром 10 см, периметр которой не превышает 54 см?
Константин Кноп, 31.03.14 | Комментарии (6)
Задача о мятом рубле
Можно ли сложить прямоугольный лист бумаги в плоскую фигуру с периметром больше, чем у исходного прямоугольника? Рвать и резать бумагу, разумеется, нельзя.
Антон Айзенберг, 3.03.14 | Комментарии (1)
Задачка для фермера
1. Какое минимальное число огородных пугал нужно поставить на каждом из трех полей, изображенных на рисунке, чтобы из любой точки поля было видно хотя бы одно пугало? 2. Сколько пугал может понадобиться, если известно только, что поле имеет форму 12-угольника (не обязательно выпуклого)?
Евгений Епифанов, 3.02.14 | Комментарии (7)
Треугольник из кирпичей
Бригадир скомандовал своим рабочим выкладывать из кирпичей трех цветов треугольную стенку по следующему правилу: для нижнего ряда взять 10 произвольных кирпичей, затем на соседние кирпичи одного цвета класть кирпич того же цвета, а на разноцветные - кирпич оставшегося цвета. Бригадир-математик, взглянув на кирпичи нижнего ряда, всегда быстро и точно угадывает, какого цвета окажется верхний кирпич кладки. Как он это делает?
Константин Кноп, 6.01.14 | Комментарии (4)
Пятьдесят пенни
Однажды доктор Ватсон задумался, сколькими способами может Шерлок Холмс раздать 50 монет по одному пенни четверым своим юным помощникам (если учитывать и те варианты, когда кто-то из них ничего не получает), и решил задать этот вопрос Холмсу. Великий сыщик замер с трубкой в руках, но не прошло и пяти минут, как он воскликнул: «Это же элементарно, Ватсон!»
Борис Бычков, 9.12.13 | Комментарии (1)
Меченые шарики
Имеется 11 шаров - 5 красных и 6 белых. Известно, что один красный шар и один белый шар радиоактивны. Про любую группу шаров за одну проверку детектором можно узнать, имеется ли в ней хотя бы один радиоактивный шар (но нельзя узнать, сколько их). Можно ли за 5 проверок выявить оба радиоактивных шара?
Константин Кноп, 11.11.13 | Комментарии (25)
Испытание для трубадура
Принцесса живёт в 17-комнатном дворце, который представляет собой прямоугольник 1×17. Каждая комната дворца - спальня принцессы. Соседние спальни сообщаются между собой, и каждая спальня имеет окно. Если в окно спальни, где сейчас ночует принцесса, ровно в полночь постучится трубадур, то принцесса сбежит с ним, и они поженятся. Однако король против, и бдительная стража заставляет принцессу каждый день ночевать в другой спальне - соседней с той, где она ночевала перед этим (причём, в какой именно, выбирают стражники, а не принцесса). Сможет ли трубадур достучаться до принцессы, если у него в запасе всего месяц?
Константин Кноп, 14.10.13 | Комментарии (7)
Выборы, выборы
Пусть в выборах участвуют всего два кандидата и на каком-то участке проголосовало всего 100 человек. После подсчета оказалось, что за каждого отдано по 50 голосов, но при этом у первого кандидата в любой момент времени голосов было не меньше, чем у второго. Сколькими способами можно сложить стопку бюллетеней перед подсчетом, чтобы так получилось? Считаем, что все бюллетени разные: например, каждый голосующий ставит свою уникальную отметку напротив фамилии кандидата.
Евгений Епифанов, 16.09.13 | Комментарии (3)
Разрезание прямоугольника
Прямоугольник разрезан на 9 квадратов, как показано на рисунке. Сторона маленького белого квадрата равна 1. Найдите стороны прямоугольника.
Евгений Епифанов, 26.08.13 | Комментарии (9)
Черепаха и Ахиллес
Ахиллес стоит в метре от неподвижной стенки и держит в руке идеальную резиновую ленту, другой конец которой прикреплен к стенке. Возле стенки на ленте сидит черепаха. Оба одновременно начинают двигаться: Ахиллес бежит от стенки со скоростью 10 м/сек и растягивает ленту, а черепаха ползет в его сторону по ленте с собственной скоростью 10 см/сек. Догонит ли черепаха Ахиллеса? Если вы считаете, что да, то попробуйте оценить время, которое потребуется черепахе.
Евгений Епифанов, 29.07.13 | Комментарии (6)
Взвешивания на двух весах
У нас есть 60 внешне неразличимых монет, из которых одна фальшивая (неизвестно, легче или тяжелее она остальных; все настоящие монеты весят одинаково) и двое рычажных весов, взвешивания на которых мы можем делать одновременно («параллельно»). Каждое такое параллельное взвешивание на двух весах длится одну минуту. Можно ли отыскать фальшивую монету за 3 минуты (время на перекладку монет для следующего взвешивания считаем пренебрежимо малым)?
Константин Кноп, 1.07.13 | Комментарии (7)
Одномерный бильярд
Легкий шар массы m расположен между стенкой и тяжелым шаром массы M. Шары могут двигаться только в одном измерении: либо к стенке, либо от нее. Тяжелый шар толкнули по направлению к стенке. Сколько в этой системе произойдет столкновений (со стенкой и между шарами), если: а) M = m; б) M = 100·m; в) M = 100N·m? (Все соударения мгновенные и абсолютно упругие.)
