Гедель 7

[fregimus]

1 
2 
3 
4 
5 
6 
 7

XIV. Мышление математика

Рассмотрим теперь второй вопрос, в рассуждениях о котором часто упоминают ТГ, и где это упоминание часто кажется, хотя бы на первый взгляд, уместным. Речь идет об отношении математики и сознания работающего человека-математика. Встречается такая точка зрения, что математическому уму некоторые математические факты доступны как истинные непосредственно, минуя доказательство - в виде интуитивных «откровений». В числе аргументов за эту точку зрения часто выдвигают как теоремы Геделя о неполноте, так и невычислимость в смысле Черча-Тьюринга. Среди них часто повторяются аргументы Дж. Лукаса и Р. Пенроуза. Подробный анализ этих рассуждений имеется в книге [3], главы 2 и 6; здесь мы рассмотрим два примера.

Рассуждение Лукаса (Lucas 1961, цит. по [3]) будто бы доказывает, что человеческий ум превосходит любую машину:Какую бы сложную машину мы ни построили, будучи машиной, она будет соответствовать некоей формальной системе, а та, в свою очередь, ограничена Геделевой процедурой, определяющей утверждение, невыводимое в данной системе. Машина не сможет вывести доказательство этого утверждения, тогда как человеческому уму видно, что оно истинно.
Ошибка в этом рассуждении происходит, скорее всего, из непонимания вывода Геделя. Мы знаем, что Геделево утверждение истинно, покуда верим, что арифметика непротиворечива. Истинность его формально следует из непротиворечивости арифметики, но никакого подтверждения непротиворечивости арифметики у нас нет!

Несколько более сложный аргумент приводит Пенроуз, например, в «Тенях разума»; в сжатой форме можно прочитать его в статье в электронном журнале «Психея» 18:Пусть все без исключения методы несомненно верных математических рассуждений, в принципе доступных человеку, могут быть выражены в формальной системе F. Математик, рассматривая F, может рассуждать следующим образом (полагая, что фраза «я есть F» попросту обозначает «F заключает в себе все доступные человеку методы математического доказательства»):

«Предположим, что я есть F. Тогда F будет верной 19, и кроме того, если мы рассмотрим систему F', представляющую собой F, дополненную утверждением „я есть F“, то она тоже будет верной. В таком случае, Геделeво утверждение G(F') будет истинным, и, кроме того, невыводимым в F'. Следовательно, если я есть F, то я воспринимаю истинность G(F'), то есть утверждения, лежащего за пределами доказательной силы F. Следовательно, то, что я есть F, неверно для любой достаточно мощной „геделизируемой“ формальной системы F».
Из этого делается вывод, что совокупность несомненно верных математических рассуждений, доступных человеку, не может быть выражена никакой формальной системой, или, следуя тезису Черча-Тьюринга, никакой компьютерной программой.

Это, весьма «солидное» на первый взгляд, рассуждение содержит на самом деле несколько логических неточностей, которые, будучи внимательно учтенными, приведут нас к несколько иному выводу. Неявное предположение, сделанное Пенроузом, таково, будто «несомненно верные» рассуждения и в самом деле верные, то есть человеческая сиситема математических рассуждений непротиворечива, и, кроме того, «несомненно верно», что эта система непротиворечива. Такое предположение принимать бездоказательно не следует; попытаемся «спасти положение» следующим рассуждением: «Пусть я есть F (в том же смысле, что и в рассуждении Пенроуза), такая, что F включает в себя и знание о том, что F непротиворечива. Следовательно (2-я ТГ), F противоречива».

Опять же, очевидный вывод, напрашивающийся из этого рассуждения, состоит будто бы в том, что человеческая сиситема рассуждений не может быть заключена ни в какой непротиворечивой ФС F. Но не будем торопиться, потому что логически справедливый вывод, который следует сделать из полученного противоречия, такой: (1) человеческая система рассуждений невыразима никакой ФС или (2) она не включает в себя знания о том, что она непротиворечива (или и то, и другое верно). Утверждение (1) совместимо с рассуждением Пенроуза, но (2), однако, ему противоречит. Сам Пенроуз неоднократно отвергает (2) мировоззренчески: неверие в совершенную правильность системы своих собственных несомненных убеждений он считает неразумным.

