Законы арксинуса

[evan_gcrm]

Новичкам действительно везет.
Самооправдывающееся пророчество.
Везение.
Случай.

Представьте, что вы играете в азартную игру, угадывая орел или решка.
Угадали - выиграли. Не угадали - проиграли.
Монета подбрасывается примерно каждые 5 сек в течение рабочего дня, давая в итоге 10 тыс. испытаний.

А можете теперь представить, какова вероятность, что вы окажитесь в выигрыше 9930 раз при всего 70 проигрышах?

Интуитивно нам кажется, что такой вариант крайне маловероятен.


Хотя на самом деле, эта вероятность больше 10%.

Это 1-й Закон арксинуса для случайных блужданий - инерция тренда - «Закон везунчика» - в ходе отдельно взятой серии испытаний, сколь бы продолжительной она ни была, могут происходить даже са­мые маловероятные события

Везунчиком, например, запросто может быть игрок казино. Или трейдер, играющий против рынка. Причем даже если будет всего 20 испытаний, то все равно, в результате одна из сторон (трейдер или рынок) окажется везунчиком, а другая - неудачником. И чем больше число испытаний, тем вероятность этого выше.

[Рассмотрим более детально.]
Если представить результаты испытаний в виде кривой случайного блуждания в пространственно-временном измерении (допустим, верхняя половина - область успеха, а нижняя - неудач), то более строгая с научной точки зрения формулировка звучит следующим образом: при фик­сированной величине времени t (0 < t < 1) и числе испытаний (г), стремя­щемся к бесконечности, вероятность Р( к > г/2) того, что доля времени (к/г = t ), которую точка блуждания проведет в верхней (успешной) по­ловине графика, будет меньше t , и стремится к числу, определяемому по формуле:



Выделим, в первую очередь, следующие три положения, вытекающие из данной теоремы, которые важны в практическом плане:

• наименее вероятным является событие: доля времени, которую точка блуждания проведет на какой-то одной стороне (положи­тельной или отрицательной), будет равна половине всего вре­мени испытаний;

• наоборот, верным является то, что наибольшую вероятность име­ет событие: будут иметь место крайние значения, т.е. при к, стре­мящемся к г или О;

• чем более продолжительными будут испытания, тем необрати­мее станет преимущество одного исхода над другим.

Согласно первому закону арксинуса, для серии испытаний г с идеальной монетой достижение баланса числа успехов и неудач - событие крайне маловероятное. Наиболее вероят­ный исход заключается в преимуществе какой-то одной сторо­ны. И чем выше значение г , тем это преимущество можетста­ новиться все более устойчивым.

Парадоксальность первого закона арксинуса по праву считается удивитель­ной!

Народное наблюдение по поводу того, что кто-то бился, колотился, а ниче­го не добился, - это, в известном смысле, иллюстрация 1-го закона арксинуса, с точки зрения неудачника. Естественно, для везунка все видится иначе: Иной Ивашка живет без промашки.

Таким образом, данная теорема позволяет, так сказать, воочию увидеть, в каком конкретном виде проявляет себя та или иная предрасположенность игрока, действующего в пространстве случайных событий.

Вопрос, который возникает в этой связи: как долго такой тренд удачли­вости (или неудачливости) может продолжаться?

Для рассмотрения этого вопроса необходимо представить механизм воз­никновения тренда удачливости (или неудачливости) в пространстве случайных событий.

В этих целях мы обратимся к такому понятию, как инерция.

Теоремы о возвращении в начало координат: волна.
Оценки возможной продолжительности тренда дают существующие теоремы о возвращении в начало координат. Они рассматривают смену времени удачливости пе­риодом невезучести (и наоборот), что на графике движения выражается возвращением точки блуждания на нулевую отметку.

О периодичности повторных возвращений можно судить по частоте ни­чьих (н). Поскольку, как мы знаем, г должно быть четным числом, то удоб­нее было бы обозначать общее число испытаний как 2г (г = 2г, где г - это целое положительное число, не равное нулю: 1, 2, 3 и т.д.).