Евгений Епифанов, 3.06.13 | Комментарии (1)
Неограниченная ограниченность
Один Дизайнер установил на свой компьютер новый графический редактор, в котором есть необычная функция. Её применение приводит к тому, что каждый отрезок на рисунке изменяется на ломаную. Нарисовав равносторонний треугольник, Дизайнер пошел сварить себе кофе, а на клавиатуру уселась его кошка - как раз на те клавиши, которые вызывают необычную функцию. В результате эта функция применилась очень много раз. Что увидел на экране Дизайнер? Попробуйте посчитать периметр и площадь получившейся фигуры.
Евгений Епифанов, 6.05.13 | Комментарии (3)
Три уловки для мудрых
Не верьте, что 1 апреля - День Дурака! Ведь только от вас зависит, дадите ли вы себя одурачить. А мы предложим вашему вниманию три софизма. В каждом из них доказывается очевидно неверное утверждение. Ваша задача - не просто сказать «этого не может быть, потому что не может быть никогда», а найти то место в доказательстве, в котором мы сознательно допустили ошибку.
Константин Кноп, 1.04.13 | Комментарии (2)
Угадай, что я задумал
Костя задумал натуральное число K от 1 до 2013 и готов отвечать «да» или «нет» на любые вопросы, которые допускают такие ответы. При этом он имеет право дать ошибочный ответ не более одного раза (за все ответы). Саша хочет задать Косте не более 15 вопросов, по ответам на которые он всегда сможет угадать задуманное число. Помогите ему это сделать.
Константин Кноп, 10.03.13 | Комментарии (3)
Иголка и вероятность
Плоскость расчерчена параллельными прямыми. Расстояние между любыми двумя соседними прямыми равно 1. На плоскость падает иголка фиксированной длины l (l ≤ 1). Найдите вероятность, с которой иголка пересечёт хотя бы одну из прямых (то есть имеет общие точки хотя бы с одной из прямых). Считаем, что иголка не имеет толщины (представляет собой просто отрезок) и что она падает и лежит на плоскости плашмя, а не втыкается в неё.
Евгений Епифанов, 10.02.13 | Комментарии (6)
Сто шляп
Тюремщик предложил заключенным эксперимент: «Я вас всех расставлю по кругу и надену каждому из ста человек шляпу, на которой будет написано какое-то число от 1 до 100 (числа могут повторяться). Каждый будет видеть числа на всех остальных, но не на себе. После этого каждый сможет назвать (не вслух, а только мне на ушко) ровно одно число. Если хотя бы один из вас угадает число на своей шляпе - всех отпущу, а если нет - отправлю всех на урановые рудники.» Посовещавшись, заключённые согласились. Как они должны действовать, чтобы выйти на свободу?
Константин Кноп, 13.01.13 | Комментарии (17)
Платоновы тела и заполнения пространства
Со времён древних греков известно пять платоновых тел - правильных многогранников, отличающихся высшей степенью симметрии: тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр. Легко заполнить одинаковыми кубами всё пространство без пустот и наложений так, чтобы любые два граничащих друг с другом куба пересекались либо по вершине, либо по ребру, либо по грани. а) Докажите, что другие платоновы тела такого заполнения пространства не допускают. б) Придумайте, как заполнить пространство разными платоновыми телами.
Хайдар Нурлигареев, 16.12.12 | Комментарии (7)
Задача о письмах
Катя отправляла письма своим знакомым. Написав письма и подписав конверты, она так утомилась, что вложила письма в конверты наудачу. Подсчитайте, сколькими способами она могла устроить полную путаницу (то есть так, чтобы никто не получил письма, адресованного именно ему), если у Кати: а) 5 знакомых; б) 15 знакомых.
Хайдар Нурлигареев, 18.11.12
Ханойская башня
Есть три стержня: A, B и C. На стержень A надеты 8 колец (дисков), наверху самое маленькое, каждое следующее больше предыдущего, а внизу самое большое. Два других стержня пусты. Необходимо перенести все кольца со стержня A на стержень C, пользуясь стержнем B как вспомогательным. При этом запрещается переносить кольца между стержнями A и C напрямую. Сколько ходов потребуется для переноса башни из 8 колец с A на C?
Константин Кноп, 22.10.12 | Комментарии (3)
Как повесить картину?
Дядюшка Поджер повесил картину на стене в своем кабинете. Через некоторое время дядюшка заметил, что, хотя он вешал картину на два гвоздя, висит она не очень надёжно: стоит любому из гвоздей выпасть, как картина рухнет на пол. а) Как ему удалось так замысловато повесить картину? б) Тот же вопрос, но для трех гвоздей. в) Снова три гвоздя, но двух цветов: один синий, два красных. Картина падает, если вынуть все гвозди одного цвета.
Евгений Епифанов, 24.09.12 | Комментарии (4)
Математика на футболе
В однокруговом турнире по футболу сыграли 6 команд. По итогам турнира каждая команда набрала на 2 очка больше, чем следующая. (За победу в футболе начисляется 3 очка, за ничью - 1 очко, за проигрыш - 0.) Каким был результат матча между командами, занявшими третье и последнее место?
Константин Кноп, 27.08.12 | Комментарии (3)
О мудрецах и неверных жёнах
В одном древнем городе жили мудрецы и их жёны. Каждое утро мудрецы собирались на базаре и обменивались новостями. Поэтому каждый из них знал, у кого из мудрецов жена верная, а у кого - нет. Однако у них была благоразумная традиция: не обсуждать ни с кем его жену. Если же мудрец как-то узнавал, что жена ему неверна, он её выгонял из дома в ту же ночь. Однажды на базар явился чужестранец и во всеуслышание заявил: «Ба! да в этом городе есть неверные жёны!» Через некоторое время все неверные жены были изгнаны. Почему?
