Эйнштейн против квантовой механики, ч. 2.
«В поисках онтологии квантового мира», серия 3.
Продолжаем обсуждать ЭПР-статью и ЭПР-парадокс. Показываем, что Эйнштейн и компани ввели общественность в заблуждение, утверждая, что доказывают неполноту квантовой механики, доказывая на самом деле ее противоречивость. Что, впрочем, сделать им не удалось.
Хотя это и не отменяет "мистического" поведения ЭПР-частиц, которое мы и иллюстрируем на пальцах, т.е. на кубиках
1. Разбор полета.
Вернемся к статье Эйнштейна и компани 1 и внимательней рассмотрим их аргументацию.
Прежде всего авторы различают объективную реальность(элементы реальности) и физическую теорию (элементы теории), которая ее описывает. И ставят вопрос о полноте физической теории: «каждый элемент физической реальности должен иметь отражение в физической теории».
Сразу возникает вопрос, каким же образом можно сопоставить элементы реальности и теорию, для того чтобы, например, выяснить: каждый ли элемент реальности получил отражение в теории.
Авторы исходят из того, что если мы можем предсказать с достоверностью (вероятностью равной единице) значение некоторой физической величины, то это говорит об объективном существовании некоего элемента физической реальности, соответствующего этой величине.
А что значит - "можем предсказать"? Очевидно, это предполагает сравнение результата некоторого измерения и предсказания, сформулированного в некотором теоретическом описании.
Таким образом, требование полноты физической теории, которое здесь выдвигается (каждый элемент физической реальности должен иметь отражение в физической теории) звучит весьма странно. Ведь сам "элемент физической реальности" задается через сопоставление результата измерения и теоретического предсказания. То есть элемент реальности не может не иметь отражения в физической теории, по определению.
Как показывает дальнейшее рассуждение авторов, на самом деле под "неполнотой" теории они имеют в виду ее внутреннюю противоречивость. Пойдем по шагам (следуя статье):
1) В квантовой механике основное понятие - состояние, которое описывается волновой функцией: |s> (в обозначениях Дирака)
2) Полное (в смысле квантовой механики) описание состояния задается через набор коммутируемых величин - |aibj…> (где ai, bj, … - значения коммутируемых друг с другом величин A, B …)
3) Если две величины (скажем координата и импульс, или две разные проекции спина, поляризации) не коммутируют, то они не могут одновременно входить в волновую функцию, т.е. такое состояние, как |xiyj> , где X и Y не коммутируют, в рамках теории запрещено.
4) Если нам известно, что волновая функция имеет вид |aibj…> , то это означает, что мы можем достоверно предсказать результат некоторого измерения величин A, B,…, в котором мы и получим, естественно, значения: ai, bj,..
5) Предсказать результат одновременного измерения двух некоммутируемых величин мы не можем, ибо они не могут одновременно войти в одно теоретическое описание и, к тому же, не могут быть измерены одновременно.
6) Таким образом, две некоммутируемые величины не могут быть одновременно реальны (по определению элементов реальности)
Вторая альтернатива, предлагаемая авторами - неполнота квантовой механики, связанная с наличием в теории некоммутируемых величин, - сводится на самом деле к предыдущему пункту:
а) то, что можно предсказать, можно отнести к элементу физической реальности (по определению элементов реальности);
б) то, что предсказать нельзя, соответственно, отнести нельзя
в) таким образом то, что запрещено в теоретическом описании (и соответственно, не может использоваться для предсказаний) в принципе не может быть отнесено к элементам реальности. Т.е. таких элементов реальности просто не может быть
Другое дело, если у нас имеется другая теория (пусть даже в залоге возможного). Тогда мы можем предположить, что в рамках этой новой теории имеется возможность описать и предсказать то, что считалось незаконным в старой (в квантовой механике). То есть в рамках новой теории есть такие элементы реальности, которые для старой отсутствовали.
Итак, критерий полноты может быть использован только между двумя теориями. Одна их них может быть неполной по отношению к другой. До тех же пор, пока другой теории (хоть в какой-то форме) нет, говорить о неполноте (как она определена здесь Эйнштейном и компани) бессмысленно.
7) Но вернемся к основной линии рассуждения авторов, что там дальше.
Используется модель ЭПР-запутывания (о чем шла речь в предыдущей части), и приходят к следующему результату:
Алиса, измеряя систему I, получает, что система II (которая прилетела к Бобу) находится в состоянии |a>, Сам же Боб, измеряя систему II, получает для нее состояние |b> (индексы опускаю, чисто из технических соображений :), т.е. a - это одно из ai ) Причем A и B не коммутируют. Казалось бы противоречие - одному и тому же элементу реальности одновременно соответствуют две некоммутируемые величины.
