Восток и запад: предпочитает ли бог инициальные алгебры?

[furia_krucha]

Радио, телевидение и попутчики в вечерних электричках уведомят всякого, что „теорема Гёделя о неполноте“ накладывает непреодолимые ограничения на формализацию математики, прокапывая между „доказуемо“ и „истинно“ противопожарную траншею, в которой так удобно петь песни, скатившись даже и с далёкого от математики пригорка

Comments

апология доказательства

[furia_krucha]

Хотя у меня есть перед Вами "долг" со старых времён в виде пары неотвеченных комментов, я надеюсь, что Вы не будете возражать против того, чтобы помимо "замороженного мяса" Тигры покушали немного "свежатинки", раз уж она попалась под руку лапу :)
Честно говоря, я бы предпочёл разбираться с вопросами по-порядку, хотя тигр, конечно, зверь вольный. У меня всё укрепляется ощущение, что Магеллан вам надоел: опять целый месяц ничего не было слышно, хотя на „сладчайшего“ Гёделя, вы среагировали быстро. :-) Если это действительно так, то давайте придадим обсуждению какое-то завершение (как вы сами отмечали нам с вами именно его часто не хватало в прошлом), тем более, что за ним следим не только мы одни.

Так ли это?
Да, в этом я достаточно уверен. Про \omega-consistency и приём Россера я знаю. Вот формулировка из английского перевода Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I (я сравнил и с другим переводом, на всякий случай):
Theorem VI: For every ω-consistent [primitive] recursive class κ of

[az118]

Почему классический натуральный ряд так важен?

потому что он натуральный - естественный и простейший по интуиции :)

при этом на нем все стоит

прелесть

[furia_krucha]

Классический натуральный ряд, как-раз далеко не натурален. Например, приведённые вами аксиомы, не определяют классический натуральный ряд. Помимо инициальной модели, тем же аксиомам удовлетворяют и нестандартные модели арифметики, счётные и несчётные. Более того, по теореме Лёвенгейма - Скулема, вообще не существует теории первого порядка, которая имеет моделью только классический натуральный ряд.

[az118]

да, эти аксиомы задают еще ZF, а из нее можно получить кл.нат.ряд как ее подстуктуру:

0, 0', 0'',...

которая будет простейшей среди всех структур данной форм.теории.

вообще все структуры одной форм.теории попарно гомоморфны
и интересны те теории, среди моделей которой есть одна,
являющейся прототипом остальных ее моделей, каковые будут
расширениями прототипа - в данном случае натур.ряда

т.е. созерцается принцип происхождения структур

в разных потомках одно и то же расширительное утверждение
может иметь разную истинность, но истинность прототипических
утверждений во всех моделях будет одинакова