Пятый теоретический бред
Истина как определение математической логики
Что есть истина?
Понтий Пилат
Аз есмь путь и истина и живот
Иисус Христос
Вступление
Проблема истины обсуждается, как правило, философами и богословами. Понять их дано не каждому, поэтому своё недомыслие обычно скрывают за пренебрежительным отношениям ко всяким фантазёрам. Однако существует одна область человеческого умозрения, от которой невозможно так просто отмахнуться в виду того, что результаты этой деятельности во многом обеспечивают наше существование. Речь идёт о математике.
В рамках математики строго логическим способом получены результаты, которые позволяют взглянуть на проблему истины, используя математическую логику (в широком смысле) и ничего более. Посмотрим, что же это за результаты и какие выводы касательно истин следуют из них.
Часть I. Истина - это то, что недоказуемо
Для начала сформулируем очевидное утверждение истина - это нечто мыслимое, отбросив попытки свести вопрос не ту или иную форму эмпиризма. Даже если встать на распространённую точку зрения, что практика - это критерий истины, то утверждение об идеальном, умозрительном характере истины останется справедливым. Чувственные, опытные данные - это всего лишь данные, материал для истины, а не сама истина.
Поэтому первое, и пока ещё не математическое определение истины очень простое: истина - это вывод теории.
Дальнейшая работа удет иметь своей целью математическо определение теории и свойств последней. Здесь нас будет интересовать результат известной теоремы Гёделя, весьма сокращённое и упрощённое, но достаточно строгое изложение которой следует ниже.
Всё, с чем мы будем иметь дело ниже, - это слова, объединённые в словарные множества, и алгоритмы, преобразующие слова в другие слова.
1. Для начала введём понятие алфавита, то есть множества букв и символов, используемых для написания слов. Обозначим это множество как Б. За слово будем считать любую конечную последовательность букв из алфавита Б. Всевозможные слова обозначим через {Б}. Из них выделим слова, которые имеют смысл - словарь - и обозначим множество слов, входящих в словарь, через С. Будем также считать, что мы имеем способ узнать, является ли некоторое слово из {Б} осмысленным, то есть принадлежащим С.
Заметим, что слово может означать и обычное число. В этом случае алфавит будет включать всего десять букв от 0 до 9. Далее словом может считаться не только слово в обычном смысле, но и предложение, и целая книга, так как они также могут быть представлены в виде последовательности букв.
Также предполагается конечность алфавита и словаря, хотя множество всех слов может быть бесконечно большим, если не ограничивать длину слова. Исходя из чисто практических соображений, можно считать и эту длину ограниченной. Книги с бесконечным объёмом не только не существуют, но никому и не интересны.
2. Следующее важное понятие - это алгоритм. Под алгоритмом будем понимать предписание, с помощью которого за конечное число шагов из слова из некоторого словаря С1 можно получить новое слово в словаре С2, причём словари могут как совпадать, так и различаться. Преобразование с помощью алгоритма будем записывать в функциональной форме, то есть y=A(x), где x - это исходное слово, а y - новое.
Например, алгоритм увеличения натурального числа на 1 очень прост: y=x+1.
Не всякое слово может быть преобразовано некоторым алгоритмом. Если оба словаря С1 и С2 совпадают с некоторым набором натуральных чисел {0,1,2}, то алгоритм увеличения числа на 1 не сможет работать с числом 2, так как результат не принадлежит указаному набору.
В связи с этим вводятся также понятия области применимости, то есть множества, слова которого могут быть преобразованы алгоритмом, и области значений, то есть множества всех возможных слов, которые могут быть получены преобразованием из слов области применимости.
Для предыдущего примера область применимости {0,1}, а область значений {1,2}.
3. Теперь необходимо определить важные свойства множеств, которые (свойства) связаня с понятием алгоритма.
Множество слов называется перечислимым, если оно порождается алгоритмом П(n), область применимости которого есть множество натуральных чисел от 1 до некоторого N. То есть все слова множества могут быть получены перебором числа n в указанном диапазоне.
Подмножество Y множества слов Х называется разрешимым, если имеется алгоритм Р(x), с помощью которого для любого слова х из Х можно определить, принадлежит ли это слово множеству Y или нет. Такой алгоритм может преобразовать х в 1 в первом случае, и в 0 - во втором.
Заметим, что словари по определению - разрешимые множества.
4. Теперь будут выявлены важные свойства, которые следуют из введённых выше определений.
Лемма 1. Множество слов {Б} произвольного словаря Б перечислимо.
Доказательство. Упорядочим слова по алфавиту и перенумеруем их. Искомый алгоритм П(n) будет просто перебирать эту таблицу.
Лемма 2. Если множество Y разрешимо на Х, причём Х перечислимо, то Y тоже перечислимо.
Доказательство. Пусть для множества Y имеется разрешающий алгоритм РY, а для множества Х - алгоритм перечисления ПX. Построим перечисляющий алгоритм ПY(n). Возьмём любой вспомогательный элемент s из Y. Возьмём некоторый n. Тогда x=ПX(n) - элемент множества X. Выясняем с помощью РY(x) принадлежит ли x множеству Y или нет. Если "да", то положим ПY(n) равным x. В противном случае положим его равным s.
Лемма 3. Если подмножество Y множества Х перечислимо и его дополнение Z=Х-Y тоже перечислимо, то Y разрешимо. (Теорема Поста)
Доказательство. Имеем перечисляющие алгоритмы ПY и ПZ. Выберем некоторое слово x из множества X. Последовательно перебираем число n и смотрим на результаты работы перечисляющих алгоритмов. Как только один из них выдает слово, совпадающее с x, останавливаем перебор. Если совпадение вышло со словом, полученным алгоритмом ПY, то выдаём 1 (т.е. x принадлежит Y. Иначе выдаём 0 (т.е не принадлежит). Описанная процедура является разрешающим алгоритмом РY.
Лемма 4. Если подмножество Y перечислимого множества Х перечислимо, то его дополнение тоже перечислимо.
Доказательство. Построим перечисляющий алгоритм для дополнения следующим образом. Сначала найдём какой-нибудь элемент из дополнения с помощью полного перебора и попарного сравнения, как это описано чуть ниже. Пусть это будет слово s. Возьмём номер n. Зафикисируем значение ПX(n). Перебираем j до тех пор пока значение ПY(j) либо не станет равным ПX(n), либо закончится перебор. В последнем случае выдаём слово ПX(n) как результат работы алгоритма. В первом случае выдаём слово s.