Но можно ли здесь говорить об элементах реальности ( которые мы понимаем строго по Эйнштейну и компани)? И можно ли здесь говорить об одновременности?
Алиса получила для системы II волновую функцию |a>. И если Боб проведет (провел бы) измерение величины A для "своей" системы II , то он безусловно получит предсказанное значение a. (Понятно, что в случае ЭПР-фотонов передать предсказание Бобу до проведения им измерения невозможно, но он вполне может сравнить результат эксперимента и предсказание задним числом). Так что, значение величины A должно быть отнесено к реальности системы II.
Но вот вопрос, какое отношение к предсказаниям по поводу системы II имеет измерение Бобом величины B:
а) Допустим, что полученное Бобом значение величины B "перейдет" на состояние системы II после измерения, т.е. ей будет соответствовать волновая функция |b> (что не противоречит принципам КМ). И мы можем тогда предсказать, что в следующем измерении величины B опять получим b. Но что будет, если мы измерим теперь величину A : мы вовсе не обязаны получить значение a, а можем получить любое собственное значение A - ai, с той или иной вероятностью.
То есть предсказание Алисы теперь не работает, оно оказалось "испорчено" измерением Боба, оно было действительно только до этого момента измерения, а следовательно, (вроде бы) соответствовало реальности второй системы только до измерения. Или другими словами, в ходе измерения величины B произошла редукция состояния |a> в одно из собственных значений B. Реальность изменилась.
б) Другой вопрос, что можно сказать о состоянии системы II до измерения Боба на основании результатов этого измерения? Ровным счетом - ничего.
Если система находится в одном из собственных значений некоей величины (согласно теоретическому описанию), то мы можем однозначно предсказать результат измерения величины B. Но на основании (единичного) измерения некоей величины мы ничего не можем сказать о волновой функции до измерения. И таким образом измерение Боба не имеет никакого отношения к реальности системы II до измерения (в рамках понятия реальности, используемого авторами)
Итак, противоречия не получается. Согласно введенному авторами понятию элемента реальности, значения двух некоммутируемых величин относятся к разным элементам реальности, существующим в разные промежутки времени (до измерения Боба и после).
Для того чтобы получить противоречие, авторы должны были выдвинуть более жесткое требование - всегда возможно такое измерение, которое не нарушает состояния (волновой функции), т.е. не меняет состояние элемента реальности.
Но хотя это требование справедливо для классической физики, оно ни в коем случае не работает в квантовой механике и выполняется только для волновой функции, находящейся в собственном значении измеряемой величины. Так что подобное требование не удается наложить - это противоречило бы самой теории, которая, собственно, и есть предмет анализа.
Однако, здесь есть еще один интересный вопрос - а можно ли, вообще, говорить о состоянии систем I и II (запутанных фотонов, скажем) самих по себе до проведения измерений.
2. А у вас спин белый.
Если некая квантовая частица находится в состоянии, описываемом волновой функцией (так называемом чистом состоянии), то это можно (в принципе) определить в серии измерений, проводимых над одинаково "приготовленными" частицами.
Допустим, мы получаем на входе последовательный набор фотонов. В том случае если нам удается подобрать фильтр-измеритель с такой ориентацией (или соотношением x- и y- компонент поляризации), что все фотоны будут давать только одну поляризацию (например, все будут право-поляризованные, или все будут линейно поляризованы по одной из осей), то это означает, что все фотоны и до измерения находились в соответствующем состоянии, с волновой функцией в этом значении поляризации (т.е. были, скажем, право-поляризованы).
И подобный способ измерения всегда (в принципе) можно подобрать для частицы в чистом состоянии.
Что же будет происходить, если мы "испытаем" таким образом один из ЭПР-фотонов. Оказывается, что какой бы фильтр мы не взяли, при любой ориентации и т.п., фотон с равной вероятностью выберет один из двух путей. То есть у него просто нет определенной поляризации, или "есть все сразу". Его состояние не может быть описано волновой функцией.
Если обратиться к классическим представлениям, то свет, излучаемый естественным источником (Солнцем там, или лампочкой), как раз не имеет никакой поляризации (т.е. при прохождении через любой поляризатор всегда будет расщепляться "пополам"). Это объясняется тем, что естественный луч возникает в результате множества отдельных актов микроизлучений, и при сложении огромного числа волн, с разными поляризациями и фазами, всё усредняется.