Юрий Устиновский, 30.07.12 | Комментарии (57)
Школьники пишут тест
Класс из 16 человек писал математический тест, в котором к каждому заданию предлагались 4 возможных варианта ответа. После сдачи решений выяснилось, что ни у каких двух учеников не совпало более одного ответа. Какое наибольшее число заданий могло быть в таком тесте?
Константин Кноп, 9.07.12 | Комментарии (6)
Остатки несладки
Один король, который очень любил шоколад, предложил своему министру такую игру: игроки ходят по очереди, отламывая и съедая кусочки от прямоугольной плитки шоколада; за один ход можно съесть дольку шоколада и всё, что находится не ниже и не левее нее; проигрывает тот, кому достанется нижний левый уголок. В случае успеха жалованье министра удваивалось, в случае неудачи он лишался своей должности, а заодно и головы. <...> Придумайте для министра выигрышную стратегию.
Евгений Епифанов, 4.06.12 | Комментарии (4)
Волк и три поросёнка
Серый Волк предложил трём поросятам игру на выживание: он случайным образом выбирает для каждого поросёнка один из M цветов и надевает ему на голову повязку этого цвета. Если по команде Волка все назовут цвет правильно, Волк обещает поросятам жизнь и свободу. Если кто-то ошибётся или промолчат все - всем троим несдобровать... Волк любезно разрешил поросятам договориться о стратегии действий, перед тем как он приступит к надеванию повязок. Какой должна быть их договоренность, чтобы шансы на выживание были наибольшими? Чему равны шансы на спасение поросят, если: а) M = 2; б) M = 3?
Константин Кноп, 7.05.12 | Комментарии (6)
Охота на Снарка
Булочник охотится на Снарка на бесконечной клетчатой плоскости. Снарк прыгает по плоскости как шахматный король - на соседнюю по стороне или диагонали клетку. Булочник своим ходом может положить булочку на любую пустую клетку. Снарк ненавидит булочки, поэтому он никогда не прыгает на клетку с булочкой. Докажите, что Булочник может поймать Снарка.
Сергей Шашков, 18.03.12 | Комментарии (1)
Окружности на клетчатой бумаге
а) Постройте окружность, проходящую ровно через 12 узлов клетчатой бумаги. б) Постройте окружность, проходящую ровно через 6 узлов клетчатой бумаги. в) Постройте окружность, проходящую ровно через 5 узлов клетчатой бумаги.
Хайдар Нурлигареев, 19.02.12 | Комментарии (3)
Карандаши и нитки
Имеется несколько стержней (например, карандашей) и нитки. Можно ли из них собрать жесткую объемную конструкцию, которая будет сохранять свою форму без внешней помощи и даже способна выдержать падение с небольшой высоты? При этом требуется, чтобы стержни не соприкасались (ни непосредственно, ни «через нитки»).
Евгений Епифанов, 22.01.12 | Комментарии (3)
С Новым годом!
На какие дни недели чаще всего приходится 1 января?
Константин Кноп, 25.12.11 | Комментарии (8)
Разрезания и складывания
а) Разрежьте произвольный треугольник на несколько кусочков так, чтобы из них можно было сложить прямоугольник. б) Разрежьте произвольный прямоугольник на несколько кусочков так, чтобы из них можно было сложить квадрат. в) Разрежьте два произвольных квадрата на несколько кусочков так, чтобы из них можно было сложить один большой квадрат.
Хайдар Нурлигареев, 27.11.11 | Комментарии (1)
Заключенные и переключатель
В тюрьме сидят 10 заключенных, каждый - в одиночной камере. Общаться между собой они не могут. В один прекрасный день начальник тюрьмы объявил им, что предоставляет всем шанс выйти на свободу на следующих условиях: <...>. После этого заключенным разрешили собраться и обсудить стратегию действий, а потом развели обратно по камерам. Могут ли они гарантированно выйти на свободу, и если да, то как им этого добиться?
Константин Кноп, 30.10.11 | Комментарии (32)
Совершенные числа
Совершенным называется число, равное сумме своих собственных делителей. Докажите, что: 1) если простое число имеет вид 2n - 1, то число 2n-1(2n - 1) - совершенное; 2) любое четное совершенное число имеет вид 2n-1(2n - 1).Найдите еще пару-тройку совершенных чисел.
Евгений Епифанов, 3.10.11
Правильные многоугольники
Используя только циркуль и линейку, постройте правильный пятнадцатиугольник.
Хайдар Нурлигареев, 5.09.11
Новые дороги и вечные пробки
Существует множество эффективных и не очень методов борьбы с автомобильными пробками. Кажется, что самый простой и естественный способ - строительство новых первоклассных дорог. Однако так ли это? Придумайте простую дорожную сеть, в которой строительство новой дороги приведет к тому, что время движения абсолютно всех участников дорожного движения увеличится.
Сергей Шашков, 8.08.11 | Комментарии (2)
Арбелос Архимеда
На отрезке AB взята точка C. На отрезках AC, BC и AB, как на диаметрах, в одной полуплоскости построены полуокружности s1, s2 и s. Из точки C восстановлен перпендикуляр к прямой AB, пересекающий окружность s в точке D. В два образовавшихся криволинейных треугольника вписаны окружности α и β: первая касается отрезка CD, полуокружности s1 и дуги AD, вторая - отрезка CD, полуокружности s2 и дуги BD. Докажите, что эти окружности равны.
