Математический эллипсок для старших школьников
Давно не испытывал такого удовлетворения, как от прочтения этого поста. Уже много лет я рассказываю студентам про фатальное упрямство греков, не пожелавших сделать всего один шаг и изобрести калькулюс (матанализ). И про эпициклы как ряд Фурье рассказываю. И про то, что реальную революцию совершил Кеплер, перейдя от божественно-разрешенных еще Аристотелем круговых орбит к элиптическим. И про письмо Гука Ньютону, в котором Гук прямо излагает идею обратных квадратов. И вот нашесля человек, который все это изложил более полно и последовательно. Еще раз, спасибо.
Originally posted by xaxam at Математический эллипсок для старших школьников
Беллетризованный диалог к.ф.-м.н. Симпличио и Ph.D. Сальвиати
Как-то раз зимой летел воробей, замерз и упал без сил. Шла мимо корова, шлепнула лепешку, воробья накрыло, он отогрелся и зачирикал. В это время рядом пробегала кошка: слышит, кто-то чирикает, вытащила воробья и съела.
Мораль: не тот враг, кто тебя в говно посадил; не тот друг, кто тебя из говна вытащил. А главное - уж коли сидишь в говне, так не чирикай.
Народная мудрость
Ты не обязан завершить работу, но ты и не можешь отлынивать от нее.
Рабби Тарфон, Пиркей Авот, II:16
В ЖЖ (и не только) почему-то периодически вспыхивают дискусии об обскурантах-мракобесах и передовиках в науке. Чтоб не отставать от тренда, "ХВ" поразмышляют сегодня вслед за Шкробиусом о нескольких поучительных примерах из истории математики, где здоровые силы в конце концов одолели ретроградов и привели нас в то счастливое настоящее, за которым (если передовикам и дальше будет сопутствовать успех) нас ждёт еще более блестящее будущее.
Начнём с Пифагора, известного мистика, путаника и религиозного мракобеса. Он случайно (повезло парню) заметил, что помимо голов скота, золотых монет и пр., еще кое-какие вещи в нашем мире без видимых причин выражаются при помощи целых чисел. Пифагор был так поражён этим, что объявил числа первоосновой мира и провозгласил принцип "ищите женщину число!" как руководящую и направляющую модель современной науки. Беда в том, что число (идеальное) - не баран и не рупь потерянный, поэтому найти его можно только при помощи рассуждений. Риторика и логика этих рассуждений довольно быстро приняли привычную нам форму логических выводов и математических доказательств, настолько, что за какие-то 200 лет Евклид сумел в этих терминах изложить математику, за пределы которой реально не выходит сегодня 90 процентов "грамотного населения". "Математическая строгость", ставшая такой привлекательной, что на неё повелись и физики, и философы, - делок рук и голов мистиков-пифагорейцев.
Однако и у великого гения Евклида была небольшая проблемка: его труд принял бы куда более законченную и элегантную форму, если б не мистик Пифагор с его досадным открытием невозможности извлечь корень из двух в рациональных числах. Допустить существование невыразимого числа было бы признать идеологическое поражение, поэтому со свойственной им изворотливостью греки решили, что они вместо чисел будут иметь дело с отрезками и пропорциями, которые можно построить с помощью циркуля и линейки. Сегодня мы сказали бы, что Евклид и его подельники с чёрного хода ввели в математику квадратичные расширения, т.е., согласились, что наряду с рациональными числами, кошерно пользоваться также знаком извлечения квадратного корня.
Поначалу путь казался крайне перспективным: число задач, которые решались с помощью таких отрезкочисел, оказалось поистине астрономическим. В какой-то момент выяснилось, что есть всего лишь три задачи, которые не решаются: удвоение куба, трисекция угла и квадратура круга. С высот наших сегодняшних познаний мы понимаем, что если б разрешить извлекать не только квадратный, но и кубический корень, то первые две задачи решились бы. Но греки уперлись, и продолжали решать задачи, сводящиеся к квадратичным иррациональностям, всё более и более изощренные и сложные. В результате они умудрились проплыть по Панамскому каналу, не открыв Америки, хотя свой Колумб у них был.