Получается так, что отдельный ЭПР-фотон "изображает" из себя как раз такой естественный, суммарный свет, "сумму" (или, как это называют, - смесь) всех возможных поляризованных фотонов "в одном флаконе". Хотя при этом два таких ЭПР-фотона, взятые как одна система, описываются волновой функцией.
Что особо интересно, выясняется, что в КМ есть два разных способа описания и, по существу, два типа элементов реальности - чистое состояние (описываемое волновой функции) и смесь (которая описывается строго вероятностно, т.е. для смеси не существует эффектов суперпозиции и интерференции).
3. Кубики и нолики.
Проиллюстрируем вышесказанное на наглядной модели. Отдельный фотон из ЭПР-пары представим как набор кубиков. Каждый кубик соответствует измерению какой-то поляризации фотона. Вот, скажем, Алиса получает такой набор кубиков и подбрасывает один из них, например - номер 1. Может выпасть или 1, или 0 (три грани кубика помечены единицей, три - нулем). Первый случай соответствует получению в поляроиде левой поляризации фотона, второй - правой. Единица и ноль выпадают с равной вероятностью, как и должно быть.
Таким образом, измерение - это подбрасывание пришедшего в наборе кубика, а то значение, которое при этом выпадает есть результат эксперимента. ("обнаружение" той или иной поляризации). Понятно, что кубиков в наборе, вообще говоря, бесконечно много, но мы ограничимся только тремя: первый соответствует левой-правой поляризации, второй - линейной поляризации, и третий - тоже линейной, но с поворотом осей, относительно второй, на угол φ.
Такой набор кубиков адекватно моделирует отдельный ЭПР-фотон, который не может быть представлен (до измерения) волновой функцией, а является смесью - при измерении любой поляризации с одинаковой вероятностью будет получено одно из двух значений.
Теперь распространим нашу модель на ЭПР-пару. В начальный момент времени наборы кубиков как-то между собой взаимодействуют и разлетаются затем в разных направлениях.
Допустим, Алиса, получив свой набор, кинет кубик 1, а Боб - кубик 2 или 3. В этом случае выпадение граней с единицей или нулем на кубиках Алисы и Боба никак между собой не связаны (не коррелируют). Эти два измерения ведут себя как независимые.
А вот если Алиса и Боб решат испытать кубики с одинаковыми номерами, то окажется, что всегда сумма выпавших значений будет равна 1. Если у Алисы выпала грань 1, то у Боба - 0 , и наоборот.
Кубики "чувствуют" друг друга на расстоянии. Как бы далеко они не были разнесены, один из них мгновенно "узнает", что выпало на другом.
Для общности отметим тот вариант, когда Алиса кидает кубик 2 и выпадает, скажем, 1. Если теперь Боб возьмется за кубик 3, то с вероятностью sin2(φ) у него тоже выпадет 1, и с вероятностью cos2(φ) - 0. Эти кубики тоже "чувствуют" друг друга, но связаны не так жестко
Но стойте, казалось бы, можно здесь возразить. Почему нельзя представить эту ситуацию так, что "кубики бросаются" в момент начального взаимодействия, а затем уже к Алисе и Бобу приходят наборы значений (нулей и единиц), согласованные друг с другом в момент взаимодействия. Просто до измерения неизвестно, какие именно значения были "проставлены" взаимодействием.
И тогда никаких странностей и парадоксов. Некий механизм разбрасывает, разъединяя, набор перчаток. И если Алиса получила левую, то Боб, естественно, - правую. Ничего особенного, так и должно быть.
Подобная трактовка соответствует тому, что ЭПР-фотоны получают некие значения всех возможных проекций поляризации, только мы их не знаем до измерения, т.е. квантовая механика не позволяет нам их узнать. Но возможно, что когда-нибудь удастся построить более мощную (полную) теорию, которая бы позволила нам говорить о состоянии фотонов до измерения. Это есть предположение о возможности так называемых локальных скрытых параметров (скрытых от квантовой механики).
Но Д.Белл показал (о чем поговорим дальше), что есть возможность проверить: имеются ли у ЭПР-частиц локальные скрытые параметры. И проведенные впоследствии эксперименты показали, что нет, Алиса и Боб получают не набор уже сформированных значений, а кубики.
Так что придется отвечать на вопрос: каким же образом кубики могут "чувствовать" друг друга? Или же … выяснить, почему нельзя ставить вопрос таким образом.
1 Эйнштейн А., Подольский Б., Розен Н. «Можно ли считать квантовомеханическое описание физической реальности полным?» Phys. Rev., 47, 777. 1935.