Истощение. Добавим к Ланчестеру.
Разговор про уравнения Ланчестера у нас уже был. Кто интересуется глубже, советую почитать "Торадицею", там лучшее изложение математики этого дела. Лучше чем в русской, английской и даже немецкой вики. Скажем, ни в одной из вик, кроме "Торадицеи" не дано общее решение.
Ну да ладно. Есть, однако, одна вещь, которая меня в этих уравнениях напрягала - это "уравнения боя", а не войны. В них нет пополнений. Они описывают скорость истребления армий сошедшихся на поле боя в позиционной войне. Но при этом, армии пополнения не получают. На самом деле модифицировать уравнения Ланчестера для случая равномерных пополнений довольно нетрудно. Нужно просто перейти от системы однородных уравнений к неоднородным. Решается подобные системы настолько легко, что есть даже онлайн решалка для них. Однако, видимо никому это не было интересно настолько, чтобы решить, и выложить решение. Или посчитали слишком тривиальным. Может. конечно, если специально поискать, оно найдётся, но самому решить быстрее. Вот что выйдет:
Здесь A(t) и B(t) - функции численности армий сторон в каждый момент времени; a и b - скорость пополнения сторон A и B соответственно.
Замечу, что в уравнениях Ланчестера обычно присутствуют коэффициенты "огневой мощи" - α и β. Собственно, "физический смысл" уравнений как раз в том, что превосходство противника в численности компенсируется квадратом превосходства "огневой мощи". То есть вот если унтерменшей вдвое больше, чем уберменшей, то чтобы выйти на ничью каждому уберменшу в единицу времени нужно убивать вчетверо больше унтерменшей, чем унтерменшу - уберменшей.
Однако, можно оперировать приведённой численностью. Если каждый уберменш в единицу времени убивает вдвое больше унтерменшей, чем каждый унтерменш - уберменшей, то можно просто считать одного уберменша за 1,4142... унтерменша, и коэффициенты из уравнений убрираются. Подбором единиц измерения коэффициент k из приведённых уравнений Ланчестера в "Торадицее" тоже можно убрать.
"Уравнения с пополнением" решены именно в таком подходе, чтоб не затуманивать суть влияния пополнений. Видно, что без пополнений (a и b равны нулю), решения вырождаются в решения уравнений Ланчестера. При ненулевых скоростях пополнения, ноль фазового пространства сдвигается в точку с координатами (b,a). То есть решением будет то же семейство гипербол, но со сдвинутым седлом:
На этом графике по горизонтали - численность армии A, по вертикали - B. Армия A получает 30 единиц пополнения в единицу времени, а армия B - вдвое больше. Читается слева направо и сверху вниз. Скажем, если война началась при 100 A (правая граница области графика) и 60 B, то A уничтожат B в ноль, при этом численность их армии сперва упадёт до 86, а потом восстановится обратно до 100. Если же у B в начале войны 75 единиц, а не 60, то выигрывает уже B, истребляя A в ноль, и наращивая к концу войны численность армии до 93 единиц. При 70 решение выходит ничейное.
Как видим, простой сдвиг седловой точки сильно меняет характер решения. Вместо монотонных фазовых траекторий решения обычных уравнений Ланчестера, мы получаем траектории проходящие через минимум. Численность обеих армий сперва падает - потери больше пополнений, а затем армия будущего победителя начинает расти, за счёт того, что подходящие пополнения начинают превышать потери.
Меняется и характер "ничейного решения" (красная линия на графике). Если для уравнений Ланчестера ничьёй была ситуация взаимного истребления обеих армий, то в "уравнениях с пополнением" ничейная ситуация это "окопы Первой мировой" - численности армий стабилизируются на определённом уровне, а подходящие пополнения взаимоистребляются. Время войны и сумма потерь уходят в бесконечность.
Это можно легко представить - допустим армия A (англичане) имеет численность 30 единиц, и получает 60 единиц пополнения за единицу времени (назовём её "месяц"). А армия B (боши) имеет численность 60 единиц и получает 30 единиц пополнения в месяц. Каждая единица англичан за месяц истребляет единцу бошей, и наоборот. За месяц англичане получат 60 единиц пополнения, но потеряют 60 единиц от огня бошей. У них так и останется 30. Боши получат 30 единиц пополнения, но потеряют 30 единиц от огня англичан. И тоже останутся при своих 60. И так каждый месяц.