Но так ли это неразумно - знать, что в системе собственных убеждений обязательно должна присутствовать неполнота? Д. Маккаллох 20 приводит весьма любопытное рассуждение, которое выявляет такую неполноту.

Определим F(k) таким образом: «если k есть числовое значение строки 21, несомненно задающей функцию G(n), определенную для всех целых n, то значение F(k)=G(k)+1. В противном случае F(k)=0». Предположим, что строка между кавычками несомненно задает функцию, определенную для целых чисел, именно саму F(k). Обозначим код этой строки через N. Тогда F(N)=F(N)+1, а это невозможно. Следовательно, от противного доказано, что строка в кавычках не определяет F(k) несомненным образом, и F(N)=0. Противоречие тем самым снимается, но вывод, однако, кажется неправдоподобным: ведь мы описали функцию F(k) несомненно точно для любых значений k! Разрешение этого кажущегося неправдоподобия как раз и состоит в различении несомненной, интуитивно воспринимаемой истинности и логической истинности, следующей из правил рассуждения. Система правил, вполне интуитивно верных, вдруг начинает вести себя самым неинтуитивным образом. Таковы правила математики - соблюдая их, мы вынуждены принимать технически верный вывод, каким бы он ни казался невероятным. Сам результат Геделя - еще более сильный пример того, насколько может логически верный вывод противоречить интуиции: вспомним, как уверены были математики в том, что программа Гильберта близится к успеху, когда Гедель своим доказательством нанес ей смертельный удар 22.

Совершенно естественно, что для математиков, как сообщества, такая склонность человека к «интеллектуальным иллюзиям» интуитивно ясна, и собственные убеждения, как бы сильны они ни были, не служат основанием для признания некоего утверждения истинным. Например, абсолютное большинство математиков убеждено в том, что предположение Гольдбаха верно. Вы обнаружите спектр убеждений от оптимистического «конечно, верно» до осторожного «видимо, верно, но все-таки не доказано»; редко кто скажет, с различной степенью уверенности, будто она неверна. Однако, если кто-нибудь предложит в качестве «доказательства» утверждение о том, что предположение Гольдбаха верно, потому что оно несомненно истинно, такое доказательство принято математическим сообществом не будет: даже если редактор и рецензенты и сами уверены в том, что гипотеза верна, доказательство они все-таки, наперекор интуиции, потребуют.

Каким же именно путем неполнота проникает в логику, в систему рассуждений? Конструируя верные утверждения на основании справедливых правил их вывода, мы неизбежно придем к неполной системе. Казалось бы, ничего не стоит перейти к большей теории, аксиоматизируя ее собственные Геделевы утверждения, а повторять эту процедуру можно сколько угодно. Однако здесь мы опять упираемся в ту же самую «несомненную» истинность этих утверждений. Иногда их истинность не вызывает вопросов, иногда же, как в примере Маккаллоха, эта самая «несомненность» может сыграть с нами злую шутку. Расширяя теорию, мы каждый раз добавляем к ней утверждения, «несомненно» истинные - а, как мы только что увидели, «несомненная» истинность недостаточно для этого сильна, а порой может быть и вовсе иллюзорной.

Когда мы переходим ко все более и более сильным и сложным теориям, мы неизбежно оказываемся на границах познанного, за пределами хорошо известной математики - того, что описано в учебниках, в статьях и монографиях. Покидая эту твердую почву, мы непременно оказываемся там, где расширение теории всегда будет сначала неуверенным предположением, интуитивным ходом мысли, а не механическим действием. Но не следует понимать это как некое обязательное превосходство человеческого ума над вычислительной процедурой, ведь утверждения на этом пути все более и более предположительны, а человеческие ошибки неизбежны. Можно ли построить алгоритм, делающий предположения? Конечно, можно - мы найдем множество таких алгоритмов в любой самообучающейся системе - но это уже уведет нас далеко в сторону от строгого логического формализма и рассмотрения систем, где основным вопросом является неопровержимая логическая выводимость совершенно верных утверждений. Здесь мне только хотелось бы задержать внимание на том, что алгоритмы, роботы и компьютеры вовсе не обязательно действуют «в лоб», хотя такое заблуждение чрезвычайно распространено - а часто и эксплуатируется, например, тем же Р. Пенроузом и Дж. Серлом; вычислительные процедуры тоже умеют «сомневаться», неуверенно принимают решения, порой неправильные, и могут обучаться на ошибках. Разумеется, сходство с человеческим мышлением здесь чрезвычайно поверхностно: «сомнения» и «неуверенность» робота лишь результат нашего восприятия, невольного анимирования сложного процесса с наблюдаемым сложным поведением; на самом же деле, подо всем этим находятся развитые и интересные математические теории.

