Познание алгебраической системы изнутри
или "как молоды мы были".
Впрочем, особо и стыдиться нечего. Вполне себе философия.
Цель этого текста - предоставить некий язык, на котором можно более четко поставить и обсуждать вопросы, возникающие в теории познания. Как и всякий язык, он груб, и об этом не следует забывать.
Пусть (A,Σ) - алгебраическая система. Пока мы не будем налагать ограничений на ее сигнатуру; если что понадобится, можем потом потребовать.
Процесс познания этой системы "изнутри" должен опираться на некоторый набор утверждений, истинность или ложность которых известна. Можно представить себе оракула, который о любом утверждении сообщает "да", "нет" или "не знаю". Назовем те утверждения, которые он "знает", фактами и обозначим их множество через F. Естественное требование: F включает в себя F0 - множество всех утверждений, не использующих переменные.
В каждый момент процесса познания известна лишь часть фактов, и сам процесс состоит в (управляемом) пополнении множества известных фактов, и в формулировании на их основе некоторых гипотез. О механизмах этого процесса поговорим потом. Сначала же обсудим одну тонкость, которая здесь обнаруживается.
Познающий субъект знает лишь конечное количество фактов, однако для успешного познания он должен представлять себе каким-то образом, утверждения какого вида являются фактами - чтобы при попытке подтвердить или опровергнуть гипотезу искать следствия из нее, истинность которых доступна проверке. Это есть некоторое метазнание, необходимое для процесса познания (аналог врожденного умения пользоваться органами чувств). Можно, конечно, попытаться представить себе, каков будет процесс познания, если это метазнание отсутствует - но оставим это. В дальнейшем мы будем предполагать, что множество F имеет какую-то регулярную структуру, и познающий субъект is aware of this structure.
Как же влияет на процесс познания выбор множества F ?
Первый, и самый простой, случай: F = F0.
Все утверждения распадаются на два класса: практически полезные - из которых может быть выведен какой-нибудь факт (например, (∀x)(x=x) ), и практически бесполезные - из которых нельзя вывести никакого факта (например, (∃х)(всеблаг(х) & всемогущ(х) & вездесущ(х)) ). Слово "практически" здесь существенно. Впоследствии мы увидим, что практически бесполезные утверждения могут быть полезны, и даже необходимы, для других целей.
Если F = F0, то полезными являются только ∀-утверждения. Этот случай, может, и удобен для анализа, но слишком груб как аналогия. В действительности всегда есть утверждения, истинность которых нам дана a priori - например, некоторые основные свойства нашего мира, закодированные в структуре человеческого тела и мозга.
Поэтому мы приходим ко второму случаю: к F0 добавлено некоторое конечное множество истинных в A утверждений - аксиом, и познающему субъекту уже известна их истинность. Тут помимо "экспериментальных исследований" возможны и "теоретические" - вывод логическими средствами новых утверждений из уже известных, без обращения к новым фактам. Если в первом случае абсолютно истинными, но не тавтологическими, утверждениями (синтетические априорные суждения, по Канту) были только факты, то здесь это не так.
На сладкое мы рассмотрим третий случай. Пусть F - множество ∀-формул. Тут уже процесс познания и механизмы управления им будут в корне отличны от человеческих. Формально это выражается, например, в том, что любое утверждение практически полезно - из любого можно вывести факт. Из (∀x)(∃y)P(x,y) можно, например, вывести ~(∀xy)~P(x,y) , или ~((∀y)~P(a,y)) , где a - любая константа. А интуитивно: представьте себе существ, непосредственно воспринимающих истинность всеобщих утверждений, - так же непосредственно, как мы - цвет предметов. То, что мы считаем конечным продуктом познания, для них - исходная точка. Какие возможности для фантазии и фантастов! (Кстати, это уже встречалось у фантастов: С. Лем, "Формула Лимфатера".)
Скажем совсем немножко о том, как проходит процесс познания. Пусть, для простоты, F = F0.
В каждый момент процесса мы имеем конечный набор уже известных фактов и набор утверждений, полезных или бесполезных, истинных или ложных, согласующихся с фактами или противоречащих им. Все они могут оказаться полезными в дальнейшем - но не практически, а эвристически полезными. Например, если мы из имеющихся фактов подметим (бесполезное) утверждение (∀x)(∃y)P(x,y), то это может натолкнуть нас на поиски утверждения (уже практически полезного) вида (∀x)P(x,f(x)). Если некоторое практически полезное полезное утверждение (∀x)P(x) соответствует не всем фактам, но многим (скажем, противоречит лишь некоторым специально полученным фактам), то можно поискать ослабление вида (∀x)P(x)ÚQ(x). И так далее.