Архимед, живший всего лишь сто лет позднее Евклида, практически подошёл настолько же близко к созданию современного анализа, как Ньютон и Лейбниц. Если б не математический истэблишмент того времени, требовавший бронзовой строгости и отвергавший все конструкции, использовавшие бесконечность и бесконечные процессы, греки уже в третьем веке до новой эры, почти на 2000 лет раньше, обзавелись бы дифференциальным и интегральным исчислением, а там уж весь взрывной процесс, который привел Европу к владению миром, пошёл бы наверняка, если не при греках, то уж при римлянах с их практической жилкой точно. И варваров снесли бы на дальних подступах к границам Империи, и вообще фоменка нам всем в помощь, что могло бы быть. Ан нет, не стало, и всё потому, что в кузнице не было гвоздя, а греческие математики отказывались иметь дело со странными конструкциями, даже если их можно было сделать из дерева и металла. Архимед стал инженером и не беспокоил философов, а философы смотрели на Архимеда, как химик на алхимика или аллопат на гомеопата. А всего-то и надо было, - согласиться на кошерность определений, построений и вычислений, которые ни за какое конечное количество шагов не дают правильного ответа, а только приближают его, зато всё точнее и точнее, - с любой наперёд заданной точностью. Конечно, у такого расширительного толкования кашрута была своя цена: надо было отказаться от пифагорейского понимания числа и прийти к "современным" числам, бóльшая часть которых совершенно невыразима для нашего ограниченного сознания, но почти никто из нас об этом не задумывается, а тех, кто задумывается, это совсем не пугает.
У пифагорейцев, кстати, был теоретически красивый путь к отступлению: не видно никаких причин, по которым они не могли бы ввести в обиход понятие алгебраических чисел. В конце концов, корень из двух - это всего лишь новое число, квадрат которого равен двум. Оно изображается диагональю единичного квадрата. Аналогично корень кубический из двух - это сторона куба, объём которого равен двум. Мы не можем построить такой куб циркулем и линейкой, но он же, несомненно, существует! Немного потренировавшись, можно привыкнуть, что есть "числа", про которые мы знаем только, что они удовлетворяют уравнению с целыми коэффициентами, - с такими числами можно научиться манипулировать так же, как мы сегодня, не задумываясь, манипулируем с дробями. Более того, в рамках такого гипотетического пути можно было бы гораздо раньше открыть комплексные числа и не попасть в тупик "явного решения уравнения в радикалах", из которого математиков вытащили Лагранж, Абель и Галуа только в 19 веке. Но это в сторону, сослагательно наклоняясь, таксть...
* * *
А вот другой пример, недавно всплывший с подачи Шкробиуса. Как хорошо известно, была реакционная птолемеева геоцентрическая система мира, в рамках которой Земля находилась в центре мира, а Солнце и планеты вращались вокруг неё по кругам. С увеличением точности наблюдений выяснилось, что это не круги, а более сложные фигуры, - планеты вращались вокруг некоторых точек, не совпадающих с Землёй, но вращающихся вокруг Земли по круговым орбитам. Потом оказалось, что надо добавить еще один уровень в табели о рангах...
Глазастый Коперник, пытаясь хоть как-то обуздать эту вакханалию сфер, заметил, что если поместить начало координат не в центр Земли, а на Солнце, то (за исключением Луны и Солнца, безусловно, совершенно особенных небесных тел), у всех остальных планет можно скостить по одному лишнему уровню вертикали власти. Это эстетическое соображение настолько понравилось Копернику, что тот рискнул принести ему в жертву догмат центральности Земли (справедливости ради, вытолкнуть Землю из центра мироздания пытались и до него). Но всё равно круги приходилось множить с увеличением точности наблюдений, чтобы получить всё более точное описание орбит.
Когда спустя 50 лет Кеплер увидел, что можно заменить многоступенчатые суперпозиции круговых движений простыми эллиптическими движениями, это была явная натяжка фактов на теорию. Кеплеровы эллипсы, действительно, упрощали описание, но не вписывались в данные наблюдений. При этом, в отличие от старой доброй (пост)птолемеевой индустриальной схемы внесения поправок, в кеплеровой схеме совершенно не было ясно, что делать дальше. Прежняя круговая симметрия пропала, новой пока не появилось, а наблюдаемые расхождения теории с практикой чесались всё сильнее. Понадобился Ньютон (ждать пришлось совсем недолго), который вывел эмпирические законы Кеплера в качестве следствия из своих* первопринципов (законы механики и тяготения), и только после этого стало ясно, почему кеплеровы эллипсы хуже птолемеевых кругов: они не учитывали взаимного притяжения планет друг к другу. Это сделать непросто, но в рамках ньютоновой теории в принципе возможно. С тех пор и до самого появления теории относительности астрономия (по крайней мере, планетная) чувствовала себя полностью удовлетворённой.