Борис Бычков, 11.07.11
Круги в круге
Чему равен наименьший радиус круга, в котором можно разместить без наложений 7 единичных кругов? Обоснуйте ваш ответ.
Константин Кноп, 13.06.11
Мушкетёры и дуэли
В компании из 9 мушкетёров некоторые поссорились и вызвали друг друга на дуэль. Известно, что среди них нет трех таких, что все они должны драться друг с другом. Докажите, что найдутся четыре мушкетёра, не поссорившиеся между собой. Обязательно ли найдутся четыре непоссорившихся мушкетёра, если общее количество мушкетёров равно 8?
Константин Кноп, 16.05.11
Хроматическое число плоскости
Можно ли раскрасить все точки плоскости а) в 7 цветов, б) в 3 цвета так, чтобы любые две точки на расстоянии 1 см были раскрашены в разные цвета?
Алексей Чернов, 18.04.11 | Комментарии (2)
Замощения
Докажите, что любым треугольником и любым четырехугольником можно замостить плоскость. Приведите пример пятиугольника, которым можно замостить плоскость. Приведите пример шестиугольника, которым нельзя замостить плоскость. Приведите пример n-угольника для какого-либо n > 6, которым можно замостить плоскость.
Хайдар Нурлигареев, 20.03.11 | Комментарии (3)
Задача Монти Холла
Вы оказались на шоу Монти Холла в роли участника - и в заключительный момент, открыв дверь с козой, ведущий предложил вам поменять свой выбор. Повлияет ли ваше решение - согласиться или нет - на вероятность выигрыша?
Сергей Вальковский, 20.02.11 | Комментарии (4)
Кривые постоянной ширины
У окружности есть такое замечательное свойство: если ее ортогонально спроектировать на прямую, лежащую в той же плоскости, то длина проекции всегда постоянна и не зависит от выбора прямой (она равна диаметру окружности). Кривые, обладающие этим свойством, называются кривыми постоянной ширины. Придумайте еще какую-нибудь кривую постоянной ширины.
Евгений Епифанов, 24.01.11
(Учтите, что условия задач приведены в кратком виде, для чтения полных условий нужно перейти по ссылке на "Элементы")
Что больше?
Петя отметил внутри правильного шестиугольника некоторую точку и соединил ее отрезками с каждой из вершин. Получившиеся шесть треугольников он покрасил через один в два цвета - красный и зеленый. Что больше: сумма площадей красных треугольников или сумма площадей зеленых треугольников? Ответ обоснуйте.
Евгений Епифанов, 7.09.15
Прыжки Виета
Натуральные числа a и b таковы, что a2 + b2 + 1 делится на ab без остатка. Докажите, что частное равно 3.
Константин Кноп, 10.08.15
Один в поле воин
а) На клетчатой плоскости нарисован треугольник с вершинами в узлах сетки, внутри которого находится ровно один узел. Какое наибольшее число узлов может быть на границе этого треугольника? б) Внутри выпуклого многоугольника с вершинами в узлах находится ровно один узел. Какое наибольшее число вершин может быть у этого многоугольника?
Евгений Епифанов, 13.07.15
Помогите нумизмату
У нумизмата имеются одинаковые на вид монеты, среди которых есть настоящие и фальшивые. Все настоящие весят одинаково, все фальшивые весят по-разному и тяжелее настоящих. Известно общее количество монет и сколько среди них фальшивых. Как за наименьшее число взвешиваний на двухчашечных весах без гирь найти хотя бы одну настоящую монету?
Константин Кноп, 15.06.15 | Комментарии (6)
Рыцарский турнир на выбывание
В рыцарском турнире на выбывание участвуют 128 рыцарей. Сила каждого известна, у всех рыцарей она разная. Побеждает всегда сильнейший. Продолжительность каждого поединка зависит от силы противников: чем меньше разница в силе, тем дольше будет идти поединок. Как распределить рыцарей по сетке турнира, чтобы он продлился как можно дольше? А если время каждого следующего раунда «стоит» в 2 раза больше? А если время каждого следующего раунда «стоит» в 10 раз больше?
Дмитрий Дагаев, Алексей Суздальцев, 18.05.15
Паркеты из полимино
а) Придумайте три различных замощения плоскости данными фигурками пентамино. б) Докажите, что существует бесконечно много различных замощений плоскости данными фигурками нонамино. в) Приведите пример еще одной фигурки гептамино, копиями которой нельзя замостить плоскость без пробелов и наложений.
Хайдар Нурлигареев, 20.04.15 | Комментарии (2)
Случайные блуждания
Студент Василий гуляет по центру города. На каждом перекрестке он случайным образом выбирает, куда пойти дальше (все варианты равновероятны). Дороги приводят либо к бару, либо к метро. С какой вероятностью Василий сначала попадет в бар?
Евгений Епифанов, 23.03.15 | Комментарии (8)
«Радикализм» в числах
Существуют ли такие три попарно взаимно простых натуральных числа A, B, C, что A + B = C и при этом C > 1000·rad(A·B·C)? Здесь rad(n) обозначает произведение всех простых делителей числа n, взятых по одному разу.
Евгений Епифанов, 23.02.15 | Комментарии (7)
Кратчайшие пути на многогранниках
Представьте, что перед вами висит на верёвочке прямоугольный параллелепипед со сторонами 10 см, 10 см и 20 см. В одной из его вершин сидит божья коровка. а) Как божьей коровке быстрее всего добраться до противоположной вершины параллелепипеда и сколько сантиметров она при этом проползет? б) До какой точки параллелепипеда божьей коровке ползти из вершины дольше всего? в) Пусть теперь у нас есть две божьих коровки. В какие точки параллелепипеда нужно их посадить, чтобы они дольше всего не могли встретиться, как бы ни ползли?
