Я несколько раз пытался читать Вашу статью на эту тему и сейчас посмотрел лекцию, но у меня по-прежнему ощущение, что я ничего не понимаю. Я был бы благодарен, если бы Вы могли немного разъяснить. Остановлюсь для простоты на опыте Штерна-Герлаха. Там, где ниже я ссылаюсь на уравнение (20), -- имеется в виду уравнение из Вашей статьи http://arxiv.org/abs/1303.4574... )
Решение, о котором Вы говорите, не соответствует минимуму; оно зависит от тета, если его дополнительно минимизировать по тета, получится ноль. Конечно, бессмысленно выкалывать точку из целого континуума функций. Сначала требуется, чтобы I=const, рассматриваются только такие решения, потом из них выбрасывается тривиальное, отвечающее P=const. Физический смысл математических требований - дело всегда неизбежно субъективное, кому-то убедительно, кому-то нет, но, я бы сказал, недооптимизированное P, мало отличающееся от константы - это плохо выполненный эксперимент, который, если его хорошо выполнить, не принесет никакой информации. То есть, мы ищем все локальные минимумы. Сначала. Потом выбираем из этих минимумов (только из них!) тот, для которого I минимально, отбрасывая случай I=0. Обоснование можно попытаться дать такое. Вот посмотрите, как выводится уравнение Шредингера. Там добавляется второй функционал с весом лямбда. При любом конечном, но сколь угодно малом лямбда, тривиальных решений с пси=const просто нет, и мы ничего не
( ... )
But why does constant I_F correspond to a minimum in any sense, whether global or local? If we start with our solution E=\cos\theta, for which I_F=1, we can always perturb it slightly so that I_F would be uniformly smaller than 1 for all values of \theta. (Though I_F then won't be constant, of course.)
So, I would understand if I_F=constant would be taken as a fundamental requirement, but I do not see how it can emerge from any sort of minimization. The condition that would kill the low harmonics of E(\theta) must be some ``effectiveness'', which must be different from ``robustness''. Very likely, this is mentioned in the text, but I missed it.
To give a physical example, we could take E(\theta) = \eta \cos\theta with some constant \eta<1. This, in fact, gives I_F<1 for all \theta. Physically, it corresponds to taking the electron in a mixed state with spin density matrix
( ... )
У нас есть более детальная работа: http://arxiv.org/abs/1506.03373 Там явно обсуждается связь нашей оптимизации с условием, что мы имеем дело с чистым состоянием. Исходно нет у нас никакого гильбертова пространства. Мы хотим понять, откуда оно берется.
Про репараметризацию я не понял. Перейти к другим переменным, конечно, ничего не стоит, именно так этот простой дифур и решается. Введем E_12= cos khi, тогда у нас получается I_F = (d khi/d theta)^2. Дальше нужно наложить какое-то требование, и тут разным людям кажется очевидным разное. В первом варианте статьи было такое рассуждение. Рассмотрим оптимизацию в среднем, то есть, потребуем минимум интеграла от I_F по тета. Тогда уравнения Эйлера немедленно дают (это по сути принцип наименьшего действия для свободного одномерного вращения) khi = const* theta+ something. i_F = const следует из этого решения.
Comments 15
Reply
Reply
Reply
Reply
But why does constant I_F correspond to a minimum in any sense, whether global or local? If we start with our solution E=\cos\theta, for which I_F=1, we can always perturb it slightly so that I_F would be uniformly smaller than 1 for all values of \theta. (Though I_F then won't be constant, of course.)
So, I would understand if I_F=constant would be taken as a fundamental requirement, but I do not see how it can emerge from any sort of minimization. The condition that would kill the low harmonics of E(\theta) must be some ``effectiveness'', which must be different from ``robustness''. Very likely, this is mentioned in the text, but I missed it.
To give a physical example, we could take E(\theta) = \eta \cos\theta with some constant \eta<1. This, in fact, gives I_F<1 for all \theta. Physically, it corresponds to taking the electron in a mixed state with spin density matrix ( ... )
Reply
Про репараметризацию я не понял. Перейти к другим переменным, конечно, ничего не стоит, именно так этот простой дифур и решается. Введем E_12= cos khi, тогда у нас получается I_F = (d khi/d theta)^2. Дальше нужно наложить какое-то требование, и тут разным людям кажется очевидным разное. В первом варианте статьи было такое рассуждение. Рассмотрим оптимизацию в среднем, то есть, потребуем минимум интеграла от I_F по тета. Тогда уравнения Эйлера немедленно дают (это по сути принцип наименьшего действия для свободного одномерного вращения) khi = const* theta+ something. i_F = const следует из этого решения.
Reply
Leave a comment