Три средних
Вспомнил, как однажды шёл домой от троллейбусной остановки после школы. Дорожка шла немного вверх, она была выложена серыми квадратными плитками размером ровно в 50 сантиметров. Вообще-то этот путь занимал меньше десяти минут, но в тот раз я шёл медленно. Светило солнце и было тепло, по краям дорожки, под коркой слежавшегося снега грязного "тёмно-белого" цвета, текла вода. Снежная корка поэтому нависала над дорожкой с обеих сторон. Я прыгал, стараясь обломать снежную корку, обвалить куски каблуками. Поэтому продвижение и было медленным. Но думал я не об этом, а о трёх средних. В сумке у меня была замечательная математическая книжка "Старинные задачи", толстая, белая, маленького формата. К тому времени она была у меня уже давно - год, наверное - читанная-перечитанная. Правда, многие интересные задачи я в ней тогда решить никак не мог. Задачи на квадратное уравнение, например.
Судя по погоде, это должен был быть март. А год был 1980-ый, потому что летом того года мы переехали в другую квартиру, на ту сторону реки. Вернее, на эту, конечно. Так что мне было девять лет, третий класс.
Я тогда как раз узнал о "среднем гармоническом". Среднее геометрическое для меня было ещё несколько новым, а среднее арифметическое уже было давно освоено. Например, я хорошо понимал разницу между топорным официальным определением "полусумма", и жизнью, в которой можно было гибко орудовать полуразностями. В самом деле, никто в здравом уме ведь не станет складывать числа 1917 и 1991, а потом делить полученное на два, чтобы посчитать среднее между ними. Они отстоят друг от друга на 74 года, половина этого - это 37 лет, значит среднее - 1954. От 1917 до 1954 прошло столько же, сколько от 1954 до 1991. Но можно посчитать ещё проще. Век у них общий, значит, он будет такой же и у среднего. Среднее десятилетий (между 1 и 9) - 5. А среднее единиц (7 и 1) - 4. Выход в открытое море чисел за пределы первого десятка казался мне тогда интересным приключением (и теперь кажется), зато считать внутри десятка было спокойно и уютно. К сожалению, я не помню конкретного примера из двадцатого века, о котором я тогда думал, но ход мысли эти два числа передают правильно.
Среднее арифметическое - это серединка на линейке между двумя числами. Среднее геометрическое - чуть сложнее (про логарифмическую линейку я тогда ещё понимал плохо). Среднее арифметическое - это такое число, что, если от него отнять меньшее из нашей пары, получится то же самое, как если его самого отнять от большего. А среднее геометрическое - если поделить. Например, среднее арифметическое между 2 и 8 - это 5. Потому что расстояние в обе стороны - 3. Если отнимать. А среднее геометрическое между ними - это 4. Расстояние в обе стороны - 2. Если делить. Кстати, геометрическое каждый раз получалось меньше, чем арифметическое. И это понятно - мы сначала делим на меньшее, а потом на большее, значит и промежутки между ними неравны - первый меньше, второй больше.
Среднее гармоническое - это обратное число для среднего арифметического обратных чисел. Например, среднее арифметическое между 1/2 и 1/8 - это 5/16, так что среднее геометрическое между 2 и 8 - это 16/5, то есть, 3.2. Пифагору, герою "Старинных задач", оно было нужно для музыки. Например, если у нас есть две струны (натянутые одинаково), то звук у более длинной будет ниже (его частота будет меньше). Какая должна быть длина струны, чтобы частота её звука была посередине между двумя другими? Средним гармоническим тех двух длин. Например, если у нас есть две струны длиной 2 и 8 дециметров, то для звука посередине между ними надо взять струну длиной 3.2 дециметра, а не 4 или 5. На самом деле, правда, наши уши работают по геометрическим, а не гармоническим правилам, для нас разница между 2 и 8 - это как раз две октавы, и посередине должна быть струна длиной в 4 дециметра. Поэтому у рояля - кривая форма. Длина струн меняется то быстро, то медленно. (Если честно, там струны разной толщины и натянуты по-разному. Но форма рояля от этого до конца не испрямляется.)
Среднее гармоническое встречается в целой уйме задач: всюду, где изменяющееся число - в знаменателе. Например, если из двух разных труб куда-то вливается вода, или если машина едет то быстро, то медленно. У старинных людей почему-то было очень много задач на разные трубы. Видно, одинаковые трубы они тогда ещё делать не умели. Среднее гармоническое, вместе с арифметическим и геометрическим, составляет пифагорову тройку средних. Среднее геометрическое, кстати, оказывается средним геометрическим не только для пары чисел, с которой мы начали, но и для двух других средних. Так что оно между ними посередине, а значит, среднее гармоническое - самое маленькое из трёх, ещё меньше, чем геометрическое. Поэтому, если полдороги идти медленно (2 км/ч), а полдороги бежать (8 км/ч), то средняя скорость будет всего 3.2 км/ч. А чтобы вытянуть эту среднюю скорость до 5 км/ч, если сначала идти медленно, то бежать придётся вчетверо дальше. Это слишком трудно, да и незачем.
Эти 3.2 км/ч - раздражают. Почему это не целое число? Захотелось найти такую пару небольших натуральных чисел, для которых все три пифагоровы средние - тоже натуральные. Я тогда нашёл одну такую пару, и с тех пор использую её, как подопытных кроликов, для размышлений о средних числах. А через год, в десять лет, во время другой прогулки, я нашёл все такие пары - общее решение. Оно оказалось довольно забавным - моя любимая пара самая маленькая, но только, если судить по большему числу. Кроме неё есть ещё одна маленькая пара - проклятый конкурент, а все остальные пары - гораздо больше.
Детская задача
Детское решение