Алексей Чернов, 26.01.15
Ёлки и фонари
На большой-пребольшой площади в канун Нового года поставили много-много ёлок и много-много фонарей, причём ёлок было больше, чем фонарей. Может ли оказаться так, что на расстоянии 1 метр от каждой ёлки стоит ровно 8 фонарей?
Константин Кноп, Евгений Епифанов, 29.12.14 | Комментарии (2)
Пиратская доля
Пираты делят сокровище. У каждого из них свои представления о прекрасном, поэтому одну и ту же долю разные пираты могут оценивать по-разному. Пират доволен дележом, если уверен, что получил не меньше 1/n добычи (n - число пиратов). Как пираты должны делить сокровище, чтобы остаться довольными? А как пиратам действовать если они завидуют друг другу и довольны, только если уверены, что получили не меньше каждого из остальных?
Евгений Епифанов, 1.12.14
Неизвестный угол
Саша шел по прямой с постоянной скоростью мимо высокого здания и заметил, что в 12:00 он видел здание под углом 45°, а в 12:05 - под углом 60°. Под каким углом увидит это здание Саша в 12:15? Как изменится ответ на эту задачу, если в 12:05 Саша по-прежнему увидел здание под углом 60°, но уже прошел мимо входа?
Константин Кноп, 20.10.14 | Комментарии (1)
Один раз отрежь
Перед вами листок бумаги с изображением: а) треугольника, б) пятиконечной звезды, в) многоугольника в форме плывущего лебедя. В каждом случае придумайте, как сложить листок, чтобы после этого соответствующую фигуру можно было вырезать одним непрерывным прямолинейным разрезом ножницами.
Евгений Епифанов, 25.08.14
Задача о средней монете
Из девяти монеток только одна настоящая, а остальные восемь - фальшивые. Четыре из фальшивых монет весят одинаково и легче настоящей, другие четыре тоже весят одинаково, но тяжелее настоящей. Найдите настоящую монету за шесть взвешиваний на двухчашечных весах без гирь.
Константин Кноп, 28.07.14 | Комментарии (2)
Обезьяна и орехи
Обезьяна хочет определить, из окна какого самого низкого этажа 15-этажного дома нужно бросить кокосовый орех, чтобы он разбился. Сколько бросков потребуется обезьяне, чтобы гарантированно удовлетворить свое любопытство, если у нее есть два ореха?
Хайдар Нурлигареев, 30.06.14 | Комментарии (4)
Правило первой цифры
Бывает, что первые цифры чисел в больших объемах данных, взятых из жизни, распределены неравномерно: единицы встречаются заметно чаще других цифр, двойки чаще троек и т. д. Предположим, что имеется очень большой набор чисел с таким свойством. Определите вероятности, с которыми случайно взятое число из этого набора будет начинаться на 1, 2, …, 9.
Евгений Епифанов, 2.06.14 | Комментарии (3)
Не просто прогрессии
1. Существует ли арифметическая прогрессия из 100 членов, любые два из которых взаимно просты?
2. Докажите, что не существует бесконечной арифметической прогрессии, состоящей только из простых чисел.
Борис Бычков, 28.04.14 | Комментарии (7)
Короче, Склифософский!
а) Можно ли соединить 4 дома, стоящих в вершинах квадрата со стороной 1000 м, дорожками так, чтобы от любого дома к любому другому можно было добраться по дорожкам, а суммарная длина всех дорожек не превышала 2800 м? б) Существует ли развёртка правильного тетраэдра с ребром 10 см, периметр которой не превышает 54 см?
Константин Кноп, 31.03.14 | Комментарии (6)
Задача о мятом рубле
Можно ли сложить прямоугольный лист бумаги в плоскую фигуру с периметром больше, чем у исходного прямоугольника? Рвать и резать бумагу, разумеется, нельзя.
Антон Айзенберг, 3.03.14 | Комментарии (1)
Задачка для фермера
1. Какое минимальное число огородных пугал нужно поставить на каждом из трех полей, изображенных на рисунке, чтобы из любой точки поля было видно хотя бы одно пугало? 2. Сколько пугал может понадобиться, если известно только, что поле имеет форму 12-угольника (не обязательно выпуклого)?
Евгений Епифанов, 3.02.14 | Комментарии (7)
Треугольник из кирпичей
Бригадир скомандовал своим рабочим выкладывать из кирпичей трех цветов треугольную стенку по следующему правилу: для нижнего ряда взять 10 произвольных кирпичей, затем на соседние кирпичи одного цвета класть кирпич того же цвета, а на разноцветные - кирпич оставшегося цвета. Бригадир-математик, взглянув на кирпичи нижнего ряда, всегда быстро и точно угадывает, какого цвета окажется верхний кирпич кладки. Как он это делает?
Константин Кноп, 6.01.14 | Комментарии (4)
Пятьдесят пенни
Однажды доктор Ватсон задумался, сколькими способами может Шерлок Холмс раздать 50 монет по одному пенни четверым своим юным помощникам (если учитывать и те варианты, когда кто-то из них ничего не получает), и решил задать этот вопрос Холмсу. Великий сыщик замер с трубкой в руках, но не прошло и пяти минут, как он воскликнул: «Это же элементарно, Ватсон!»
