Квантовый ликбез - 20-1. Системные квантовые состояния
.
Предыдущие посты
На примере спина мы разобрались с квантовыми состояниями одиночной частицы, включающие только две группы виртуальных вариантов с ненулевой амплитудой вероятности. Иначе говоря, при измерении может быть получен один из двух результатов. Такие состояния можно условно назвать "бинарными".
Бинарные состояния - это свойство частиц со спином 1/2 - электронов, протонов, нейтронов. Для других видов квантовых частиц можно получить четыре, пять и так далее результатов. Принцип описания таких состояний тот же самый, меняется лишь количество базисных состояний. Общий вид вектора чистого состояния всегда одинаков:
n - количество членов в этой сумме-суперпозиции, то есть, количество базисных состояний. Сохраняется также правило нормирования: сумма квадратов модулей амплитуд вероятности должна быть равна единице:
Это естественно, поскольку сумма вероятностей всех возможных событий всегда равна единице.
Бинарные квантовые состояния математически моделируются вектором в двухмерном комплексном пространстве. При этом базисные состояния - аналоги базисных векторов. А комплексные амплитуды вероятности - аналоги коэффициентов разложения вектора состояния по базису. Для более сложных, чем бинарные, квантовых состояний, требуются пространства большей размерности. Сколько результатов можно получить - такая размерность пространства и полагается.
Это если говорить о квантуемых состояниях с дискретным спектром значений. Неквантуемые состояния с непрерывным спектром могут при измерении дать любое значение. Стало быть, такие состояния содержат бесконечное количество групп с ненулевой амплитудой вероятности, и формула (ф.20.1) превращается в бесконечную сумму. Размерность необходимого пространства состояний тоже становится бесконечной. Что делать с бесконечными суммами - давно уже придумано, их просто заменяют подходящим интегралом. Правило нормировки (ф.20.2) в этом случае также записывается в интегральном виде. Кстати, для неквантуемых состояний вероятность получить какое-то конкретное значение всегда равна нулю. Поэтому на практике вычисляют вероятность попадания измеренного значения в некоторый диапазон.
Что же касается многомерных и бесконечномерных условных пространств - физики ими просто тролят лириков: пусть поломают голову над тем, как это себе наглядно представить. Сами же физики такими гуманитарными головоломками не занимаются. Им достаточно того, что "многопространственные" формулы корректно работает в физических расчётах.
Значит, с одиночными частицами мы разобрались, переходим к квантовым системам, то есть, к наборам частиц. Давайте ограничимся при этом системами, состоящими из бинарных квантовых объектов, для понимания основных принципов этого будет вполне достаточно.
Для начала абстрагируемся от спина. Всякое квантовое состояние, обладающее свойствами бинарности и стационарности, подчиняется тем же квантовым законам, что и спин. Поэтому нас удовлетворит любой квантовый объект, который:
а) может дать при измерении только один из двух результатов;
б) сохраняет неизменным своё квантовое состояние, если на него не оказывается никаких внешних воздействий.
Чуть забегая вперёд, скажем: в теории квантовых вычислений такой квантовый объект называют - квантовый бит, сокращённо «кубит».
Отринем также конкретный физический механизм унитарных воздействий. В опытах со спином мы воздействовали на частицу магнитным полем. В опытах с различными энергетическими состояниями атомов или ионов это может быть воздействие лазерным импульсом - вся эта инженерия нас тут не интересует. Считаем, что способ воздействия у нас есть, и мы можем привести кубит в любое желаемое состояние. Всё, что нам сейчас нужно знать про воздействие - это оператор (матрицу) воздействия (см. часть 17.2). Как эта матрица физически реализована - не суть важно.