В конце концов, нам следует признать неполноту математического знания как свойство, ему присущее, а неявное предположение Пенроуза о непосредственной доступности математической «истины» сознанию отвергнуть: человеческая система математических знаний не может быть одновременно непротиворечивой и содержать утверждения о собственной непротиворечивости. Само собой, нам следует согласиться с ним в той части, где он говорит о невозможности формализовать знание в вычислительном устройстве - математическое знание неформализуемо до конца в принципе. Мысленный мир математики так же глубок и неисчерпаем, как и мир реальный.

XV. Практическая вычислимость

Мы уже видим, что значение невычислимости для практического построения моделей вряд ли заметно. Однако, до сих пор мы говорили только об арифметических моделях реальности. Здесь нам стоит несколько отойти от нашей главной темы, чтобы поразмышлять о различных видах вычислимости и невычислимости, и их влиянии на прикладные математические модели.

Любые вычисления, которые мы можем практически произвести, ограничиваются мощностью наших компьютеров, а они способны производить только целочисленные, арифметические вычисления. Конечно, можно представлять вещественные числа с любой, наперед заданной точностью, как целые; в вычислительных алгоритма мы можем работать с числами произвольной длины (или, что то же самое, точности, если говорить о вещественных числах), но, само собой, не можем вычислять бесконечные натуральные или неограниченно точные вещественные числа. Таким образом, перед нами встает очевидный вопрос: достаточно ли арифметики для (практического) моделирования природных процессов, включая сознание, на вычислительных машинах?

Возьмем обычную динамику Ньютона, которую проходят в школе. Уравнения Ньютона записываются в вещественных числах, например, в уравнении второго закона F=ma и сила F, и масса m могут принимать любые нецелые значения. Можно ли округлять эти вещественные числа до некоторой точности, так, чтобы представлять их целыми числами, и при этом получать приблизительно верное описание механических явлений? Безусловно да, и, более того, начиная с определенной выбранной точности, мы будем вынуждены включать в модель все больший и больший фрагмент реальности. Если мы хотим рассчитать падение камня на поверхность Луны - рассмотрим лунный пример, чтобы забыть о сопротивлении воздуха - с тремя значащими цифрами, нам будет достаточно записать уравнение закона всемирного тяготения для масс Луны и камня. Если мы захотим 10 значащих цифр, нам непременно придется учесть тяготение Земли. Для 20 знаков нам придется учесть Солнце и планеты, при 40 знаках важно уже тяготение звезд… Не говоря уже о том, что при такой точности границы Луны и камня тоже перестают быть очевидно определенными, и расстояние между центрами тяжести камня и Луны перестает быть понятно определимым, да и атмосфера на Луне все-таки имеется.

С какой точностью можно представить всю Вселенную в классических теориях? Наименьшее расстояния, которое вообще имеет смысл физически - планковская длина, 10−35 м. Физика пока не описывает явлений, происходящих в меньших масштабах. Верхняя оценка размера Вселенной составляет 180  миллиардов световых лет, число порядка 1027 м. Получается, что достаточно «всего лишь» 62 десятичных знаков, чтобы выразить размер Вселенной целым числом планковских длин.

Таким образом, целочисленных вычислений достаточно для сегодняшних физических моделей мира. Но насколько хороши эти модели для описания такого устройства, как нервная система? Важны ли те самые процессы, происходящие на длинах меньше планковской, о которых мы еще ничего не знаем? По всей видимости, ответ на этот вопрос отрицательный. Явлений в нейронах, для описания которых необходимо было бы привлекать даже квантовую механику, на сегодняшний день не обнаружено 23. Время от времени «квантово-нейронные» гипотезы возникают, однако, никакого экспериментального основания под ними никогда не было. Если даже такие явления и будут открыты, фундаментального переворота в понимании функционирования нервной системы они, скорее всего, не вызовут.