Борис Бычков, 9.12.13 | Комментарии (1)
Меченые шарики
Имеется 11 шаров - 5 красных и 6 белых. Известно, что один красный шар и один белый шар радиоактивны. Про любую группу шаров за одну проверку детектором можно узнать, имеется ли в ней хотя бы один радиоактивный шар (но нельзя узнать, сколько их). Можно ли за 5 проверок выявить оба радиоактивных шара?
Константин Кноп, 11.11.13 | Комментарии (25)
Испытание для трубадура
Принцесса живёт в 17-комнатном дворце, который представляет собой прямоугольник 1×17. Каждая комната дворца - спальня принцессы. Соседние спальни сообщаются между собой, и каждая спальня имеет окно. Если в окно спальни, где сейчас ночует принцесса, ровно в полночь постучится трубадур, то принцесса сбежит с ним, и они поженятся. Однако король против, и бдительная стража заставляет принцессу каждый день ночевать в другой спальне - соседней с той, где она ночевала перед этим (причём, в какой именно, выбирают стражники, а не принцесса). Сможет ли трубадур достучаться до принцессы, если у него в запасе всего месяц?
Константин Кноп, 14.10.13 | Комментарии (7)
Выборы, выборы
Пусть в выборах участвуют всего два кандидата и на каком-то участке проголосовало всего 100 человек. После подсчета оказалось, что за каждого отдано по 50 голосов, но при этом у первого кандидата в любой момент времени голосов было не меньше, чем у второго. Сколькими способами можно сложить стопку бюллетеней перед подсчетом, чтобы так получилось? Считаем, что все бюллетени разные: например, каждый голосующий ставит свою уникальную отметку напротив фамилии кандидата.
Евгений Епифанов, 16.09.13 | Комментарии (3)
Разрезание прямоугольника
Прямоугольник разрезан на 9 квадратов, как показано на рисунке. Сторона маленького белого квадрата равна 1. Найдите стороны прямоугольника.
Евгений Епифанов, 26.08.13 | Комментарии (9)
Черепаха и Ахиллес
Ахиллес стоит в метре от неподвижной стенки и держит в руке идеальную резиновую ленту, другой конец которой прикреплен к стенке. Возле стенки на ленте сидит черепаха. Оба одновременно начинают двигаться: Ахиллес бежит от стенки со скоростью 10 м/сек и растягивает ленту, а черепаха ползет в его сторону по ленте с собственной скоростью 10 см/сек. Догонит ли черепаха Ахиллеса? Если вы считаете, что да, то попробуйте оценить время, которое потребуется черепахе.
Евгений Епифанов, 29.07.13 | Комментарии (6)
Взвешивания на двух весах
У нас есть 60 внешне неразличимых монет, из которых одна фальшивая (неизвестно, легче или тяжелее она остальных; все настоящие монеты весят одинаково) и двое рычажных весов, взвешивания на которых мы можем делать одновременно («параллельно»). Каждое такое параллельное взвешивание на двух весах длится одну минуту. Можно ли отыскать фальшивую монету за 3 минуты (время на перекладку монет для следующего взвешивания считаем пренебрежимо малым)?
Константин Кноп, 1.07.13 | Комментарии (7)
Одномерный бильярд
Легкий шар массы m расположен между стенкой и тяжелым шаром массы M. Шары могут двигаться только в одном измерении: либо к стенке, либо от нее. Тяжелый шар толкнули по направлению к стенке. Сколько в этой системе произойдет столкновений (со стенкой и между шарами), если: а) M = m; б) M = 100·m; в) M = 100N·m? (Все соударения мгновенные и абсолютно упругие.)
Евгений Епифанов, 3.06.13 | Комментарии (1)
Неограниченная ограниченность
Один Дизайнер установил на свой компьютер новый графический редактор, в котором есть необычная функция. Её применение приводит к тому, что каждый отрезок на рисунке изменяется на ломаную. Нарисовав равносторонний треугольник, Дизайнер пошел сварить себе кофе, а на клавиатуру уселась его кошка - как раз на те клавиши, которые вызывают необычную функцию. В результате эта функция применилась очень много раз. Что увидел на экране Дизайнер? Попробуйте посчитать периметр и площадь получившейся фигуры.
Евгений Епифанов, 6.05.13 | Комментарии (3)
Три уловки для мудрых
Не верьте, что 1 апреля - День Дурака! Ведь только от вас зависит, дадите ли вы себя одурачить. А мы предложим вашему вниманию три софизма. В каждом из них доказывается очевидно неверное утверждение. Ваша задача - не просто сказать «этого не может быть, потому что не может быть никогда», а найти то место в доказательстве, в котором мы сознательно допустили ошибку.
Константин Кноп, 1.04.13 | Комментарии (2)
Угадай, что я задумал
Костя задумал натуральное число K от 1 до 2013 и готов отвечать «да» или «нет» на любые вопросы, которые допускают такие ответы. При этом он имеет право дать ошибочный ответ не более одного раза (за все ответы). Саша хочет задать Косте не более 15 вопросов, по ответам на которые он всегда сможет угадать задуманное число. Помогите ему это сделать.
Константин Кноп, 10.03.13 | Комментарии (3)
Иголка и вероятность
Плоскость расчерчена параллельными прямыми. Расстояние между любыми двумя соседними прямыми равно 1. На плоскость падает иголка фиксированной длины l (l ≤ 1). Найдите вероятность, с которой иголка пересечёт хотя бы одну из прямых (то есть имеет общие точки хотя бы с одной из прямых). Считаем, что иголка не имеет толщины (представляет собой просто отрезок) и что она падает и лежит на плоскости плашмя, а не втыкается в неё.
