Задачка по алгебре
Несложная, но нашлось довольно оригинальное решение.
Доказать, что биномиальные коэффициенты
при
все чётны тогда и только тогда, когда
- целая степень двойки.
Если
где
- целое число, то в поле)
^{2^i} = (x^2 + 1)^{2^{i-1}} = (x^4 + 1)^{2^{i-2}} = \dots = x^{2^i}+1,)
поэтому все биномиальные коэффициенты
при
чётны.
Теперь в другую сторону. Пускай теперь
где
- целое число, a
- нечётное целое число больше единицы. Тогда в поле
(используя тот же аргумент, что и ранее)
^{j 2^i} = (x^{2^i}+1)^j.)
Коэффициент2^i})
в этом многочлене равен
, стало быть в поле
он равен единице, значит, есть по крайней мере один нечётный биномиальный коэффициент среди
при
.
Доказать, что биномиальные коэффициенты
при
все чётны тогда и только тогда, когда
- целая степень двойки.
Если
где
- целое число, то в поле
поэтому все биномиальные коэффициенты
при
чётны.
Теперь в другую сторону. Пускай теперь
где
- целое число, a
- нечётное целое число больше единицы. Тогда в поле
(используя тот же аргумент, что и ранее)
Коэффициент
в этом многочлене равен
, стало быть в поле
он равен единице, значит, есть по крайней мере один нечётный биномиальный коэффициент среди
при
.