Таким образом, мы видим, что при изучении процесса познания нельзя ограничивать себя только практически полезными утверждениями, и даже только соответствующими фактам.
Еще одно замечание. Существует склонность причислять "наиболее надежные" из не опровергнутых фактами утверждений к аксиомам (например, арифметика натуральных чисел, которая давным-давно выведена из опыта). Поэтому в действительности случай F = F0 в чистом виде никогда не встречается, а всегда мы имеем второй случай.
Следующее, о чем мы попробуем задуматься, - перевод на наш язык традиционных утверждений типа "мир познаваем" и "абсолютная истина недостижима". Мы полагаем F = F0.
"Абсолютная истина недостижима".
Один возможный перевод: "Никакое истинное утверждение (кроме фактов) никогда не будет строго доказано" - но это в нашем случае просто трюизм. Однако существует и второй перевод: "Все практически полезные утверждения ложны". Как он ни парадоксально звучит, но он вполне приемлем. Ведь это означает, что любое утверждение вида (∃y)P(y) истинно, что в обратном переводе дает "всякое бывает" или даже "мир неисчерпаем".
"Мир познаваем".
Вообще говоря, это утверждение заслуживает отдельного рассмотрения, поэтому будем тезисны.
Утверждение о сигнатуре: каждый элемент системы A выразим в ее сигнатуре. Например, для любого элемента есть константа, ему равная. Этот перевод приемлем, так как непосредственно доступны только утверждения без переменных, то есть только утверждения о выразимых объектах A.
Утверждение о метазнании: наши представления о множестве F соответствуют действительности.
Утверждение о процессе: цель процесса познания достижима. Тут мы встречаемся с еще не формализованным понятием "цель процесса познания". Выражение его в наших терминах - задача на будущее.
Утверждение о законосообразности: в любой конечнопорожденной подсистеме системы A имеются истинные практически полезные утверждения (может, условие конечной порожденности надо на что-то заменить).
Элиминация квантора (∃): для всякого локально истинного утверждения вида (∀x)(∃y)P(x,y) можно найти локально истинное утверждение вида (∀x)P(x,f(x)).
Видимо, можно продолжать и дальше.
Здесь мы остановимся, ибо дальнейшее продвижение требует серьезности и основательности, которых мы всячески старались избежать.
Впрочем, особо и стыдиться нечего. Вполне себе философия.
Цель этого текста - предоставить некий язык, на котором можно более четко поставить и обсуждать вопросы, возникающие в теории познания. Как и всякий язык, он груб, и об этом не следует забывать.
Пусть (A,Σ) - алгебраическая система. Пока мы не будем налагать ограничений на ее сигнатуру; если что понадобится, можем потом потребовать.
Процесс познания этой системы "изнутри" должен опираться на некоторый набор утверждений, истинность или ложность которых известна. Можно представить себе оракула, который о любом утверждении сообщает "да", "нет" или "не знаю". Назовем те утверждения, которые он "знает", фактами и обозначим их множество через F. Естественное требование: F включает в себя F0 - множество всех утверждений, не использующих переменные.
В каждый момент процесса познания известна лишь часть фактов, и сам процесс состоит в (управляемом) пополнении множества известных фактов, и в формулировании на их основе некоторых гипотез. О механизмах этого процесса поговорим потом. Сначала же обсудим одну тонкость, которая здесь обнаруживается.
Познающий субъект знает лишь конечное количество фактов, однако для успешного познания он должен представлять себе каким-то образом, утверждения какого вида являются фактами - чтобы при попытке подтвердить или опровергнуть гипотезу искать следствия из нее, истинность которых доступна проверке. Это есть некоторое метазнание, необходимое для процесса познания (аналог врожденного умения пользоваться органами чувств). Можно, конечно, попытаться представить себе, каков будет процесс познания, если это метазнание отсутствует - но оставим это. В дальнейшем мы будем предполагать, что множество F имеет какую-то регулярную структуру, и познающий субъект is aware of this structure.
Как же влияет на процесс познания выбор множества F ?
Первый, и самый простой, случай: F = F0.
Все утверждения распадаются на два класса: практически полезные - из которых может быть выведен какой-нибудь факт (например, (∀x)(x=x) ), и практически бесполезные - из которых нельзя вывести никакого факта (например, (∃х)(всеблаг(х) & всемогущ(х) & вездесущ(х)) ). Слово "практически" здесь существенно. Впоследствии мы увидим, что практически бесполезные утверждения могут быть полезны, и даже необходимы, для других целей.