Следствие из лемм 3 и 4. Перечислимое подмножество Y перечислимого множества Х разрешимо.
Лемма 5. Область применимости и область значений любого алгоритма перечислимы.
Доказательство. Рассмотрим работу некоторого алгоритма y=G(x). Сначала допустим, что X перечислимо. В этом случае имеется перечисляющий алгоритм ПX(n). Новое слово y можно тогда образовать посредством y=G(ПX(n))=ПY(n). То есть в этом случае строится перечисляющий алгоритм для Y, а это значит, что Y перечислимо. Допущение о неперечислимости X придётся отбросить. Действительно, область применимости алгоритма по определению - словарь. Словарь по определению - это разрешимое множество и при этом подмножество множества слов. Последнее же в силу леммы 1 - перечислимое. Осталось применить лемму 2.
5. Выделим в словаре С два словарных подмножества. Первое подмножество И образуется истинными утверждениями, или истинами. Заметим, что в И могут содержаться не все возможные истины, а лишь какой-то их ограниченный набор, интересующий нас. Например, можно ограничить слова-истины некоторой длиной или предметной областью (требуя обязательного использования некотрых слов словаря). Конечно, мы не знаем всех истин даже в таком конечном множестве. В реальности можно задать перечисляющий алгоритм ПУ(n) для порождения множества всевозможных утверждений У, как истинных, так и ложных, причём множество истин, очевидно, будет входить в его состав. Будем называть упомянутый алгоритм алгоритмом утверждений.
Будем также считать, что имеется некоторое множество доказательств Д. Естественно предполагать, что мы можем отличить доказательство от недоказательства. То есть будем считать Д разрешимым.
Также естественно считать, что если имеется доказательство, то мы знаем, что в нём доказывается, то есть нам известно доказуемое слово. Это означает, что на множестве доказательств определён некоторый алгоритм доказательства Д(d), для любого d из Д, результатом которого будет некоторое доказуемое слово из словаря.
Совокупность алгоритма утверждений и алгоритма доказательств будем называть теорией.
6. Так как не всякое доказательство истинное, то множество доказуемых слов, не будет в общем случае совпадать со множеством истин.
Теорию называем полной, если множество доказуемых слов включает в себя множество истин, но может быть и больше последнего. Это означает, что с помощью теории можно доказать любое истинное утверждение. Однако это определение означает ещё и то, что наряду с истинными мы можем доказать и ложные слова.
Теорию назовём непротиворечивой, если с её помощью можно доказать только истинные слова. В этом случае множество доказуемых слов включено в множество истин, но может быть и меньше последнего, что означает невозможность доказательства некоторых истин.
Последнее требование исключает такое построение теории, при котором Д={Б}, то есть за доказательство принимается любое, даже не словарное слово. Для такого случая алгоритм доказательства может иметь вид Д(d)=d. При таком построении теории она будет полна, но не только противоречива, а также и бессмысленна.
7. Рассмотрим теперь свойства теории.
Теорема 1. Для полноты и непротиворечивости теории необходима и достаточна перечислимость множества истин.
Доказательство. Пусть теория полна и непротиворечива. Тогда по определению множество доказуемых слов совпадает со множеством истин. Множество доказуемых слов перечислимо по лемме 5, так как оно является областью применимости алгоритма доказательства. Отсюда имеем перечислимость последнего.
Теперь пусть множество истин И перечислимо. Тогда имеется перечислительный алгоритм ПИ(n) на базе которого строим множество доказательств, состоящее из номеров истин n. Алгоритм доказательства для такого множества Д будет совпадать с алгоритмом ПИ(n).
Следствие. Если множество истин неперечислимо, то существуют такие истины, которые нельзя доказать. Иначе говоря, теория будет неполна.
Теорема 2. Для полноты и непротиворечивости теории необходима и достаточна разрешимость множества истин.
Доказательство. Пусть множество истин И разрешимо. Так как последнее является подмножеством перечислимого множества утверждений У, то в силу леммы 2 получаем перечислимость И. По Теореме 1 получаем окончательный вывод.
Теперь пусть теория полна и непротиворечива. Следовательно, по Теореме 1 имеем перечислимость множества И. Множество И являтся подмножеством перечислимого множества У. По следствию из лемм 3 и 4 имеем, что множество И разрешимо.
Что же означает последняя теорема? Как можно понимать этот результат?
Полученный результат следует понимать так, что построение полной и непротиворечивой теории предполагает знание того, какие утверждения истинны, а какие - нет, причём речь идёт о всех истинах. Не отличая истины от лжи, нельзя построить теорию, а само построение теории как раз и нужно, чтобы суметь отличать истину. В итоге можно утверждать, что любая нетривиальная теория содержит недоказуемые истины.
Часть II. Истина - это антиномия
Речь выше шла в основном о полноте теории, но ничего не говорилось о непротиворечивости. Хотя на этот счёт есть частные математические теоремы, мы подойдём к этому вопросу теперь с другой стороны. Дело в том, что вопросы непротиворечивости исследовались уже древнегреческими мыслителями. Поэтому есть смысл поставить вопрос шире: не о противоречиях некоторой искусственной теории, а о противоречиях самого мышления.
1. Как известно, одним фундаментальных способов записи связи между утверждениями является импликация (implicite - тесно связываю), которая для двух утверждений p, именуемой посылкой, и q, именуемой следствием записывается как
p → q.
Чтобы определить свойства импликации, рассмотрим её частные случаи.
Если посылка истинна, то и следствие должно быть истинным. Это - правильная связь утверждений, потому она считается истинной. Если же следствие ложно, то это неправильно, и такая импликация считается ложной.
Что же будет, если посылка будет ложной? Считается, что из ложной посылки может следовать всё, что угодно, то есть импликация с ложной посылкой всегда истинна. Это означает, что связь между посылкой и следствием не должна рассматриваться, как связь причинная или алгоритмическая. Это связь как бы совместного существования. Я бы мог бы сказать ещё и так: если ваши посылки ложны, то есть ум ваш тёмен, и потому вы не можете различить истину от лжи.