Евгений Епифанов, 10.02.13 | Комментарии (6)
Сто шляп
Тюремщик предложил заключенным эксперимент: «Я вас всех расставлю по кругу и надену каждому из ста человек шляпу, на которой будет написано какое-то число от 1 до 100 (числа могут повторяться). Каждый будет видеть числа на всех остальных, но не на себе. После этого каждый сможет назвать (не вслух, а только мне на ушко) ровно одно число. Если хотя бы один из вас угадает число на своей шляпе - всех отпущу, а если нет - отправлю всех на урановые рудники.» Посовещавшись, заключённые согласились. Как они должны действовать, чтобы выйти на свободу?
Константин Кноп, 13.01.13 | Комментарии (17)
Платоновы тела и заполнения пространства
Со времён древних греков известно пять платоновых тел - правильных многогранников, отличающихся высшей степенью симметрии: тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр. Легко заполнить одинаковыми кубами всё пространство без пустот и наложений так, чтобы любые два граничащих друг с другом куба пересекались либо по вершине, либо по ребру, либо по грани. а) Докажите, что другие платоновы тела такого заполнения пространства не допускают. б) Придумайте, как заполнить пространство разными платоновыми телами.
Хайдар Нурлигареев, 16.12.12 | Комментарии (7)
Задача о письмах
Катя отправляла письма своим знакомым. Написав письма и подписав конверты, она так утомилась, что вложила письма в конверты наудачу. Подсчитайте, сколькими способами она могла устроить полную путаницу (то есть так, чтобы никто не получил письма, адресованного именно ему), если у Кати: а) 5 знакомых; б) 15 знакомых.
Хайдар Нурлигареев, 18.11.12
Ханойская башня
Есть три стержня: A, B и C. На стержень A надеты 8 колец (дисков), наверху самое маленькое, каждое следующее больше предыдущего, а внизу самое большое. Два других стержня пусты. Необходимо перенести все кольца со стержня A на стержень C, пользуясь стержнем B как вспомогательным. При этом запрещается переносить кольца между стержнями A и C напрямую. Сколько ходов потребуется для переноса башни из 8 колец с A на C?
Константин Кноп, 22.10.12 | Комментарии (3)
Как повесить картину?
Дядюшка Поджер повесил картину на стене в своем кабинете. Через некоторое время дядюшка заметил, что, хотя он вешал картину на два гвоздя, висит она не очень надёжно: стоит любому из гвоздей выпасть, как картина рухнет на пол. а) Как ему удалось так замысловато повесить картину? б) Тот же вопрос, но для трех гвоздей. в) Снова три гвоздя, но двух цветов: один синий, два красных. Картина падает, если вынуть все гвозди одного цвета.
Евгений Епифанов, 24.09.12 | Комментарии (4)
Математика на футболе
В однокруговом турнире по футболу сыграли 6 команд. По итогам турнира каждая команда набрала на 2 очка больше, чем следующая. (За победу в футболе начисляется 3 очка, за ничью - 1 очко, за проигрыш - 0.) Каким был результат матча между командами, занявшими третье и последнее место?
Константин Кноп, 27.08.12 | Комментарии (3)
О мудрецах и неверных жёнах
В одном древнем городе жили мудрецы и их жёны. Каждое утро мудрецы собирались на базаре и обменивались новостями. Поэтому каждый из них знал, у кого из мудрецов жена верная, а у кого - нет. Однако у них была благоразумная традиция: не обсуждать ни с кем его жену. Если же мудрец как-то узнавал, что жена ему неверна, он её выгонял из дома в ту же ночь. Однажды на базар явился чужестранец и во всеуслышание заявил: «Ба! да в этом городе есть неверные жёны!» Через некоторое время все неверные жены были изгнаны. Почему?
Юрий Устиновский, 30.07.12 | Комментарии (57)
Школьники пишут тест
Класс из 16 человек писал математический тест, в котором к каждому заданию предлагались 4 возможных варианта ответа. После сдачи решений выяснилось, что ни у каких двух учеников не совпало более одного ответа. Какое наибольшее число заданий могло быть в таком тесте?
Константин Кноп, 9.07.12 | Комментарии (6)
Остатки несладки
Один король, который очень любил шоколад, предложил своему министру такую игру: игроки ходят по очереди, отламывая и съедая кусочки от прямоугольной плитки шоколада; за один ход можно съесть дольку шоколада и всё, что находится не ниже и не левее нее; проигрывает тот, кому достанется нижний левый уголок. В случае успеха жалованье министра удваивалось, в случае неудачи он лишался своей должности, а заодно и головы. <...> Придумайте для министра выигрышную стратегию.
Евгений Епифанов, 4.06.12 | Комментарии (4)
Волк и три поросёнка
Серый Волк предложил трём поросятам игру на выживание: он случайным образом выбирает для каждого поросёнка один из M цветов и надевает ему на голову повязку этого цвета. Если по команде Волка все назовут цвет правильно, Волк обещает поросятам жизнь и свободу. Если кто-то ошибётся или промолчат все - всем троим несдобровать... Волк любезно разрешил поросятам договориться о стратегии действий, перед тем как он приступит к надеванию повязок. Какой должна быть их договоренность, чтобы шансы на выживание были наибольшими? Чему равны шансы на спасение поросят, если: а) M = 2; б) M = 3?
Константин Кноп, 7.05.12 | Комментарии (6)
Охота на Снарка
Булочник охотится на Снарка на бесконечной клетчатой плоскости. Снарк прыгает по плоскости как шахматный король - на соседнюю по стороне или диагонали клетку. Булочник своим ходом может положить булочку на любую пустую клетку. Снарк ненавидит булочки, поэтому он никогда не прыгает на клетку с булочкой. Докажите, что Булочник может поймать Снарка.