Технические тонкости измерений тоже рассматривать не будем. Ограничимся тем обстоятельством, что измерение (кубита) может давать только один из двух результатов. Учитывая это, упростим обозначения. Раньше, например, измеряя момент импульса частиц, мы учитывали специфику измерений и обозначали результаты так: 〈0+〉, 〈0-〉. Имея при этом в виду срабатывание детектора в плюс-канале или минус-канале прибора, ориентированного вдоль положительного направления оси Z. Теперь обозначим возможные результаты условно как 〈0〉 и 〈1〉. Это в рамках плавного перехода к квантовым вычислениям: одному результату приписываем значение логического "ноля", другому - логической "единицы" (информатику в школе все проходили?). К тому же, автор просто устал приделывать к обозначениям индексы. J
Те же упрощённые обозначения используем и для базисных состояний. Теперь это будут, соответственно, состояния |0〉 и |1〉. То есть, любое чистое квантовое состояние одиночного бита будет записываться так:
Чтобы за всеми упрощениями не потерялась физическая суть, напомню, что эта формула означает. Она показывает, в какой пропорции бесконечное множество всех виртуальных вариантов (квантовое состояние |𝛙〉)
содержит виртуальные варианты базисных групп |0〉 и |1〉.
Тут полезно ввести ещё одно понятие. Следовало, конечно, сделать это в самом начале ликбеза (в следующей редакции так и будет), но лучше поздно, чем никогда. В традиционных квантовых наставлениях, объясняя смысл формулы (ф.20.3), вам скажут, что кубит одновременно находится в двух состояниях: |0〉 и |1〉. Но мы знаем, что речь идёт на самом деле об одном квантовом состоянии, включающем две бесконечные группы виртуальных классических состояний. Пэтому, чтобы не путаться и не оговаривать это каждый раз, скажем так: кубит до измерения пребывает в двух альтернативах одновременно. Для чистого квантового состояния понятия «альтернатива» и «группа виртуальных вариантов с ненулевой амплитудой вероятности» - синонимы. Для смешанных состояний есть нюансы, но об этом позже.
Теперь рассмотрим квантовое состояние системы кубитов. Начнём с двухкубитной системы. Для удобства разбора присвоим кубитам условные номера: №1 и №2.
Измерение для системы в целом включает два бинарных измерения, для каждого бита - своё. Таким образом, системное измерение принципиально может дать один из четырёх альтернативных результатов. Обозначим их так:
〈00〉 - оба кубита при измерении дают результат 〈0〉.
〈01〉 - кубит №1 при измерении даёт 〈0〉, кубит №2 даёт 〈1〉.
〈10〉 - кубит №1 при измерении даёт 〈1〉, кубит №2 даёт 〈0〉.
〈11〉 - оба кубита при измерении дают результат 〈1〉.
Как и в бинарном случае, объявим этот набор возможных результатов измерительным базисом, а приводящие к ним группы вариантов - базисными состояниями. Тогда любое системное квантовое состояние мы можем записать как суперпозицию базисных состояний:
Индексы в обозначениях амплитуд вероятности совпадают с обозначениями соответствующих состояний. Так будем обозначать амплитуды и дальше, чтобы не путаться. К тому же это поможет нам отличать системные состояния (ф.20.4) от одиночных (ф.20.2), а то уж очень похожи формулы.
Физический смысл формулы (ф.20.4) тот же, что и формулы (ф.20.3): она показывает пропорцию групп виртуальных вариантов. Но теперь под виртуальным вариантом будущего мы подразумеваем не результат одиночного измерения, а комбинированный результат двух измерений. Заметим, что пара кубитов до измерения пребывает в четырёх альтернативах.
Можно распространить эти же рассуждения на систему с любым количеством кубитов. Количество альтернатив, имеющихся до измерения, будет равняться 2n (двойка в степени n), где n - количество кубитов в системе. Для трёх кубитов - восемь альтернатив, для четырёх - шестнадцать и так далее. Стало быть, и формула для описания квантового состояния n-кубитоной системы будет в общем случае содержать 2n слагаемых, каждое со своим коэффициентом - амплитудой вероятности. В частных случаях, когда какие-то из амплитуд вероятности равны нулю, слагаемых будет меньше.
