ответы к прошлому посту

[falcao]

Подведу-ка я итоги "вероятностного" опроса, который проходил в прошлом посте. Комментарии там я раскрыл, так что можно посмотреть, кто и что называл. Подробно анализировать ответы я не буду, а скажу лишь то, что были и "попадания", и "занижения", и "завышения". Но этого вполне можно было ожидать, так как вообще-то все "надёжные" ответы получаются

Comments

[loboff]

Но вот что действительно удивило - массовое неразличение ситуаций с тремя орлами и двумя орлами и решкой. Ведь тут, казалось бы, даже обывательская "прикидка" должна подсказывать разный результат.

[falcao]

Мне кажется, что ситуации с 000 и 001 как раз должны казаться "равноправными", если не слишком сильно вдумываться. Ведь объяснение того, что первого события ждать дольше -- оно достаточно нетривиальное, и то соображение, что сами по себе эти исходы "равновероятны" (если просто бросать монетку три раза), может сильно "затуманить" дело.

Мне пришло в голову ещё вот какое соображение. Допустим, мы дождались 00. Далее нам может либо повезти, либо нет, причём то и другое происходит с вероятностью 1/2. Но это только в случае "везения". А если нам не повезло, то происходит следующее. Если мы ждём 000, то исход 001 нас как бы "отбрасывает" назад, и ждать приходится так же, как с самого начала. А если мы ждём 001, но выпало 000, то "отброса" не происходит, и мы оказываемся просто в состоянии ожидания 1, которая вскоре выпадет.

А вообще, на более "длинных" комбинациях -- типа 000000 по сравнению с 000001, первого события надо ждать почти вдвое дольше (в среднем).

[173175973]

Большое спасибо!
Ещё интересно подумать, как получить приближенные значения "на пальцах" без долгих подсчётов. Т.е, ближе к "качественной" теории

[a_p]

спасибо за объяснения!
Я как-то не сообразил, что можно записать уравнения в с S в правой части, и пытался в лоб суммировать бесконечный ряд (из вероятностей того, что 000 не выпало за n бросаний, умноженное на 1/8). При этом приходилось отдельно учитывать два последних бросания, что меня окончательно запутало.
а про 14 я всё-таки догадался, причём рассуждая так: матожидание выпадания орла - 2 (полученное из суммирования 1/2 * (1 + 1/2 +1/4...). Дальше, для выпадения N+1 орла подряд надо к матожиданию N орлов добавить одно бросание и понять, что в среднем нужно будет сделать две попытки, то есть S(n+1) = (S(n) + 1) * 2. То есть - 6 для двух орлов и 14 для трёх.

[crazy_flyer]

Забавно , у меня всегда было плохо с теорвером :-))) С интуицией в этих случаях особенно плохо ... так что я пробовал как-то "посчитать" , но "честно" , то есть долго не думая . В первых двух я как-то странно получил 24 для обоих вариантов , но это ещё понять можно . Но вот что забавно - в задаче 3а я почему-то понял условие так , что надо собрать не 6 разных цветов , а 6 карт ОДНОГО цвета .... с чего я так подумал - сам не пойму , явный глюк . Ну хорошо , но какое рассуждение я применил - это просто капут . Я прикинул так - средняя вероятность может быть СРЕДНИМ значением между наихудшим и наилучшим случаями . И вот , какой наилучший случай ? Это если 6 карт одного цвета "придут" к нам подряд . ОК , а что с наихудшим ? А наихудший - это когда мы купим 5 карт одного цвета , потом 5 карт второго , потом третьего , итд .... и вот , когда у нас уже "все по 5" - тут покупаем последнюю , и она уже с какой-то совпадёт :-) Значит , у нас получается 31 покупка в наихудшем типа варианте , потом складываем с наилучшим ( 6 ) , и получаем

[sigma_z_1980]

неплохо, только первая задача решается еще проще если построить марковскую цепь с 3 рекуррентными уравнениями для матожиданий m(x, 0) и матрицей переходов:

.5 .5 0 0
.5 0 .5 0
.5 0 0 .5
0 0 0 1

тогда как раз и получается, что m(3,0) = 7/.5 = 14.

во втором случае всё то же самое, но матрица переходов

.5 .5 0 0
.5 0 .5 0
0 0 .5 .5
0 0 0 1

[falcao]

А это в точности то же самое, только с использованием термина "марковская цепь". Если посмотреть на то, какие при этом имеются состояния у "автомата" (или "цепи"), то как раз и получатся те случаи, которые я рассматриваю. Там же всё равно надо анализировать, в какие именно состояния всё переходит, а это делается при помощи конкретных рассмотрений.

Я вообще стараюсь по минимуму применять какой-то уже готовый "аппарат", так как им владеют далеко не все, и "готовые" формулы мало кто знает (хотя понятно, что обычно они есть). Предпочтительно всё объяснять почти "с нуля", если есть такая возможность.