Эта история выглядит, как замечательная сказка со счастливым концом: в нужный момент появлялись гениальные люди со смелым умом и проницательным взглядом, которые смело говорили: старая картина мира неправильная, она слишком запутана, мир должен быть устроен проще! И, хотя эксперимент на первых порах работал против них, со временем правда выплывала на поверхность и прогресс торжествовал.
Или как?
Если б не Кеплер, вполне возможно, что теория рядов Фурье возникла бы не в 19 веке, а на 300 лет раньше. Поскольку птолемеевы круги суть ровно члены этих рядов (если писать их в комплексной форме), и, вполне возможно, кто-нибудь из геометров (а геометрами тогда назывались все математики) задался бы вопросом, - а что уж такого особенного в планетных движениях, что только их надо описывать такими рядами? И попытался проверить, и понял бы, что любой периодический процесс можно описать птолемеевым способом, набрав нужное количество гармоник. После этого анализ звуков, издаваемых струнами, был бы просто детской игрой, оправдывая ожидания пифагорейцев. Увидеть ортогональность тригонометрических полиномов тоже было бы вопросом короткого времени. Короче, вместо нынешнего анализа с его рядами Тейлора и дифференциальными уравнениями мы запросто могли бы заполучить век техники, в котором центральную роль играли бы ряды Фурье, интегралы и вариационные принципы механики. Как выглядели бы инженерные достижения такой математики, я не берусь угадать. Но не исключено, что мы заплатили довольно дорогую цену за гениальные прозрения Коперника и Кеплера: истину мы, конечно, узнали бы всё равно, но, узнав её чуть позже, мы могли бы многое приобрести по дороге.
______________________________________
*Арнольд утверждает, что потырил у Гука, что отнюдь не абсурдно как версия.
♣ Когда вы не сможете прочесть эту надпись здесь, вы сможете всегда её прочесть тут. А Оккам пусть бреется сам своей бритвой.
Originally posted by xaxam at Математический эллипсок для старших школьников
Беллетризованный диалог к.ф.-м.н. Симпличио и Ph.D. Сальвиати
Как-то раз зимой летел воробей, замерз и упал без сил. Шла мимо корова, шлепнула лепешку, воробья накрыло, он отогрелся и зачирикал. В это время рядом пробегала кошка: слышит, кто-то чирикает, вытащила воробья и съела.
Мораль: не тот враг, кто тебя в говно посадил; не тот друг, кто тебя из говна вытащил. А главное - уж коли сидишь в говне, так не чирикай.
Народная мудрость
Ты не обязан завершить работу, но ты и не можешь отлынивать от нее.
Рабби Тарфон, Пиркей Авот, II:16
В ЖЖ (и не только) почему-то периодически вспыхивают дискусии об обскурантах-мракобесах и передовиках в науке. Чтоб не отставать от тренда, "ХВ" поразмышляют сегодня вслед за Шкробиусом о нескольких поучительных примерах из истории математики, где здоровые силы в конце концов одолели ретроградов и привели нас в то счастливое настоящее, за которым (если передовикам и дальше будет сопутствовать успех) нас ждёт еще более блестящее будущее.
Начнём с Пифагора, известного мистика, путаника и религиозного мракобеса. Он случайно (повезло парню) заметил, что помимо голов скота, золотых монет и пр., еще кое-какие вещи в нашем мире без видимых причин выражаются при помощи целых чисел. Пифагор был так поражён этим, что объявил числа первоосновой мира и провозгласил принцип "ищите женщину число!" как руководящую и направляющую модель современной науки. Беда в том, что число (идеальное) - не баран и не рупь потерянный, поэтому найти его можно только при помощи рассуждений. Риторика и логика этих рассуждений довольно быстро приняли привычную нам форму логических выводов и математических доказательств, настолько, что за какие-то 200 лет Евклид сумел в этих терминах изложить математику, за пределы которой реально не выходит сегодня 90 процентов "грамотного населения". "Математическая строгость", ставшая такой привлекательной, что на неё повелись и физики, и философы, - делок рук и голов мистиков-пифагорейцев.
