Наука гитик
Для любителей комбинаторных словесных игр - новый способ развлечься на даче, на пляже, на работе.ГИТИКОЙ назовем предложение, состоящее из n слов, каждое из которых состоит из n+1 буквы, так что:
а) в предложении встречается n(n+1)/2 букв, каждая ровно по 2 раза;
б) для любой пары слов (возможно, одинаковых, а такую пару можно выбрать как раз n(n+1)/2 способами) найдется ровно одна пара одинаковых букв, лежащих в этой паре.
Классическим примером гитики является знаменитая фраза из карточного фокуса:
МНОГО УМЕЕТ НАУКА ГИТИК
Замечу, что именно выполнение свойств а) и б) и сделало эту фразу столь знаменитой. К сожалению, как обычно, встречаются люди, не понимающие красоты. Они воспринимают эту фразу как заклинание и используют ее всуе. Например: "Наука знает очень много гитик" (не будем называть автора). Это - просто набор слов.
Почему именно"гитик", ясно - это наиболее благозвучное буквосочетание, состоящее из букв г, т, к, встречавшихся в остальных словах, и двух одинаковых гласных. "Ыгыкт" звучит хуже.
Слово "гитик", конечно, придумано, и ничего не обозначает (по крайней мере до этого моего поста :)). Ну, а раз место вакантно, я его займу - по-моему, естественным образом.
Отметим простое свойство: при перестановке слов гитика остается гитикой. Поэтому порядок слов не важен - кто-то знает фразу, например, в том виде, как я написал выше, а кто-то в виде НАУКА УМЕЕТ МНОГО ГИТИК.
Собственно,
Игра 1 (простая). Составление гитик для разных n.
Реклама. Раньше я занимался обычными гитиками, и это убивало у меня половину рабочего дня. Теперь я занимаюсь супергитиками, и это убивает у меня весь рабочий день!
СУПЕРГИТИКОЙ назовем гитику (см. определение выше), для которой выполнено также и третье свойство:
в) запишем слова одно под другим в виде таблицы n*(n+1). В каждой паре различных столбцов в этой таблице (а такую пару тоже можно выбрать как раз n(n+1)/2 способами!) встречается ровно одна пара одинаковых букв.
Разумеется, вместо супергитик (или просто гитик) можно рассматривать двойственные супергитики (гитики): слов n+1, букв в словах по n, а свойства б) и в) для строк и столбцов таблицы меняются местами.
Вот, например, супергитика, которая мне пришла в голову при минимальных затратах времени для n = 3:
СОУС
ОЛИЛ
МУМИ. - (происшествие на муми-кухне).
Супергитика:
ОКО
КАА. - (кошмар бандерлогов)
Двойственные супергитики:
ОН
НЕ
О.Е. - (причина отказа гусару Пыхтину)
АЛ
ЛИ
АИ? - (ответ нет и для шампанского, и для бензина)
АС
СУ,
АУ! - (ВВС России требуются профессионалы)
К сожалению, классическая гитика
МНОГО
УМЕЕТ
НАУКА
ГИТИК
супергитикой не является, хотя и близка к ней. Но первый и второй столбец, например, имеют по две одинаковые буквы, в то время как второй и третий столбцы вообще не имеют одинаковых букв.
Собственно:
Игра 2 (продвинутая). Составьте свои супергитики.
Игра 3 (для любителей экстремального отдыха). Поставьте себе дополнительные условия. К сожалению, сделать супергитику-палиндром невозможно. Ну, например, составьте супергитику, дающую осмысленный текст как по строкам, так и по столбцам.
Математические вопросы.
Для определенности, будем рассматривать супергитики (гитики), а не двойственные задачи.
Легко понять, что можно построить супергитику при любых n. Например, можно продолжать таблицу:
0 0 1 3 6
1 2 2 4 7
3 4 5 5 8
6 7 8 9 9
При перестановке любых двух строк и любых двух столбцов любая супергитика остается, разумеется, супергитикой.
Задача 1. Верно ли, что все супергитики (с точностью до переобозначения символов) могут быть получены друг из друга с помощью некоторого числа перестановок строк и столбцов?
Задача 2. При каких еще n, m, k, l (кроме m = n+1, k = l = 2) можно составить аналоги гитик: предложения из n слов по m букв, так, чтобы в предложении каждой буквы было по k штук, и в каждом наборе из l слов (в том числе одинаковых) ровно однажды встречалось k одинаковых букв.