Если же говорить на "векторном" языке, то вектор состояния n-кубитной системы существует в 2n - мерном комплексном пространстве и представляет собой сумму 2n базисных векторов - базисных состояний. Ещё раз не советую тратить время на то, чтобы вообразить себе такое пространство. Просто поверьте, что векторная математика тут прекрасно работает.
Продолжение
Предыдущие посты
На примере спина мы разобрались с квантовыми состояниями одиночной частицы, включающие только две группы виртуальных вариантов с ненулевой амплитудой вероятности. Иначе говоря, при измерении может быть получен один из двух результатов. Такие состояния можно условно назвать "бинарными".
Бинарные состояния - это свойство частиц со спином 1/2 - электронов, протонов, нейтронов. Для других видов квантовых частиц можно получить четыре, пять и так далее результатов. Принцип описания таких состояний тот же самый, меняется лишь количество базисных состояний. Общий вид вектора чистого состояния всегда одинаков:
n - количество членов в этой сумме-суперпозиции, то есть, количество базисных состояний. Сохраняется также правило нормирования: сумма квадратов модулей амплитуд вероятности должна быть равна единице:
Это естественно, поскольку сумма вероятностей всех возможных событий всегда равна единице.
Бинарные квантовые состояния математически моделируются вектором в двухмерном комплексном пространстве. При этом базисные состояния - аналоги базисных векторов. А комплексные амплитуды вероятности - аналоги коэффициентов разложения вектора состояния по базису. Для более сложных, чем бинарные, квантовых состояний, требуются пространства большей размерности. Сколько результатов можно получить - такая размерность пространства и полагается.
Это если говорить о квантуемых состояниях с дискретным спектром значений. Неквантуемые состояния с непрерывным спектром могут при измерении дать любое значение. Стало быть, такие состояния содержат бесконечное количество групп с ненулевой амплитудой вероятности, и формула (ф.20.1) превращается в бесконечную сумму. Размерность необходимого пространства состояний тоже становится бесконечной. Что делать с бесконечными суммами - давно уже придумано, их просто заменяют подходящим интегралом. Правило нормировки (ф.20.2) в этом случае также записывается в интегральном виде. Кстати, для неквантуемых состояний вероятность получить какое-то конкретное значение всегда равна нулю. Поэтому на практике вычисляют вероятность попадания измеренного значения в некоторый диапазон.
Что же касается многомерных и бесконечномерных условных пространств - физики ими просто тролят лириков: пусть поломают голову над тем, как это себе наглядно представить. Сами же физики такими гуманитарными головоломками не занимаются. Им достаточно того, что "многопространственные" формулы корректно работает в физических расчётах.
Значит, с одиночными частицами мы разобрались, переходим к квантовым системам, то есть, к наборам частиц. Давайте ограничимся при этом системами, состоящими из бинарных квантовых объектов, для понимания основных принципов этого будет вполне достаточно.
Для начала абстрагируемся от спина. Всякое квантовое состояние, обладающее свойствами бинарности и стационарности, подчиняется тем же квантовым законам, что и спин. Поэтому нас удовлетворит любой квантовый объект, который:
а) может дать при измерении только один из двух результатов;
б) сохраняет неизменным своё квантовое состояние, если на него не оказывается никаких внешних воздействий.
Чуть забегая вперёд, скажем: в теории квантовых вычислений такой квантовый объект называют - квантовый бит, сокращённо «кубит».
Отринем также конкретный физический механизм унитарных воздействий. В опытах со спином мы воздействовали на частицу магнитным полем. В опытах с различными энергетическими состояниями атомов или ионов это может быть воздействие лазерным импульсом - вся эта инженерия нас тут не интересует. Считаем, что способ воздействия у нас есть, и мы можем привести кубит в любое желаемое состояние. Всё, что нам сейчас нужно знать про воздействие - это оператор (матрицу) воздействия (см. часть 17.2). Как эта матрица физически реализована - не суть важно.