Однако и у великого гения Евклида была небольшая проблемка: его труд принял бы куда более законченную и элегантную форму, если б не мистик Пифагор с его досадным открытием невозможности извлечь корень из двух в рациональных числах. Допустить существование невыразимого числа было бы признать идеологическое поражение, поэтому со свойственной им изворотливостью греки решили, что они вместо чисел будут иметь дело с отрезками и пропорциями, которые можно построить с помощью циркуля и линейки. Сегодня мы сказали бы, что Евклид и его подельники с чёрного хода ввели в математику квадратичные расширения, т.е., согласились, что наряду с рациональными числами, кошерно пользоваться также знаком извлечения квадратного корня.
Поначалу путь казался крайне перспективным: число задач, которые решались с помощью таких отрезкочисел, оказалось поистине астрономическим. В какой-то момент выяснилось, что есть всего лишь три задачи, которые не решаются: удвоение куба, трисекция угла и квадратура круга. С высот наших сегодняшних познаний мы понимаем, что если б разрешить извлекать не только квадратный, но и кубический корень, то первые две задачи решились бы. Но греки уперлись, и продолжали решать задачи, сводящиеся к квадратичным иррациональностям, всё более и более изощренные и сложные. В результате они умудрились проплыть по Панамскому каналу, не открыв Америки, хотя свой Колумб у них был.
Архимед, живший всего лишь сто лет позднее Евклида, практически подошёл настолько же близко к созданию современного анализа, как Ньютон и Лейбниц. Если б не математический истэблишмент того времени, требовавший бронзовой строгости и отвергавший все конструкции, использовавшие бесконечность и бесконечные процессы, греки уже в третьем веке до новой эры, почти на 2000 лет раньше, обзавелись бы дифференциальным и интегральным исчислением, а там уж весь взрывной процесс, который привел Европу к владению миром, пошёл бы наверняка, если не при греках, то уж при римлянах с их практической жилкой точно. И варваров снесли бы на дальних подступах к границам Империи, и вообще фоменка нам всем в помощь, что могло бы быть. Ан нет, не стало, и всё потому, что в кузнице не было гвоздя, а греческие математики отказывались иметь дело со странными конструкциями, даже если их можно было сделать из дерева и металла. Архимед стал инженером и не беспокоил философов, а философы смотрели на Архимеда, как химик на алхимика или аллопат на гомеопата. А всего-то и надо было, - согласиться на кошерность определений, построений и вычислений, которые ни за какое конечное количество шагов не дают правильного ответа, а только приближают его, зато всё точнее и точнее, - с любой наперёд заданной точностью. Конечно, у такого расширительного толкования кашрута была своя цена: надо было отказаться от пифагорейского понимания числа и прийти к "современным" числам, бóльшая часть которых совершенно невыразима для нашего ограниченного сознания, но почти никто из нас об этом не задумывается, а тех, кто задумывается, это совсем не пугает.
У пифагорейцев, кстати, был теоретически красивый путь к отступлению: не видно никаких причин, по которым они не могли бы ввести в обиход понятие алгебраических чисел. В конце концов, корень из двух - это всего лишь новое число, квадрат которого равен двум. Оно изображается диагональю единичного квадрата. Аналогично корень кубический из двух - это сторона куба, объём которого равен двум. Мы не можем построить такой куб циркулем и линейкой, но он же, несомненно, существует! Немного потренировавшись, можно привыкнуть, что есть "числа", про которые мы знаем только, что они удовлетворяют уравнению с целыми коэффициентами, - с такими числами можно научиться манипулировать так же, как мы сегодня, не задумываясь, манипулируем с дробями. Более того, в рамках такого гипотетического пути можно было бы гораздо раньше открыть комплексные числа и не попасть в тупик "явного решения уравнения в радикалах", из которого математиков вытащили Лагранж, Абель и Галуа только в 19 веке. Но это в сторону, сослагательно наклоняясь, таксть...