Сергей Шашков, 18.03.12 | Комментарии (1)
Окружности на клетчатой бумаге
а) Постройте окружность, проходящую ровно через 12 узлов клетчатой бумаги. б) Постройте окружность, проходящую ровно через 6 узлов клетчатой бумаги. в) Постройте окружность, проходящую ровно через 5 узлов клетчатой бумаги.
Хайдар Нурлигареев, 19.02.12 | Комментарии (3)
Карандаши и нитки
Имеется несколько стержней (например, карандашей) и нитки. Можно ли из них собрать жесткую объемную конструкцию, которая будет сохранять свою форму без внешней помощи и даже способна выдержать падение с небольшой высоты? При этом требуется, чтобы стержни не соприкасались (ни непосредственно, ни «через нитки»).
Евгений Епифанов, 22.01.12 | Комментарии (3)
С Новым годом!
На какие дни недели чаще всего приходится 1 января?
Константин Кноп, 25.12.11 | Комментарии (8)
Разрезания и складывания
а) Разрежьте произвольный треугольник на несколько кусочков так, чтобы из них можно было сложить прямоугольник. б) Разрежьте произвольный прямоугольник на несколько кусочков так, чтобы из них можно было сложить квадрат. в) Разрежьте два произвольных квадрата на несколько кусочков так, чтобы из них можно было сложить один большой квадрат.
Хайдар Нурлигареев, 27.11.11 | Комментарии (1)
Заключенные и переключатель
В тюрьме сидят 10 заключенных, каждый - в одиночной камере. Общаться между собой они не могут. В один прекрасный день начальник тюрьмы объявил им, что предоставляет всем шанс выйти на свободу на следующих условиях: <...>. После этого заключенным разрешили собраться и обсудить стратегию действий, а потом развели обратно по камерам. Могут ли они гарантированно выйти на свободу, и если да, то как им этого добиться?
Константин Кноп, 30.10.11 | Комментарии (32)
Совершенные числа
Совершенным называется число, равное сумме своих собственных делителей. Докажите, что: 1) если простое число имеет вид 2n - 1, то число 2n-1(2n - 1) - совершенное; 2) любое четное совершенное число имеет вид 2n-1(2n - 1).Найдите еще пару-тройку совершенных чисел.
Евгений Епифанов, 3.10.11
Правильные многоугольники
Используя только циркуль и линейку, постройте правильный пятнадцатиугольник.
Хайдар Нурлигареев, 5.09.11
Новые дороги и вечные пробки
Существует множество эффективных и не очень методов борьбы с автомобильными пробками. Кажется, что самый простой и естественный способ - строительство новых первоклассных дорог. Однако так ли это? Придумайте простую дорожную сеть, в которой строительство новой дороги приведет к тому, что время движения абсолютно всех участников дорожного движения увеличится.
Сергей Шашков, 8.08.11 | Комментарии (2)
Арбелос Архимеда
На отрезке AB взята точка C. На отрезках AC, BC и AB, как на диаметрах, в одной полуплоскости построены полуокружности s1, s2 и s. Из точки C восстановлен перпендикуляр к прямой AB, пересекающий окружность s в точке D. В два образовавшихся криволинейных треугольника вписаны окружности α и β: первая касается отрезка CD, полуокружности s1 и дуги AD, вторая - отрезка CD, полуокружности s2 и дуги BD. Докажите, что эти окружности равны.
Борис Бычков, 11.07.11
Круги в круге
Чему равен наименьший радиус круга, в котором можно разместить без наложений 7 единичных кругов? Обоснуйте ваш ответ.
Константин Кноп, 13.06.11
Мушкетёры и дуэли
В компании из 9 мушкетёров некоторые поссорились и вызвали друг друга на дуэль. Известно, что среди них нет трех таких, что все они должны драться друг с другом. Докажите, что найдутся четыре мушкетёра, не поссорившиеся между собой. Обязательно ли найдутся четыре непоссорившихся мушкетёра, если общее количество мушкетёров равно 8?
Константин Кноп, 16.05.11
Хроматическое число плоскости
Можно ли раскрасить все точки плоскости а) в 7 цветов, б) в 3 цвета так, чтобы любые две точки на расстоянии 1 см были раскрашены в разные цвета?
Алексей Чернов, 18.04.11 | Комментарии (2)
Замощения
Докажите, что любым треугольником и любым четырехугольником можно замостить плоскость. Приведите пример пятиугольника, которым можно замостить плоскость. Приведите пример шестиугольника, которым нельзя замостить плоскость. Приведите пример n-угольника для какого-либо n > 6, которым можно замостить плоскость.
Хайдар Нурлигареев, 20.03.11 | Комментарии (3)
Задача Монти Холла
Вы оказались на шоу Монти Холла в роли участника - и в заключительный момент, открыв дверь с козой, ведущий предложил вам поменять свой выбор. Повлияет ли ваше решение - согласиться или нет - на вероятность выигрыша?
Сергей Вальковский, 20.02.11 | Комментарии (4)
Кривые постоянной ширины
У окружности есть такое замечательное свойство: если ее ортогонально спроектировать на прямую, лежащую в той же плоскости, то длина проекции всегда постоянна и не зависит от выбора прямой (она равна диаметру окружности). Кривые, обладающие этим свойством, называются кривыми постоянной ширины. Придумайте еще какую-нибудь кривую постоянной ширины.
Евгений Епифанов, 24.01.11