Можно выразить импликацию и более кратко: "или p ложное, или q истинное". Это позволяет символически записать импликацию через другой способ логической связи утверждений - сложение, или операцию "или", обозначаемую символом ∪. Утверждение p ∪ q будет истинным, если истинно хотя бы одно из утверждений p, q.
Из сказанного следует, что связь импликации и сложения выражается формулой:
p → q = ¬p ∪ q,
причём через ¬ обозначена операция отрицания. Строго доказать эту формулу можно "в лоб", просто перебрав все возможные - то есть четыре - комбинации истинности и ложности утверждений p и q.
2. В математике (и не только в математике) существует приём доказательства "от противного", образец которого мы находим у тургеневского Рудина.
- Прекрасно! - промолвил Рудин, - стало быть, по-вашему, убеждений нет?
- Нет - и не существует.
- Это ваше убеждение?
- Да.
- Как же вы говорите, что их нет? Вот вам уже одно, на первый случай.
То есть доказательство выглядит следующим образом. Допустим, нам надо доказать утверждение p. Принимаем, что оно неверно, то есть, что истинное утверждние - это ¬p. После чего приходим к выводу, что верно как раз-таки p. Получив противоречие, заключаем, что истинно исходное утвержение p. В символической записи этот способ доказательства записывается так:
(¬p → p) → p.
Можно заметить, что данное выражение, хоть и использовано нами как обозначение, является логическим законом, то есть оно тождественно истинно. Это можно доказать, используя вышеприведённое определение импликации:
¬p → p = ¬(¬p) ∪ p = p ∪ p = p.
Ясно, что p → p будет всегда истинным.
3. Что же особенного можно ещё увидеть в этом полезном способе доказывания утверждений. Оказывается, из него следует строгое доказательство антиномий, то есть самопротиворечивых утверждений.
Действительно, положим истинным тезис p. Применяя логический закон "от противного", получаем:
(p → ¬p )= ¬p.
То есть принимая тезис p истинным, мы утверждаем антитезис ¬p тоже истинным.
Разумеется, истина не сводится только лишь к голому противоречию, и это мы увидим дальше. Здесь же можно констатировать неустранимую противоречивость нашего мышления, которое доказано в максимально "чистой", математической форме, освобождённой от возможных неверных языковых интерпретаций. Однако есть смысл привести и такие, "нечистые" выражения, чтобы показать языковую очевидность полученного "сухого" математического результата.
1) Одно не есть другое. Однако другое само является неким одним. Следовательно, одно не есть одно, следовательно, одно есть другое.
2) Другое не есть одно. В данном случае одно по отношению к другому является другим. Следовательно, другое не есть другое, и таким обазом, другое есть одно.
3) Одно есть одно. Но одно как предикат отличается от одного как субъекта, а это значит, что одно не есть одно.
4) Другое есть другое. Но другое как предикат отличается от другого как субъекта, а это значит, что другое не есть другое.
Другой пример антиномии каждый может найти из собственного внутреннего опыта. Личность всегда меняется. Меняется настроение, приходят новые знания и впечатления. Происходят непрерывные физические изменения. Но при этом мы имеем дело с самим собой. Когда кто-нибудь скажет что-то вроде: я стал другим человеком, он сам не зная того изречёт антиномию, так как всегда есть неподвижное "я" и переменное человеческое, которые образуют единое человеческое существо.
Итак, истина - это такое утверждение, которое содержит в себе противоречие так, что это противоречие недоступно никакому возражению.
Часть III. Истина - это тайна
Рассмотрим результат, полученный в первых двух частях. Мы начали с утверждения, что истина есть нечто мыслимое. Затем оказалось, что в общем случае отличить истину от неистины мы не можем. Далее выяснилось, что даже если бы и смогли доказать истинность, то одновременно с этим мы должны доказать и неистинность. То есть истина оказалась недоказуемой и самопротиворечивой. Следовательно, истина есть нечто немыслимое. Рассмотрим, как это может быть, на простом примере с иррациональным числом √2.
1. В чём состоит существенное ограничение теории, рассмотренной в первой части? Это, безусловно, конечность алгоритма. Наложив это требование, мы исходили из естественного желания увидеть какое-либо доказательство в нашей жизни. В математике слово "алгоритм" может употребляться и в другом смысле. Однако даже в случае бесконечных алгоритмов остаётся элемент невыразимости.
В математике определяются так называемые рациональные, которые могут быть представлены в виде дроби a/b с натуральными числителем и знаменателем. Последнее говорит о том, что такие числа можно было бы называть конечными, имея в виду способ их выражения. Любое рациональное число x можно выразить также и через уравнение
bx-a=0,
в котором также предполагается натуральность его коэффициентов. Такой способ определения позволяет сразу отбросить соблазн рассматривать случай с b=0 на том основании, что в этом случае уравнения просто не существует.
Однако сразу же обнаруживается неполнота такой теории числа. Существуют нерациональные числа, и это факт доказывается элементарно. Рассмотрим уравнение с натуральным коэффициентом c.
x²=c.
Предположим, что его решение α=a/b - это рациональное число, причём наибольший общий делитель a и b равен 1, то есть дробь уже невозможно упростить. Подставляя значение α в уравнение, получим, что
a²/b==a/b a = cb.
Поскольку правая часть - это натуральное число, и поскольку a/b нельзя сократить, то решением уравнения может быть только натуральное число a/b. Если же наибольший общий делитель у частей этой дроби 1, то последнее возможно только при b=1. Таким образом, если решение записанного квадратного уравнения - рациональное число, то это число - натуральное.
Если же рассмотреть уравнение x²=2, то поскольку среди натуральных чисел нет такого, что квадрат равен 2, то и решение этого уравнения не может быть рациональным. Иначе говоря, √2 - это иррациональное число.
Для устранения этой неувязки можно было бы просто объявить, что в данном случае квадратное уравнение решения не имеет. В конце концов не всякая задача может иметь решение. В нашем случае существование решения, как будто, доказывается наглядно: √2 - это длина диагнонали квадрата со стороной, равной 1. Однако в рамках сугубо аналитической теории рациональных чисел явление иррациональностей не может быть признано.
Здесь я вижу прямую аналогию с религиозной верой. Божий Промысел дан нам явно и наглядно, но логически вывести Его невозможно. Воистину есть же вера уповаемых извещение, вещей обличение невидимых. Так что, просите, и дано будет вам; ищите, и найдете. И вот, математики захотели найти и нашли.
