Вероятностная задачка от P.Winkler

[knop]

1. Алиса и Боб бросают каждый свою пару кубиков и записывают сумму очков, выпавших на костях. Алиса ждёт события "два раза подряд выпала 7", а Боб - события "сначала выпала 8, а сразу после нее - 7". Кто из них имеет больше шансов дождаться своего события раньше, чем соперник дождется своего?

2. Костя бросает для Алисы и Боба одну и ту же пару

Comments

[shufel]

1. в событиях "сначала выпала 8, а сразу после нее - 7 и "сначала выпала 7, а сразу после нее - 7" (я понимаю "подряд" так), вторые части события независимы от первых и равновероятны. таким образом, задача сводится к "у какого события больше шансов произойти раньше - выпадет 7 или выпадет 8". 7 вероятнее, у Алисы больше шансов.

2. подозреваю подвох. но, увы, не вижу как эта задача отличается от первой.

[ivoyager]

Если я правильно понимаю условие, во втором случае они бросают по очереди одну и ту же пару кубиков, и учитывают предыдущее бросание другого игрока. То есть сначала Алиса бросает кубики, выпадает, допустим, 7. Потом Боб бросает, если выпало снова 7, то Алиса в этот момент выиграла. И т.д. То есть утверждение о независимости событий становится неверным, и надо аккуратно выписывать условные вероятности. (А вообще получается такая марковская цепь…)

[knop]

Да не важно, по очереди они бросают, или кто-то один из них бросает все время, или за них это делает крупье.

[e_ponikarov]

2.
Есть такое соображение. Во втором случае Алисино событие {7, 7} можно разбить на сумму событий с учетом исхода предыдущего бросания:
{2, 7, 7}
{3, 7, 7}
...
{12, 7, 7}
(ну, и добавив к этим комбинациям просто {7, 7} если они выпали первыми двумя бросаниями).

Если Алиса и Боб бросают одну пару кубиков, то теперь комбинация {8, 7, 7} становится не выигрышной для Алисы - поскольку ходом ранее выпадает {8, 7} и Боб выиграл. В первом же случае Боб не выиграет в этом случае, так как {8, 7} выпало у Алисы, а не у него.

[rallex]

С первым случаем все понятно, 87 имеет меньшую вероятность, чем 77

[rallex]

решение легко распространяется на случай, если Б ждет перед 7-кой любую цифру, с вероятностью n/36, где n<6. Два последних уравнения остаются неизменными и получается, что вероятность победы двух семерок измеряется как (36-n)/(6n+36), и только при n=5 эта вероятность не дотягивает до 1/2.

[back_in_usa]

Кстати, задача станет намного интереснее, если заменить Боба на Василия Михайловича.

[kotomord82]

У Боба больше шансов (примерное обоснование - если у Алисы выпала 7 - через 2 броска ее выигрыш гарантированно не неступит, для Боба оно не верно)

[knop]

Это в первой задаче или во второй?

[mikev]

2. Я вторую задачу решил в лоб.
Получилось, что вероятность победы Алисы 31/66
1. А в первой задаче нужно уточнение: если оба дожидаются своего события одновременно, что тогда? Они как-то продолжают играть (как?) или считается, что никто не выиграл?

[knop]

1. А как наличие ничьей влияет на шансы выигрыша?
По-моему, никак.
Можете сделать любое предположение - или то, что ничьи бывают, или то, что при одновременном наступлении своих событий они продолжают бросать до следующего раза.

[mikev]

Если они продолжают играть, то Алиса может выкинуть 7 и выиграть в 1 ход.
Если же начинают заново, то такой вариант невозможен.