Процессы, происходящие в нервной системе, в основном хаотические. Как хорошо известно, в моделировании таких процессов малые причины вызывают большие последствия. Насколько важна здесь ограниченная точность наших модельных средств? Не вдаваясь в количественные оценки, мы можем ограничиться здесь простым качественным рассуждением: 35 знаков достаточно для выражения размера самого длинного нейрона в планковских длинах. Дальше этой границы лежит неопределенность, где, если модель разойдется с реальностью, то не по причине хаотической расходимости, а по причине более фундаментальной, физической. Таки образом, этот вопрос сводится к предыдущему, и специфического ограничения целочисленное моделирование здесь не вносит.

Суммируя вышесказанное, «арифметичность» вычислительных машин не накладывает существенных ограничений на физические вычислительные модели.

Наихудшее практическое ограничение вычислительных машин происходит от их существования во времени и потребности в энергии - свойствах, неважных для их идеального математического прототипа, машины Тьюринга. Существует большое множество вычислительных задач, где объем вычислений, необходимых для расчета модели, растет экспоненциально с ее размером. Хотя развитие вычислительной техники и позволяет решать многие из подобных задач, которые еще несколько лет назад полагались неразрешимыми на практике именно из-за громадного необходимого объема вычислений, но, например, о моделировании взаимодействия всего лишь нескольких нейронов на уровне составляющих их молекул не может идти и речи - ни сегодня, ни в обозримом будущем.

Но и здесь полагаться на одну лишь «дурную силу» компьютера будет ошибкой. Хотя иногда подобные модели и ценны, но все же они не заменяют собой понимания явлений. Именно этого понимания нам так не хватает в анализе сложных систем с хаотической динамикой, к которым относится и сознание. Здесь стоит вспомнить слова замечательного математика Жака Адамара: «Любое математическое рассуждение, каким бы оно ни было сложным, должно представляться мне в виде единой сущности. Покуда мне не удается схватить его как одну глобальную идею, я не чувствую настоящего понимания» (Hadamard 1954). Хотя прикладные, вычислительные модели нервных процессов достаточно точны, фундаментальная математика сложности только начинает появляться. Так же как Ньютонова динамика потребовала дифференциального анализа, как общая теория относительности Эйнштейна подстегнула развитие тензорного исчисления, так и потребность в понимании сложных природных процессов, к которым относится и сознание, несомненно придает импульс разработке новых фундаментальных математических теорий - этого тончайшего инструмента настоящего понимания.

1 
2 
3 
4 
5 
6 
 7

__________________________________
⇧ 18. R. Penrose. Beyond the Doubting of a Shadow. Psyche, 2(23), January 1996; 3.2.

⇧ 19. Sound.

⇧ 20. D. McCullough. Can Humans Escape Gödel? Psyche 2(4), April 1995

⇧ 21. Любую строку можно отобразить на натуральное число: например, закодировать ее в виде последовательности байт в произвольной однозначной символьной кодировке.

⇧ 22. Здесь интересно задуматься о том, насколько человеческий аппарат восприятия подвержен иллюзиям, например, зрительным. Символическое сознание возникло не на голом месте - это эволюционно относительно недавнее приобретение. Механизмы мышления работают в том же самом физическом субстрате мозга, что эволюционировал сотни миллионов лет, развиваясь под давлением совершенно иных, нежели необходимость поразмыслить, факторов. К примеру, язык, основа символического мышления, развился адаптацией коммуникационных систем животного мира (Deacon 1997; Lieberman 2002). Имеют ли «интеллектуальные иллюзии» ту же природу, что и сенсорные? Это один из открытых и чрезвычайно интересный вопрос нейрокогнитивной науки.

⇧ 23. Единственное неклассическое явление, которое должно учитываться - поглощение фотона в рецепторе сетчатки. См также: S. Klein. Is Quantum Mechanics Relevant To Understanding Consciousness? Psyche 2(4), April 1995.