2. Примерно через 600 лет после установления факта иррациональности числа √2 Героном Александрийским был предлжен простой и изящный алгоритм для вычисления этого числа. Квадратное уравнение можно записать в виде:
x=(x+2/x)/2.
Отсюда пошаговый процесс постепенного вычисления некоторого числа выглядит как последовательность:
xn+1=(xn+2/xn)/2,
в результате чего получаем набор чисел x0, x1, ... xn.
Покажем, что этот алгоритм имеет отношение к вычислению √2.
Сначала покажем, что любое из полученных чисел будет больше искомого √2.
Для начала заметим, что при допущении t>0, из условия (t-1)²>0 следует, что t+1/t≥2. Тогда
xn+1 = √2/2(xn/√2+√2/xn) ≥ √2/2 ⋅ 2 = √2.
Иначе говоря, xn ≥ 2 для любых n.
Покажем далее, что каждое последующее число меньше предыдущего. Для этого заметим, что только что доказанное свойство можно записать как 2/xn ≤ 1. Тогда
xn+1 = xn/2(1+2/xn²) ≤ xn.
Если выбрать в качестве x0=1, то получим следующий ряд чисел:
x1 = 1,50000000000000000000000000000000000000000000000000000000000,
x2 = 1,41666666666666666666666666666666666666666666666666666666666,
x3 = 1,41421568627450980392156862745098039215686274509803921568627,
x4 = 1,41421356237468991062629557889011349101165596221157440445849,
x5 = 1,41421356237309504880168962350253024361498192577619742849828,
x6 = 1,41421356237309504880168872420969807856967187537723400156101,
x7 = 1,41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667,
причём жирным шрифтом выделены верные цифры. За семь шагов алгоритм даёт 60 верных цифр, что для практических целей избыточно. Если бы истина имела чувственное измерение, как это было предложено нами в самом начале, то было бы достаточно шести значащих чисел, которые получены уже на третьем шаге, поскольку обычные средства измерения длин и площадей, как правило, имеют даже большую погрешность.
В итоге мы получаем определение иррационального числа √2 - как предела вычислений алгоритма Герона.
3. Иначе говоря, иррациональное число - это процесс. Ну и что же тут немыслимого? А то, что мы сочетаем в одном понятии движение, которое никогда не заканчивается, и неподвижное число, которое рассматривается как достижимое. Немыслимым и невозможным тут оказывается сам переход от движения к неподвижности. В математике этот переход даже не выражается никаким определением. Во всех определениях, имеющих отношение к иррациональным числам, будь то логическое понятие непрерывности Дедекинда или аналитическое представление иррациональностей Кантора, в явной или неявной форме содержится только процесс, только движение, но не переход. Само же иррациональное число просто есть и больше ничего, разве что ещё можно сказать, между каких рациональных чисел оно расположено. Сам же переход остаётся для математики непостижимым и таинственным. Здесь следует вести речь о самом настоящем откровении, посредством которого мы получаем возможность рассуждать о сокровенном и бесконечном, используя явные и конечные средства.
Часть VI. Истина - это тайна, выразимая символически
В рассмотренном выше примере мы пользовались выражением √2. Это выражение есть символ, причём речь вовсе не идёт о конкретном письменном обозначении иррационального числа. Это выражение бесконечного через конечное, это явление некоторой истины, которая сама по себе есть тайна. Чтобы прояснить этот вопрос, рассмотрим, как тайное может быть связано с явным.
Используя введённое выше понятие импликации, можно мыслить четыре возможных отношения тайного и явного
1) Язычество - Т → Я ∩ Я → Т. Несложно установить, что это выражение эквивалентно Т=Я. Иначе говоря, нет ничего тайного, чего бы не было явным, и наоборот. То есть для такого способа мышления нет никакого откровения. Мышление, которое допускает магию, всецело подчинено указанному принципу, ибо магия - это управляемые чудеса, это своеобразная техника, которая в отличие от привычной нам техники основана на чувстве красоты, а не на умозрении. Тут же мы находим и понимание оборотничества, почти неограниченной возможности превращений всего живого и неживого, которое так часто встречается в сказках. Здесь же и пантеизм, божество которого разлито в мире.
2) Позитивизм - Т → Я ∩ Я → ¬Т. Из явного не следует никакой тайны, "гипотез я не измышляю". При этом всё тайное объясняется явным или, как в своё время выражался автор бреда, любое чудо разлагается в ряд Фурье. Также несложно вывести по законам логики, что истина этого выражения достигается тогда и только тогда, когда тайна полностью отрицается, то есть истинно ¬T.
3) Кантианство - Т → ¬Я ∩ Я → ¬Т. Тайна - это не явление, гипотезы о вечном мире выводить на основе мира конечных явлений нельзя. В этом кантианство совпадает с позитивизмом. Однако и тайное никак не открывется в явном. Тайное и явное существуют сами по себе. Однако логические преобразования позволяют получить эквивалентное выражение: ¬T ∪ ¬Я. То есть строго логический окончательный вывод кантианства - это скептицизм, который должен отрицать либо тайну, либо явление, либо и то и другое сразу. Любопытно, что этот скептицизм оказывается более свободным, чем позитивизм, так как допускает признание одной только тайны.
4) Платонизм - Т → ¬Я ∩ Я → Т. Формула приводится к выражению ¬Я, то есть при таком понимании явление производно, несамостоятельно и всегда несёт на себе печать тайны. Вместе с тем тайна несводима на явление, она есть самостоятельное.
Очевидно, что именно последнему способу мышления соответствует то понимание иррациональностей, которое утвердилось в математике, и которое было продемонстрировано в третьей части. Иррациональное число есть нечто самостоятельное, а бесконечное множество рациональных чисел, сколь угодно близких, но никогда не равных иррациональному, несёт на себе печать иррациональности, выражаемой конкретными математическими неравенствами.
Символическое выражение иррациональности остаётся вне любых математических определений: явление не определяет тайны, но тайна образует явление.
Вывод
Можно видеть, что математика приходит к тому же, о чём говорят христианские богословы. Вера есть вещей обличение невидимых - это утверждение остаётся справедливым для сугубо мыслительной деятельности, имеющей прекрасное название μάθημα.