Задача 3. Сформулировать самостоятельно аналог задачи 2 для супергитик и решить ее. :)
а) в предложении встречается n(n+1)/2 букв, каждая ровно по 2 раза;
б) для любой пары слов (возможно, одинаковых, а такую пару можно выбрать как раз n(n+1)/2 способами) найдется ровно одна пара одинаковых букв, лежащих в этой паре.
Классическим примером гитики является знаменитая фраза из карточного фокуса:
МНОГО УМЕЕТ НАУКА ГИТИК
Замечу, что именно выполнение свойств а) и б) и сделало эту фразу столь знаменитой. К сожалению, как обычно, встречаются люди, не понимающие красоты. Они воспринимают эту фразу как заклинание и используют ее всуе. Например: "Наука знает очень много гитик" (не будем называть автора). Это - просто набор слов.
Почему именно"гитик", ясно - это наиболее благозвучное буквосочетание, состоящее из букв г, т, к, встречавшихся в остальных словах, и двух одинаковых гласных. "Ыгыкт" звучит хуже.
Слово "гитик", конечно, придумано, и ничего не обозначает (по крайней мере до этого моего поста :)). Ну, а раз место вакантно, я его займу - по-моему, естественным образом.
Отметим простое свойство: при перестановке слов гитика остается гитикой. Поэтому порядок слов не важен - кто-то знает фразу, например, в том виде, как я написал выше, а кто-то в виде НАУКА УМЕЕТ МНОГО ГИТИК.
Собственно,
Игра 1 (простая). Составление гитик для разных n.
Реклама. Раньше я занимался обычными гитиками, и это убивало у меня половину рабочего дня. Теперь я занимаюсь супергитиками, и это убивает у меня весь рабочий день!
СУПЕРГИТИКОЙ назовем гитику (см. определение выше), для которой выполнено также и третье свойство:
в) запишем слова одно под другим в виде таблицы n*(n+1). В каждой паре различных столбцов в этой таблице (а такую пару тоже можно выбрать как раз n(n+1)/2 способами!) встречается ровно одна пара одинаковых букв.
Разумеется, вместо супергитик (или просто гитик) можно рассматривать двойственные супергитики (гитики): слов n+1, букв в словах по n, а свойства б) и в) для строк и столбцов таблицы меняются местами.
Вот, например, супергитика, которая мне пришла в голову при минимальных затратах времени для n = 3:
СОУС
ОЛИЛ
МУМИ. - (происшествие на муми-кухне).
Супергитика:
ОКО
КАА. - (кошмар бандерлогов)
Двойственные супергитики:
ОН
НЕ
О.Е. - (причина отказа гусару Пыхтину)
АЛ
ЛИ
АИ? - (ответ нет и для шампанского, и для бензина)
АС
СУ,
АУ! - (ВВС России требуются профессионалы)
К сожалению, классическая гитика
МНОГО
УМЕЕТ
НАУКА
ГИТИК
супергитикой не является, хотя и близка к ней. Но первый и второй столбец, например, имеют по две одинаковые буквы, в то время как второй и третий столбцы вообще не имеют одинаковых букв.
Собственно:
Игра 2 (продвинутая). Составьте свои супергитики.
Игра 3 (для любителей экстремального отдыха). Поставьте себе дополнительные условия. К сожалению, сделать супергитику-палиндром невозможно. Ну, например, составьте супергитику, дающую осмысленный текст как по строкам, так и по столбцам.
Математические вопросы.
Для определенности, будем рассматривать супергитики (гитики), а не двойственные задачи.
Легко понять, что можно построить супергитику при любых n. Например, можно продолжать таблицу:
0 0 1 3 6
1 2 2 4 7
3 4 5 5 8
6 7 8 9 9
При перестановке любых двух строк и любых двух столбцов любая супергитика остается, разумеется, супергитикой.
Задача 1. Верно ли, что все супергитики (с точностью до переобозначения символов) могут быть получены друг из друга с помощью некоторого числа перестановок строк и столбцов?
Задача 2. При каких еще n, m, k, l (кроме m = n+1, k = l = 2) можно составить аналоги гитик: предложения из n слов по m букв, так, чтобы в предложении каждой буквы было по k штук, и в каждом наборе из l слов (в том числе одинаковых) ровно однажды встречалось k одинаковых букв.
Задача 3. Сформулировать самостоятельно аналог задачи 2 для супергитик и решить ее. :)