Задача В12 из РТ-1
На доске выписаны натуральные числа больше 100, но меньше 600, которые обладают следующими тремя свойствами: при делении на 4 и на 6 дают в остатке 3, а при делении на 9 дают в остатке 6. Количество этих чисел равно … .
Решение. 1 способ.
Если число а делится на число b с остатком r, то существует такое q (неполное частное), что a = bq + r, где 0 < r < b. Тогда по условию задачи имеем систему уравнений 4n+3=6m+3 и 4n+3=9k+6. Из 1-го уравнения следует 2n=3m. Следовательно n кратно 3, m кратно 2. Т.е. уравнению удовлетворяют пары чисел вида n=3p, m=2p, где p∈Z. Определим какие значения n (значит и p) удовлетворят и 2-му уравнению. Подставляя n=3p во второе уравнение системы, получим 12p+3=9k+6 или p=(3k+1)/4 (*). Число (3k+1)/4 будет целым, если 3k+1 делится на 4. Пусть k при делении на 4 даёт остаток r. Тогда k=4t+r. Далее 3k+1=12t+(3r+1), что делится на 4 при r=1. Итак, k=4t+1. Подставляя в формулу (*), получаем p=3t+1,
t ∈ Z.
Таким образом, числа, удовлетворяющие всем условиям задачи, имеют вид:
4n+3=12p+3=12(3t+1)+3=36t+15. По условию должно выполняться неравенство 100 < 36t+15 < 600 ⇒ 85/36 < t < 585/36, откуда t=3, 4,..., 16. Здесь всего 14 чисел. Это и есть ответ к задаче.
2 способ (для тех, кого напрягает обилие букв).
Выпишем несколько чисел, которые удовлетворяют условиям задачи:
7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35,...
9, 15, 21, 27, 33, 39, 45, 51,...
15, 24, 33, 42, 51, 60, 69, 78,... .
Эти последовательности являются арифметическими прогрессиями с разностями 4, 6 и 9 соответственно. Их общие члены, которые надо найти, также образуют арифметическую прогрессию. Разность её должна быть наименьшим числом, которое делится на 4, 6 и 9 без остатка, т.е. она равна НОК(4, 6, 9)=36. Первый член виден: 15. Тогда получаем формулу общего члена: 15+36(n-1)=36n-16. По условию задачи имеем неравенство 100<36n-16<600 или 116/36
Решение. 1 способ.
Если число а делится на число b с остатком r, то существует такое q (неполное частное), что a = bq + r, где 0 < r < b. Тогда по условию задачи имеем систему уравнений 4n+3=6m+3 и 4n+3=9k+6. Из 1-го уравнения следует 2n=3m. Следовательно n кратно 3, m кратно 2. Т.е. уравнению удовлетворяют пары чисел вида n=3p, m=2p, где p∈Z. Определим какие значения n (значит и p) удовлетворят и 2-му уравнению. Подставляя n=3p во второе уравнение системы, получим 12p+3=9k+6 или p=(3k+1)/4 (*). Число (3k+1)/4 будет целым, если 3k+1 делится на 4. Пусть k при делении на 4 даёт остаток r. Тогда k=4t+r. Далее 3k+1=12t+(3r+1), что делится на 4 при r=1. Итак, k=4t+1. Подставляя в формулу (*), получаем p=3t+1,
t ∈ Z.
Таким образом, числа, удовлетворяющие всем условиям задачи, имеют вид:
4n+3=12p+3=12(3t+1)+3=36t+15. По условию должно выполняться неравенство 100 < 36t+15 < 600 ⇒ 85/36 < t < 585/36, откуда t=3, 4,..., 16. Здесь всего 14 чисел. Это и есть ответ к задаче.
2 способ (для тех, кого напрягает обилие букв).
Выпишем несколько чисел, которые удовлетворяют условиям задачи:
7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35,...
9, 15, 21, 27, 33, 39, 45, 51,...
15, 24, 33, 42, 51, 60, 69, 78,... .
Эти последовательности являются арифметическими прогрессиями с разностями 4, 6 и 9 соответственно. Их общие члены, которые надо найти, также образуют арифметическую прогрессию. Разность её должна быть наименьшим числом, которое делится на 4, 6 и 9 без остатка, т.е. она равна НОК(4, 6, 9)=36. Первый член виден: 15. Тогда получаем формулу общего члена: 15+36(n-1)=36n-16. По условию задачи имеем неравенство 100<36n-16<600 или 116/36