Что есть истина?
Понтий Пилат
Аз есмь путь и истина и живот
Иисус Христос
Вступление
Проблема истины обсуждается, как правило, философами и богословами. Понять их дано не каждому, поэтому своё недомыслие обычно скрывают за пренебрежительным отношениям ко всяким фантазёрам. Однако существует одна область человеческого умозрения, от которой невозможно так просто отмахнуться в виду того, что результаты этой деятельности во многом обеспечивают наше существование. Речь идёт о математике.
В рамках математики строго логическим способом получены результаты, которые позволяют взглянуть на проблему истины, используя математическую логику (в широком смысле) и ничего более. Посмотрим, что же это за результаты и какие выводы касательно истин следуют из них.
Часть I. Истина - это то, что недоказуемо
Для начала сформулируем очевидное утверждение истина - это нечто мыслимое, отбросив попытки свести вопрос не ту или иную форму эмпиризма. Даже если встать на распространённую точку зрения, что практика - это критерий истины, то утверждение об идеальном, умозрительном характере истины останется справедливым. Чувственные, опытные данные - это всего лишь данные, материал для истины, а не сама истина.
Поэтому первое, и пока ещё не математическое определение истины очень простое: истина - это вывод теории.
Дальнейшая работа удет иметь своей целью математическо определение теории и свойств последней. Здесь нас будет интересовать результат известной теоремы Гёделя, весьма сокращённое и упрощённое, но достаточно строгое изложение которой следует ниже.
Всё, с чем мы будем иметь дело ниже, - это слова, объединённые в словарные множества, и алгоритмы, преобразующие слова в другие слова.
1. Для начала введём понятие алфавита, то есть множества букв и символов, используемых для написания слов. Обозначим это множество как Б. За слово будем считать любую конечную последовательность букв из алфавита Б. Всевозможные слова обозначим через {Б}. Из них выделим слова, которые имеют смысл - словарь - и обозначим множество слов, входящих в словарь, через С. Будем также считать, что мы имеем способ узнать, является ли некоторое слово из {Б} осмысленным, то есть принадлежащим С.
Заметим, что слово может означать и обычное число. В этом случае алфавит будет включать всего десять букв от 0 до 9. Далее словом может считаться не только слово в обычном смысле, но и предложение, и целая книга, так как они также могут быть представлены в виде последовательности букв.
Также предполагается конечность алфавита и словаря, хотя множество всех слов может быть бесконечно большим, если не ограничивать длину слова. Исходя из чисто практических соображений, можно считать и эту длину ограниченной. Книги с бесконечным объёмом не только не существуют, но никому и не интересны.
2. Следующее важное понятие - это алгоритм. Под алгоритмом будем понимать предписание, с помощью которого за конечное число шагов из слова из некоторого словаря С1 можно получить новое слово в словаре С2, причём словари могут как совпадать, так и различаться. Преобразование с помощью алгоритма будем записывать в функциональной форме, то есть y=A(x), где x - это исходное слово, а y - новое.
Например, алгоритм увеличения натурального числа на 1 очень прост: y=x+1.
Не всякое слово может быть преобразовано некоторым алгоритмом. Если оба словаря С1 и С2 совпадают с некоторым набором натуральных чисел {0,1,2}, то алгоритм увеличения числа на 1 не сможет работать с числом 2, так как результат не принадлежит указаному набору.
В связи с этим вводятся также понятия области применимости, то есть множества, слова которого могут быть преобразованы алгоритмом, и области значений, то есть множества всех возможных слов, которые могут быть получены преобразованием из слов области применимости.
Для предыдущего примера область применимости {0,1}, а область значений {1,2}.
3. Теперь необходимо определить важные свойства множеств, которые (свойства) связаня с понятием алгоритма.
Множество слов называется перечислимым, если оно порождается алгоритмом П(n), область применимости которого есть множество натуральных чисел от 1 до некоторого N. То есть все слова множества могут быть получены перебором числа n в указанном диапазоне.
Подмножество Y множества слов Х называется разрешимым, если имеется алгоритм Р(x), с помощью которого для любого слова х из Х можно определить, принадлежит ли это слово множеству Y или нет. Такой алгоритм может преобразовать х в 1 в первом случае, и в 0 - во втором.
Заметим, что словари по определению - разрешимые множества.
4. Теперь будут выявлены важные свойства, которые следуют из введённых выше определений.
Лемма 1. Множество слов {Б} произвольного словаря Б перечислимо.
Доказательство. Упорядочим слова по алфавиту и перенумеруем их. Искомый алгоритм П(n) будет просто перебирать эту таблицу.
Лемма 2. Если множество Y разрешимо на Х, причём Х перечислимо, то Y тоже перечислимо.
Доказательство. Пусть для множества Y имеется разрешающий алгоритм РY, а для множества Х - алгоритм перечисления ПX. Построим перечисляющий алгоритм ПY(n). Возьмём любой вспомогательный элемент s из Y. Возьмём некоторый n. Тогда x=ПX(n) - элемент множества X. Выясняем с помощью РY(x) принадлежит ли x множеству Y или нет. Если "да", то положим ПY(n) равным x. В противном случае положим его равным s.
Лемма 3. Если подмножество Y множества Х перечислимо и его дополнение Z=Х-Y тоже перечислимо, то Y разрешимо. (Теорема Поста)
Доказательство. Имеем перечисляющие алгоритмы ПY и ПZ. Выберем некоторое слово x из множества X. Последовательно перебираем число n и смотрим на результаты работы перечисляющих алгоритмов. Как только один из них выдает слово, совпадающее с x, останавливаем перебор. Если совпадение вышло со словом, полученным алгоритмом ПY, то выдаём 1 (т.е. x принадлежит Y. Иначе выдаём 0 (т.е не принадлежит). Описанная процедура является разрешающим алгоритмом РY.
Лемма 4. Если подмножество Y перечислимого множества Х перечислимо, то его дополнение тоже перечислимо.
Доказательство. Построим перечисляющий алгоритм для дополнения следующим образом. Сначала найдём какой-нибудь элемент из дополнения с помощью полного перебора и попарного сравнения, как это описано чуть ниже. Пусть это будет слово s. Возьмём номер n. Зафикисируем значение ПX(n). Перебираем j до тех пор пока значение ПY(j) либо не станет равным ПX(n), либо закончится перебор. В последнем случае выдаём слово ПX(n) как результат работы алгоритма. В первом случае выдаём слово s.