Ну да ладно. Есть, однако, одна вещь, которая меня в этих уравнениях напрягала - это "уравнения боя", а не войны. В них нет пополнений. Они описывают скорость истребления армий сошедшихся на поле боя в позиционной войне. Но при этом, армии пополнения не получают. На самом деле модифицировать уравнения Ланчестера для случая равномерных пополнений довольно нетрудно. Нужно просто перейти от системы однородных уравнений к неоднородным. Решается подобные системы настолько легко, что есть даже онлайн решалка для них. Однако, видимо никому это не было интересно настолько, чтобы решить, и выложить решение. Или посчитали слишком тривиальным. Может. конечно, если специально поискать, оно найдётся, но самому решить быстрее. Вот что выйдет:
Здесь A(t) и B(t) - функции численности армий сторон в каждый момент времени; a и b - скорость пополнения сторон A и B соответственно.
Замечу, что в уравнениях Ланчестера обычно присутствуют коэффициенты "огневой мощи" - α и β. Собственно, "физический смысл" уравнений как раз в том, что превосходство противника в численности компенсируется квадратом превосходства "огневой мощи". То есть вот если унтерменшей вдвое больше, чем уберменшей, то чтобы выйти на ничью каждому уберменшу в единицу времени нужно убивать вчетверо больше унтерменшей, чем унтерменшу - уберменшей.
Однако, можно оперировать приведённой численностью. Если каждый уберменш в единицу времени убивает вдвое больше унтерменшей, чем каждый унтерменш - уберменшей, то можно просто считать одного уберменша за 1,4142... унтерменша, и коэффициенты из уравнений убрираются. Подбором единиц измерения коэффициент k из приведённых уравнений Ланчестера в "Торадицее" тоже можно убрать.
"Уравнения с пополнением" решены именно в таком подходе, чтоб не затуманивать суть влияния пополнений. Видно, что без пополнений (a и b равны нулю), решения вырождаются в решения уравнений Ланчестера. При ненулевых скоростях пополнения, ноль фазового пространства сдвигается в точку с координатами (b,a). То есть решением будет то же семейство гипербол, но со сдвинутым седлом:
На этом графике по горизонтали - численность армии A, по вертикали - B. Армия A получает 30 единиц пополнения в единицу времени, а армия B - вдвое больше. Читается слева направо и сверху вниз. Скажем, если война началась при 100 A (правая граница области графика) и 60 B, то A уничтожат B в ноль, при этом численность их армии сперва упадёт до 86, а потом восстановится обратно до 100. Если же у B в начале войны 75 единиц, а не 60, то выигрывает уже B, истребляя A в ноль, и наращивая к концу войны численность армии до 93 единиц. При 70 решение выходит ничейное.
Как видим, простой сдвиг седловой точки сильно меняет характер решения. Вместо монотонных фазовых траекторий решения обычных уравнений Ланчестера, мы получаем траектории проходящие через минимум. Численность обеих армий сперва падает - потери больше пополнений, а затем армия будущего победителя начинает расти, за счёт того, что подходящие пополнения начинают превышать потери.
Меняется и характер "ничейного решения" (красная линия на графике). Если для уравнений Ланчестера ничьёй была ситуация взаимного истребления обеих армий, то в "уравнениях с пополнением" ничейная ситуация это "окопы Первой мировой" - численности армий стабилизируются на определённом уровне, а подходящие пополнения взаимоистребляются. Время войны и сумма потерь уходят в бесконечность.
Это можно легко представить - допустим армия A (англичане) имеет численность 30 единиц, и получает 60 единиц пополнения за единицу времени (назовём её "месяц"). А армия B (боши) имеет численность 60 единиц и получает 30 единиц пополнения в месяц. Каждая единица англичан за месяц истребляет единцу бошей, и наоборот. За месяц англичане получат 60 единиц пополнения, но потеряют 60 единиц от огня бошей. У них так и останется 30. Боши получат 30 единиц пополнения, но потеряют 30 единиц от огня англичан. И тоже останутся при своих 60. И так каждый месяц.