Квадратура круга

[gegmopo4]

В квадрат со стороной, равной единице, можно вписать круг единичного диаметра. Какого максимального диаметра круг можно покрыть двумя единичными квадратами (возможно перекрывающимися)? Нет, ответ не единица. А тремя квадратами? Четырьмя? Пятью?

Comments

[t_alec]

> Какого максимального диаметра круг можно покрыть двумя единичными квадратами (возможно перекрывающимися)?
1,17157287525381

[gegmopo4]

А вот и нет! Круг такого диаметра нельзя покрыть двумя единичными квадратами.

[half_integer]

Навскидку можно предположить, что для n=2 решением будут два наложенных друг на друга квадрата с параллельными сторонами. Из соображений симметрии максимальная площадь вписанного круга достигается при равных квадратных «вырезах» на противоположных углах псевдоквадрата. Диаметр: d=2\sqrt{2}/(1+\sqrt(2)). Приблизительно 1.17.
Для n=3 аналогичная схема построения фигуры из квадратов, диагонали которых лежат на трёх лучах, расходящихся из одной точки под углами \pi/3, даёт d=2/(1+\sin{\pi/12})\approx 1.59. Я не могу доказать, что это экстремальное решение, но варианты с прижатыми друг к другу боками квадратами (тогда третий лучше всего повернуть на \pi/4) дают всего d=\sqrt{2}.
Вот как-то так:

[gegmopo4]

Да, для двух квадратов я получил тот же результат. Доказать, что это максимум не берусь.

Для трёх квадратов в схеме «два прижаты сторонами, один развёрнут на 45°» можно получить большее значение, если третий квадрат чуть выдвинуть. d = 2t/(t+1), где t = sqrt(7+4sqrt(2)). Это, однако, немного меньше симметричной схемы, 1.56 против 1.59 (кстати, sin(pi/12) = 1/sqrt(2)(sqrt(3)+1)). Не знаю, существует ли не центрально-симметричный вариант лучше. Во всяком случае для больших чисел центральная симметрия исчезнет (может уже с пяти?). Интересно, можно ли получить диаметр больше 2 для четырёх квадратов?

Вряд ли существует универсальное решение. Знаю похожую задачу, о минимальном размере круга, в который можно упаковать без перекрытия n единичных кругов, она едва решена для первых пары десятков, и упаковки получаются очень хитрыми. Эта задача может быть и проще, и сложнее.

[half_integer]

Действительно, вариант со выдвинутым третьим квадратом я проглядел.
Для четырёх квадратов можно, пожалуй, основать доказательство максимальности d=2 на том, что круг с d>2 не может касаться более, чем одной стороны единичного квадрата.

Задача очень любопытная.