Следствие из лемм 3 и 4. Перечислимое подмножество Y перечислимого множества Х разрешимо.
Лемма 5. Область применимости и область значений любого алгоритма перечислимы.
Доказательство. Рассмотрим работу некоторого алгоритма y=G(x). Сначала допустим, что X перечислимо. В этом случае имеется перечисляющий алгоритм ПX(n). Новое слово y можно тогда образовать посредством y=G(ПX(n))=ПY(n). То есть в этом случае строится перечисляющий алгоритм для Y, а это значит, что Y перечислимо. Допущение о неперечислимости X придётся отбросить. Действительно, область применимости алгоритма по определению - словарь. Словарь по определению - это разрешимое множество и при этом подмножество множества слов. Последнее же в силу леммы 1 - перечислимое. Осталось применить лемму 2.
5. Выделим в словаре С два словарных подмножества. Первое подмножество И образуется истинными утверждениями, или истинами. Заметим, что в И могут содержаться не все возможные истины, а лишь какой-то их ограниченный набор, интересующий нас. Например, можно ограничить слова-истины некоторой длиной или предметной областью (требуя обязательного использования некотрых слов словаря). Конечно, мы не знаем всех истин даже в таком конечном множестве. В реальности можно задать перечисляющий алгоритм ПУ(n) для порождения множества всевозможных утверждений У, как истинных, так и ложных, причём множество истин, очевидно, будет входить в его состав. Будем называть упомянутый алгоритм алгоритмом утверждений.
Будем также считать, что имеется некоторое множество доказательств Д. Естественно предполагать, что мы можем отличить доказательство от недоказательства. То есть будем считать Д разрешимым.
Также естественно считать, что если имеется доказательство, то мы знаем, что в нём доказывается, то есть нам известно доказуемое слово. Это означает, что на множестве доказательств определён некоторый алгоритм доказательства Д(d), для любого d из Д, результатом которого будет некоторое доказуемое слово из словаря.
Совокупность алгоритма утверждений и алгоритма доказательств будем называть теорией.
6. Так как не всякое доказательство истинное, то множество доказуемых слов, не будет в общем случае совпадать со множеством истин.
Теорию называем полной, если множество доказуемых слов включает в себя множество истин, но может быть и больше последнего. Это означает, что с помощью теории можно доказать любое истинное утверждение. Однако это определение означает ещё и то, что наряду с истинными мы можем доказать и ложные слова.
Теорию назовём непротиворечивой, если с её помощью можно доказать только истинные слова. В этом случае множество доказуемых слов включено в множество истин, но может быть и меньше последнего, что означает невозможность доказательства некоторых истин.
Последнее требование исключает такое построение теории, при котором Д={Б}, то есть за доказательство принимается любое, даже не словарное слово. Для такого случая алгоритм доказательства может иметь вид Д(d)=d. При таком построении теории она будет полна, но не только противоречива, а также и бессмысленна.
7. Рассмотрим теперь свойства теории.
Теорема 1. Для полноты и непротиворечивости теории необходима и достаточна перечислимость множества истин.
Доказательство. Пусть теория полна и непротиворечива. Тогда по определению множество доказуемых слов совпадает со множеством истин. Множество доказуемых слов перечислимо по лемме 5, так как оно является областью применимости алгоритма доказательства. Отсюда имеем перечислимость последнего.
Теперь пусть множество истин И перечислимо. Тогда имеется перечислительный алгоритм ПИ(n) на базе которого строим множество доказательств, состоящее из номеров истин n. Алгоритм доказательства для такого множества Д будет совпадать с алгоритмом ПИ(n).
Следствие. Если множество истин неперечислимо, то существуют такие истины, которые нельзя доказать. Иначе говоря, теория будет неполна.
Теорема 2. Для полноты и непротиворечивости теории необходима и достаточна разрешимость множества истин.
Доказательство. Пусть множество истин И разрешимо. Так как последнее является подмножеством перечислимого множества утверждений У, то в силу леммы 2 получаем перечислимость И. По Теореме 1 получаем окончательный вывод.
Теперь пусть теория полна и непротиворечива. Следовательно, по Теореме 1 имеем перечислимость множества И. Множество И являтся подмножеством перечислимого множества У. По следствию из лемм 3 и 4 имеем, что множество И разрешимо.
Что же означает последняя теорема? Как можно понимать этот результат?
Полученный результат следует понимать так, что построение полной и непротиворечивой теории предполагает знание того, какие утверждения истинны, а какие - нет, причём речь идёт о всех истинах. Не отличая истины от лжи, нельзя построить теорию, а само построение теории как раз и нужно, чтобы суметь отличать истину. В итоге можно утверждать, что любая нетривиальная теория содержит недоказуемые истины.
Часть II. Истина - это антиномия
Речь выше шла в основном о полноте теории, но ничего не говорилось о непротиворечивости. Хотя на этот счёт есть частные математические теоремы, мы подойдём к этому вопросу теперь с другой стороны. Дело в том, что вопросы непротиворечивости исследовались уже древнегреческими мыслителями. Поэтому есть смысл поставить вопрос шире: не о противоречиях некоторой искусственной теории, а о противоречиях самого мышления.
1. Как известно, одним фундаментальных способов записи связи между утверждениями является импликация (implicite - тесно связываю), которая для двух утверждений p, именуемой посылкой, и q, именуемой следствием записывается как
p → q.
Чтобы определить свойства импликации, рассмотрим её частные случаи.
Если посылка истинна, то и следствие должно быть истинным. Это - правильная связь утверждений, потому она считается истинной. Если же следствие ложно, то это неправильно, и такая импликация считается ложной.
Что же будет, если посылка будет ложной? Считается, что из ложной посылки может следовать всё, что угодно, то есть импликация с ложной посылкой всегда истинна. Это означает, что связь между посылкой и следствием не должна рассматриваться, как связь причинная или алгоритмическая. Это связь как бы совместного существования. Я бы мог бы сказать ещё и так: если ваши посылки ложны, то есть ум ваш тёмен, и потому вы не можете различить истину от лжи.