Здравый смысл подсказывает, что чем больше испытаний, тем больше должно быть возвращений в начало координат, т.е. ничьих (н).

Это верно.

Но зависимость здесь не является прямо пропорциональной.
И на этот счет у В. Феллера приводится доказательства двух важных теорем:

✔️ Теорема №1. Основной является формула вероятности Р( н/2г) того, что точка вернется в начало координат н раз в течение периода испытаний 2г:



Можно рассчитать, что для всех испытаний, продолжительностью 2г, спра­ведливо неравенство:



Если его проанализировать, можно сделать следующие выводы:

1. Р(н = 0) = Р(н = 1) означает, что наиболее вероятным исходом будет полное отсутствие (н = 0) либо только одно (н = 1) возвращение в на­ чало координат.

2. Р( н = 1) > Р(н = 2) >... > Р( н = 2г) означает, что одно возвращение более вероятно, чем два (н = 2). Но, в свою очередь, это событие более вероятно, чем три возвращения и т.д.

Повышенная вероятность меньшего числа возвращений объясняется тем, что если уж точка отклонилась от нулевого уровня, то ей труднее вер­нуться обратно в начало координат, а тем более на противоположную сто­рону графика.

Таким образом, наиболее вероятными конфигурациями случайного блуждания являются тренд и полуволна:



Как видим, эти результаты полностью согласуются с 1-м законом арк­синуса.

Очевидно, что точку завершения полуволновой конфигурации мож­но рассматривать как начало координат для последующего развития собы­тий.
Тогда следующая полуволна приведет к волне вида уре­занной синусоиды (А) или ее нормального варианта (Б).



✔️ Теорема №2. Это конкретная оценка вероятностей, которые составляют содержание теоремы №1.

Речь идет о вероятности события, определенного как не более чем не­ которое заданное число возвращений в начало координат. Как раз об этом и говорит теорема №2.

В более строгой формулировке она звучит так: для некоторого фиксиро­ванного числа j > 0 вероятность того, что в серии испытаний от 0 до 2г точка блуждания вернется в начало координат не более j x (2г)0,5 раз (при возрас­ тании 2г до бесконечности), стремится к следующей величине:



Мы не будем анализировать эту функцию, а лишь подчеркнем, что веро­ятность пересечения нулевой отметки будет возрастать пропорциональ­но не 2г, а квадратному корню из этой величины (2г1/2).

Эта формула означает, что и длина волны будет также возрастать по мере увеличения числа испытаний.

В качестве примера у В. Феллера приведены результаты серий из 6000 ис­пытаний. При этом зафиксировано, что длина первой волны приблизитель­ но 1000, второй - 2000 и третьей - 3000 шагов:



По таблице нормальной функции распределения можно найти, что вероят­ ность того, что произойдет не более 0,6745 х (2г)05 возвращений в ноль, близка к 0,5.

Тогда можно посчитать, что, например, для 10 000 испытаний с вероят­ностью 0,5 произойдет не более 68 ничьих. Учитывая, что только полови­на приведет к смене лидерства (поскольку вероятность 0,5), средняя дли­на волны между последовательными изменениями лидерства составит примерно 300 шагов (в какой-то конкретной серии испытаний эта цифра, естественно, может быть иной).

В этой связи возникает еще один вопрос: о расположении максимумов.

Представление об этом позволит формулировать ожидания, обоснованны­ми соответствующими вероятностными оценками.


А есть еще и 2-й Закон арксинуса для случайных блужданий, математически описывающий две, казалось бы, противоречащие народные мудрости «новичкам везет» и «первый блин - комом» и заодно, объясняющий «закон бутерброда».

Согласно 2-му Закону арксинуса, существует сильная тенденция к расположению максимумов вблизи начальной или конечной точек пути блуждания.

Т.е. новичкам, действительно везет. Но не всем новичкам, а только удачливым. Иначе говоря, везет тем, «кого случай везет». А всем остальным новичкам гарантирован первый блин комом.

/Источник/