Тема №4.1: Моделирование численности бактерий (популяций)
Каталог тем по моделированию здесь: Моделирование на ЭВМ: Вступление и каталог.
1. Постановка задачи
В первом подходе считаем, что бактерии постоянно делятся через определенный промежуток времени.
Это можно описать формулой:
y' = a*y,
где a - коэффичиент, определяющий интенсивность роста, y - численность (масса).
Решением данного уравнения будет:
y = exp(a*t)
Понятно, что эта формула не является отражением реальных процессов, так как не учитывает смертность (в том числе от истощения запасов пищи),
зависимость деления от температурных колебаний, ограниченность жизненного пространства и так далее.
Обобщенная (но тоже упрощенная) модель будет выглядеть так:
y' = a*y - b*y*y
Проводим предварительный анализ этого уравнения:
- с увеличением числености бактерий смертность возрастает. То есть b*y - это коэффициент смертоности
- при y. стремящимся к нулю, получаем первую формулу
- при y. стремящимся к a/b, получаем y' = 0, то есть численность не изменяется.
Можно вспомнить программу-игру «Жизнь» (Conway's Game of Life) из первой темы и попробовать там воспроизвести все три случая.
2. Составление алгоритма/плана заполнения электронной таблицы
"Переводим" последнее уравнение в дискретный вид (применяем метод Эйлера), составляем алгоритм/программу или плана заполнения электронной таблицы.
3. Самостоятельная работа учащихся (по индивидуальным заданиям). Построение как графиков, так и визуальной модели.
Опыт 1
Дано: y(0) = 50, b = 0.001
Как будет меняться график зависимости численности от времени при различных значениях a (0.5 < a < 2.5)?
С чем это связано?
Провести анализ разных графиков и найти критическое значение коэффициента a.
Опыт 2
Дано: a = 1, b = 0.001
При каком наименьшем значении y(0) бактерии выживут?
Какое может быть наибольшее значение b?
P.S. Пригодна ли данная модель для вирусов?