Можно выразить импликацию и более кратко: "или p ложное, или q истинное". Это позволяет символически записать импликацию через другой способ логической связи утверждений - сложение, или операцию "или", обозначаемую символом ∪. Утверждение p ∪ q будет истинным, если истинно хотя бы одно из утверждений p, q.
Из сказанного следует, что связь импликации и сложения выражается формулой:
p → q = ¬p ∪ q,
причём через ¬ обозначена операция отрицания. Строго доказать эту формулу можно "в лоб", просто перебрав все возможные - то есть четыре - комбинации истинности и ложности утверждений p и q.
2. В математике (и не только в математике) существует приём доказательства "от противного", образец которого мы находим у тургеневского Рудина.
- Прекрасно! - промолвил Рудин, - стало быть, по-вашему, убеждений нет?
- Нет - и не существует.
- Это ваше убеждение?
- Да.
- Как же вы говорите, что их нет? Вот вам уже одно, на первый случай.
То есть доказательство выглядит следующим образом. Допустим, нам надо доказать утверждение p. Принимаем, что оно неверно, то есть, что истинное утверждние - это ¬p. После чего приходим к выводу, что верно как раз-таки p. Получив противоречие, заключаем, что истинно исходное утвержение p. В символической записи этот способ доказательства записывается так:
(¬p → p) → p.
Можно заметить, что данное выражение, хоть и использовано нами как обозначение, является логическим законом, то есть оно тождественно истинно. Это можно доказать, используя вышеприведённое определение импликации:
¬p → p = ¬(¬p) ∪ p = p ∪ p = p.
Ясно, что p → p будет всегда истинным.
3. Что же особенного можно ещё увидеть в этом полезном способе доказывания утверждений. Оказывается, из него следует строгое доказательство антиномий, то есть самопротиворечивых утверждений.
Действительно, положим истинным тезис p. Применяя логический закон "от противного", получаем:
(p → ¬p )= ¬p.
То есть принимая тезис p истинным, мы утверждаем антитезис ¬p тоже истинным.
Разумеется, истина не сводится только лишь к голому противоречию, и это мы увидим дальше. Здесь же можно констатировать неустранимую противоречивость нашего мышления, которое доказано в максимально "чистой", математической форме, освобождённой от возможных неверных языковых интерпретаций. Однако есть смысл привести и такие, "нечистые" выражения, чтобы показать языковую очевидность полученного "сухого" математического результата.
1) Одно не есть другое. Однако другое само является неким одним. Следовательно, одно не есть одно, следовательно, одно есть другое.
2) Другое не есть одно. В данном случае одно по отношению к другому является другим. Следовательно, другое не есть другое, и таким обазом, другое есть одно.
3) Одно есть одно. Но одно как предикат отличается от одного как субъекта, а это значит, что одно не есть одно.
4) Другое есть другое. Но другое как предикат отличается от другого как субъекта, а это значит, что другое не есть другое.
Другой пример антиномии каждый может найти из собственного внутреннего опыта. Личность всегда меняется. Меняется настроение, приходят новые знания и впечатления. Происходят непрерывные физические изменения. Но при этом мы имеем дело с самим собой. Когда кто-нибудь скажет что-то вроде: я стал другим человеком, он сам не зная того изречёт антиномию, так как всегда есть неподвижное "я" и переменное человеческое, которые образуют единое человеческое существо.
Итак, истина - это такое утверждение, которое содержит в себе противоречие так, что это противоречие недоступно никакому возражению.
Часть III. Истина - это тайна
Рассмотрим результат, полученный в первых двух частях. Мы начали с утверждения, что истина есть нечто мыслимое. Затем оказалось, что в общем случае отличить истину от неистины мы не можем. Далее выяснилось, что даже если бы и смогли доказать истинность, то одновременно с этим мы должны доказать и неистинность. То есть истина оказалась недоказуемой и самопротиворечивой. Следовательно, истина есть нечто немыслимое. Рассмотрим, как это может быть, на простом примере с иррациональным числом √2.
1. В чём состоит существенное ограничение теории, рассмотренной в первой части? Это, безусловно, конечность алгоритма. Наложив это требование, мы исходили из естественного желания увидеть какое-либо доказательство в нашей жизни. В математике слово "алгоритм" может употребляться и в другом смысле. Однако даже в случае бесконечных алгоритмов остаётся элемент невыразимости.
В математике определяются так называемые рациональные, которые могут быть представлены в виде дроби a/b с натуральными числителем и знаменателем. Последнее говорит о том, что такие числа можно было бы называть конечными, имея в виду способ их выражения. Любое рациональное число x можно выразить также и через уравнение
bx-a=0,
в котором также предполагается натуральность его коэффициентов. Такой способ определения позволяет сразу отбросить соблазн рассматривать случай с b=0 на том основании, что в этом случае уравнения просто не существует.
Однако сразу же обнаруживается неполнота такой теории числа. Существуют нерациональные числа, и это факт доказывается элементарно. Рассмотрим уравнение с натуральным коэффициентом c.
x²=c.
Предположим, что его решение α=a/b - это рациональное число, причём наибольший общий делитель a и b равен 1, то есть дробь уже невозможно упростить. Подставляя значение α в уравнение, получим, что
a²/b==a/b a = cb.
Поскольку правая часть - это натуральное число, и поскольку a/b нельзя сократить, то решением уравнения может быть только натуральное число a/b. Если же наибольший общий делитель у частей этой дроби 1, то последнее возможно только при b=1. Таким образом, если решение записанного квадратного уравнения - рациональное число, то это число - натуральное.
Если же рассмотреть уравнение x²=2, то поскольку среди натуральных чисел нет такого, что квадрат равен 2, то и решение этого уравнения не может быть рациональным. Иначе говоря, √2 - это иррациональное число.
Для устранения этой неувязки можно было бы просто объявить, что в данном случае квадратное уравнение решения не имеет. В конце концов не всякая задача может иметь решение. В нашем случае существование решения, как будто, доказывается наглядно: √2 - это длина диагнонали квадрата со стороной, равной 1. Однако в рамках сугубо аналитической теории рациональных чисел явление иррациональностей не может быть признано.
Здесь я вижу прямую аналогию с религиозной верой. Божий Промысел дан нам явно и наглядно, но логически вывести Его невозможно. Воистину есть же вера уповаемых извещение, вещей обличение невидимых. Так что, просите, и дано будет вам; ищите, и найдете. И вот, математики захотели найти и нашли.