* * *
А вот другой пример, недавно всплывший с подачи Шкробиуса. Как хорошо известно, была реакционная птолемеева геоцентрическая система мира, в рамках которой Земля находилась в центре мира, а Солнце и планеты вращались вокруг неё по кругам. С увеличением точности наблюдений выяснилось, что это не круги, а более сложные фигуры, - планеты вращались вокруг некоторых точек, не совпадающих с Землёй, но вращающихся вокруг Земли по круговым орбитам. Потом оказалось, что надо добавить еще один уровень в табели о рангах...
Глазастый Коперник, пытаясь хоть как-то обуздать эту вакханалию сфер, заметил, что если поместить начало координат не в центр Земли, а на Солнце, то (за исключением Луны и Солнца, безусловно, совершенно особенных небесных тел), у всех остальных планет можно скостить по одному лишнему уровню вертикали власти. Это эстетическое соображение настолько понравилось Копернику, что тот рискнул принести ему в жертву догмат центральности Земли (справедливости ради, вытолкнуть Землю из центра мироздания пытались и до него). Но всё равно круги приходилось множить с увеличением точности наблюдений, чтобы получить всё более точное описание орбит.
Когда спустя 50 лет Кеплер увидел, что можно заменить многоступенчатые суперпозиции круговых движений простыми эллиптическими движениями, это была явная натяжка фактов на теорию. Кеплеровы эллипсы, действительно, упрощали описание, но не вписывались в данные наблюдений. При этом, в отличие от старой доброй (пост)птолемеевой индустриальной схемы внесения поправок, в кеплеровой схеме совершенно не было ясно, что делать дальше. Прежняя круговая симметрия пропала, новой пока не появилось, а наблюдаемые расхождения теории с практикой чесались всё сильнее. Понадобился Ньютон (ждать пришлось совсем недолго), который вывел эмпирические законы Кеплера в качестве следствия из своих* первопринципов (законы механики и тяготения), и только после этого стало ясно, почему кеплеровы эллипсы хуже птолемеевых кругов: они не учитывали взаимного притяжения планет друг к другу. Это сделать непросто, но в рамках ньютоновой теории в принципе возможно. С тех пор и до самого появления теории относительности астрономия (по крайней мере, планетная) чувствовала себя полностью удовлетворённой.
Эта история выглядит, как замечательная сказка со счастливым концом: в нужный момент появлялись гениальные люди со смелым умом и проницательным взглядом, которые смело говорили: старая картина мира неправильная, она слишком запутана, мир должен быть устроен проще! И, хотя эксперимент на первых порах работал против них, со временем правда выплывала на поверхность и прогресс торжествовал.
Или как?
Если б не Кеплер, вполне возможно, что теория рядов Фурье возникла бы не в 19 веке, а на 300 лет раньше. Поскольку птолемеевы круги суть ровно члены этих рядов (если писать их в комплексной форме), и, вполне возможно, кто-нибудь из геометров (а геометрами тогда назывались все математики) задался бы вопросом, - а что уж такого особенного в планетных движениях, что только их надо описывать такими рядами? И попытался проверить, и понял бы, что любой периодический процесс можно описать птолемеевым способом, набрав нужное количество гармоник. После этого анализ звуков, издаваемых струнами, был бы просто детской игрой, оправдывая ожидания пифагорейцев. Увидеть ортогональность тригонометрических полиномов тоже было бы вопросом короткого времени. Короче, вместо нынешнего анализа с его рядами Тейлора и дифференциальными уравнениями мы запросто могли бы заполучить век техники, в котором центральную роль играли бы ряды Фурье, интегралы и вариационные принципы механики. Как выглядели бы инженерные достижения такой математики, я не берусь угадать. Но не исключено, что мы заплатили довольно дорогую цену за гениальные прозрения Коперника и Кеплера: истину мы, конечно, узнали бы всё равно, но, узнав её чуть позже, мы могли бы многое приобрести по дороге.
______________________________________
*Арнольд утверждает, что потырил у Гука, что отнюдь не абсурдно как версия.
♣ Когда вы не сможете прочесть эту надпись здесь, вы сможете всегда её прочесть тут. А Оккам пусть бреется сам своей бритвой.