Если F = F0, то полезными являются только ∀-утверждения. Этот случай, может, и удобен для анализа, но слишком груб как аналогия. В действительности всегда есть утверждения, истинность которых нам дана a priori - например, некоторые основные свойства нашего мира, закодированные в структуре человеческого тела и мозга.
Поэтому мы приходим ко второму случаю: к F0 добавлено некоторое конечное множество истинных в A утверждений - аксиом, и познающему субъекту уже известна их истинность. Тут помимо "экспериментальных исследований" возможны и "теоретические" - вывод логическими средствами новых утверждений из уже известных, без обращения к новым фактам. Если в первом случае абсолютно истинными, но не тавтологическими, утверждениями (синтетические априорные суждения, по Канту) были только факты, то здесь это не так.
На сладкое мы рассмотрим третий случай. Пусть F - множество ∀-формул. Тут уже процесс познания и механизмы управления им будут в корне отличны от человеческих. Формально это выражается, например, в том, что любое утверждение практически полезно - из любого можно вывести факт. Из (∀x)(∃y)P(x,y) можно, например, вывести ~(∀xy)~P(x,y) , или ~((∀y)~P(a,y)) , где a - любая константа. А интуитивно: представьте себе существ, непосредственно воспринимающих истинность всеобщих утверждений, - так же непосредственно, как мы - цвет предметов. То, что мы считаем конечным продуктом познания, для них - исходная точка. Какие возможности для фантазии и фантастов! (Кстати, это уже встречалось у фантастов: С. Лем, "Формула Лимфатера".)
Скажем совсем немножко о том, как проходит процесс познания. Пусть, для простоты, F = F0.
В каждый момент процесса мы имеем конечный набор уже известных фактов и набор утверждений, полезных или бесполезных, истинных или ложных, согласующихся с фактами или противоречащих им. Все они могут оказаться полезными в дальнейшем - но не практически, а эвристически полезными. Например, если мы из имеющихся фактов подметим (бесполезное) утверждение (∀x)(∃y)P(x,y), то это может натолкнуть нас на поиски утверждения (уже практически полезного) вида (∀x)P(x,f(x)). Если некоторое практически полезное полезное утверждение (∀x)P(x) соответствует не всем фактам, но многим (скажем, противоречит лишь некоторым специально полученным фактам), то можно поискать ослабление вида (∀x)P(x)ÚQ(x). И так далее.
Таким образом, мы видим, что при изучении процесса познания нельзя ограничивать себя только практически полезными утверждениями, и даже только соответствующими фактам.
Еще одно замечание. Существует склонность причислять "наиболее надежные" из не опровергнутых фактами утверждений к аксиомам (например, арифметика натуральных чисел, которая давным-давно выведена из опыта). Поэтому в действительности случай F = F0 в чистом виде никогда не встречается, а всегда мы имеем второй случай.
Следующее, о чем мы попробуем задуматься, - перевод на наш язык традиционных утверждений типа "мир познаваем" и "абсолютная истина недостижима". Мы полагаем F = F0.
"Абсолютная истина недостижима".
Один возможный перевод: "Никакое истинное утверждение (кроме фактов) никогда не будет строго доказано" - но это в нашем случае просто трюизм. Однако существует и второй перевод: "Все практически полезные утверждения ложны". Как он ни парадоксально звучит, но он вполне приемлем. Ведь это означает, что любое утверждение вида (∃y)P(y) истинно, что в обратном переводе дает "всякое бывает" или даже "мир неисчерпаем".
"Мир познаваем".
Вообще говоря, это утверждение заслуживает отдельного рассмотрения, поэтому будем тезисны.
Утверждение о сигнатуре: каждый элемент системы A выразим в ее сигнатуре. Например, для любого элемента есть константа, ему равная. Этот перевод приемлем, так как непосредственно доступны только утверждения без переменных, то есть только утверждения о выразимых объектах A.
Утверждение о метазнании: наши представления о множестве F соответствуют действительности.
Утверждение о процессе: цель процесса познания достижима. Тут мы встречаемся с еще не формализованным понятием "цель процесса познания". Выражение его в наших терминах - задача на будущее.
Утверждение о законосообразности: в любой конечнопорожденной подсистеме системы A имеются истинные практически полезные утверждения (может, условие конечной порожденности надо на что-то заменить).
Элиминация квантора (∃): для всякого локально истинного утверждения вида (∀x)(∃y)P(x,y) можно найти локально истинное утверждение вида (∀x)P(x,f(x)).
Видимо, можно продолжать и дальше.
Здесь мы остановимся, ибо дальнейшее продвижение требует серьезности и основательности, которых мы всячески старались избежать.