2. Примерно через 600 лет после установления факта иррациональности числа √2 Героном Александрийским был предлжен простой и изящный алгоритм для вычисления этого числа. Квадратное уравнение можно записать в виде:
x=(x+2/x)/2.
Отсюда пошаговый процесс постепенного вычисления некоторого числа выглядит как последовательность:
xn+1=(xn+2/xn)/2,
в результате чего получаем набор чисел x0, x1, ... xn.
Покажем, что этот алгоритм имеет отношение к вычислению √2.
Сначала покажем, что любое из полученных чисел будет больше искомого √2.
Для начала заметим, что при допущении t>0, из условия (t-1)²>0 следует, что t+1/t≥2. Тогда
xn+1 = √2/2(xn/√2+√2/xn) ≥ √2/2 ⋅ 2 = √2.
Иначе говоря, xn ≥ 2 для любых n.
Покажем далее, что каждое последующее число меньше предыдущего. Для этого заметим, что только что доказанное свойство можно записать как 2/xn ≤ 1. Тогда
xn+1 = xn/2(1+2/xn²) ≤ xn.
Если выбрать в качестве x0=1, то получим следующий ряд чисел:
x1 = 1,50000000000000000000000000000000000000000000000000000000000,
x2 = 1,41666666666666666666666666666666666666666666666666666666666,
x3 = 1,41421568627450980392156862745098039215686274509803921568627,
x4 = 1,41421356237468991062629557889011349101165596221157440445849,
x5 = 1,41421356237309504880168962350253024361498192577619742849828,
x6 = 1,41421356237309504880168872420969807856967187537723400156101,
x7 = 1,41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667,
причём жирным шрифтом выделены верные цифры. За семь шагов алгоритм даёт 60 верных цифр, что для практических целей избыточно. Если бы истина имела чувственное измерение, как это было предложено нами в самом начале, то было бы достаточно шести значащих чисел, которые получены уже на третьем шаге, поскольку обычные средства измерения длин и площадей, как правило, имеют даже большую погрешность.
В итоге мы получаем определение иррационального числа √2 - как предела вычислений алгоритма Герона.
3. Иначе говоря, иррациональное число - это процесс. Ну и что же тут немыслимого? А то, что мы сочетаем в одном понятии движение, которое никогда не заканчивается, и неподвижное число, которое рассматривается как достижимое. Немыслимым и невозможным тут оказывается сам переход от движения к неподвижности. В математике этот переход даже не выражается никаким определением. Во всех определениях, имеющих отношение к иррациональным числам, будь то логическое понятие непрерывности Дедекинда или аналитическое представление иррациональностей Кантора, в явной или неявной форме содержится только процесс, только движение, но не переход. Само же иррациональное число просто есть и больше ничего, разве что ещё можно сказать, между каких рациональных чисел оно расположено. Сам же переход остаётся для математики непостижимым и таинственным. Здесь следует вести речь о самом настоящем откровении, посредством которого мы получаем возможность рассуждать о сокровенном и бесконечном, используя явные и конечные средства.
Часть VI. Истина - это тайна, выразимая символически
В рассмотренном выше примере мы пользовались выражением √2. Это выражение есть символ, причём речь вовсе не идёт о конкретном письменном обозначении иррационального числа. Это выражение бесконечного через конечное, это явление некоторой истины, которая сама по себе есть тайна. Чтобы прояснить этот вопрос, рассмотрим, как тайное может быть связано с явным.
Используя введённое выше понятие импликации, можно мыслить четыре возможных отношения тайного и явного
1) Язычество - Т → Я ∩ Я → Т. Несложно установить, что это выражение эквивалентно Т=Я. Иначе говоря, нет ничего тайного, чего бы не было явным, и наоборот. То есть для такого способа мышления нет никакого откровения. Мышление, которое допускает магию, всецело подчинено указанному принципу, ибо магия - это управляемые чудеса, это своеобразная техника, которая в отличие от привычной нам техники основана на чувстве красоты, а не на умозрении. Тут же мы находим и понимание оборотничества, почти неограниченной возможности превращений всего живого и неживого, которое так часто встречается в сказках. Здесь же и пантеизм, божество которого разлито в мире.
2) Позитивизм - Т → Я ∩ Я → ¬Т. Из явного не следует никакой тайны, "гипотез я не измышляю". При этом всё тайное объясняется явным или, как в своё время выражался автор бреда, любое чудо разлагается в ряд Фурье. Также несложно вывести по законам логики, что истина этого выражения достигается тогда и только тогда, когда тайна полностью отрицается, то есть истинно ¬T.
3) Кантианство - Т → ¬Я ∩ Я → ¬Т. Тайна - это не явление, гипотезы о вечном мире выводить на основе мира конечных явлений нельзя. В этом кантианство совпадает с позитивизмом. Однако и тайное никак не открывется в явном. Тайное и явное существуют сами по себе. Однако логические преобразования позволяют получить эквивалентное выражение: ¬T ∪ ¬Я. То есть строго логический окончательный вывод кантианства - это скептицизм, который должен отрицать либо тайну, либо явление, либо и то и другое сразу. Любопытно, что этот скептицизм оказывается более свободным, чем позитивизм, так как допускает признание одной только тайны.
4) Платонизм - Т → ¬Я ∩ Я → Т. Формула приводится к выражению ¬Я, то есть при таком понимании явление производно, несамостоятельно и всегда несёт на себе печать тайны. Вместе с тем тайна несводима на явление, она есть самостоятельное.
Очевидно, что именно последнему способу мышления соответствует то понимание иррациональностей, которое утвердилось в математике, и которое было продемонстрировано в третьей части. Иррациональное число есть нечто самостоятельное, а бесконечное множество рациональных чисел, сколь угодно близких, но никогда не равных иррациональному, несёт на себе печать иррациональности, выражаемой конкретными математическими неравенствами.
Символическое выражение иррациональности остаётся вне любых математических определений: явление не определяет тайны, но тайна образует явление.
Вывод
Можно видеть, что математика приходит к тому же, о чём говорят христианские богословы. Вера есть вещей обличение невидимых - это утверждение остаётся справедливым для сугубо мыслительной деятельности, имеющей прекрасное название μάθημα.