Технические тонкости измерений тоже рассматривать не будем. Ограничимся тем обстоятельством, что измерение (кубита) может давать только один из двух результатов. Учитывая это, упростим обозначения. Раньше, например, измеряя момент импульса частиц, мы учитывали специфику измерений и обозначали результаты так: 〈0+〉, 〈0-〉. Имея при этом в виду срабатывание детектора в плюс-канале или минус-канале прибора, ориентированного вдоль положительного направления оси Z. Теперь обозначим возможные результаты условно как 〈0〉 и 〈1〉. Это в рамках плавного перехода к квантовым вычислениям: одному результату приписываем значение логического "ноля", другому - логической "единицы" (информатику в школе все проходили?). К тому же, автор просто устал приделывать к обозначениям индексы. J
Те же упрощённые обозначения используем и для базисных состояний. Теперь это будут, соответственно, состояния |0〉 и |1〉. То есть, любое чистое квантовое состояние одиночного бита будет записываться так:
Чтобы за всеми упрощениями не потерялась физическая суть, напомню, что эта формула означает. Она показывает, в какой пропорции бесконечное множество всех виртуальных вариантов (квантовое состояние |𝛙〉)
содержит виртуальные варианты базисных групп |0〉 и |1〉.
Тут полезно ввести ещё одно понятие. Следовало, конечно, сделать это в самом начале ликбеза (в следующей редакции так и будет), но лучше поздно, чем никогда. В традиционных квантовых наставлениях, объясняя смысл формулы (ф.20.3), вам скажут, что кубит одновременно находится в двух состояниях: |0〉 и |1〉. Но мы знаем, что речь идёт на самом деле об одном квантовом состоянии, включающем две бесконечные группы виртуальных классических состояний. Пэтому, чтобы не путаться и не оговаривать это каждый раз, скажем так: кубит до измерения пребывает в двух альтернативах одновременно. Для чистого квантового состояния понятия «альтернатива» и «группа виртуальных вариантов с ненулевой амплитудой вероятности» - синонимы. Для смешанных состояний есть нюансы, но об этом позже.
Теперь рассмотрим квантовое состояние системы кубитов. Начнём с двухкубитной системы. Для удобства разбора присвоим кубитам условные номера: №1 и №2.
Измерение для системы в целом включает два бинарных измерения, для каждого бита - своё. Таким образом, системное измерение принципиально может дать один из четырёх альтернативных результатов. Обозначим их так:
〈00〉 - оба кубита при измерении дают результат 〈0〉.
〈01〉 - кубит №1 при измерении даёт 〈0〉, кубит №2 даёт 〈1〉.
〈10〉 - кубит №1 при измерении даёт 〈1〉, кубит №2 даёт 〈0〉.
〈11〉 - оба кубита при измерении дают результат 〈1〉.
Как и в бинарном случае, объявим этот набор возможных результатов измерительным базисом, а приводящие к ним группы вариантов - базисными состояниями. Тогда любое системное квантовое состояние мы можем записать как суперпозицию базисных состояний:
Индексы в обозначениях амплитуд вероятности совпадают с обозначениями соответствующих состояний. Так будем обозначать амплитуды и дальше, чтобы не путаться. К тому же это поможет нам отличать системные состояния (ф.20.4) от одиночных (ф.20.2), а то уж очень похожи формулы.
Физический смысл формулы (ф.20.4) тот же, что и формулы (ф.20.3): она показывает пропорцию групп виртуальных вариантов. Но теперь под виртуальным вариантом будущего мы подразумеваем не результат одиночного измерения, а комбинированный результат двух измерений. Заметим, что пара кубитов до измерения пребывает в четырёх альтернативах.
Можно распространить эти же рассуждения на систему с любым количеством кубитов. Количество альтернатив, имеющихся до измерения, будет равняться 2n (двойка в степени n), где n - количество кубитов в системе. Для трёх кубитов - восемь альтернатив, для четырёх - шестнадцать и так далее. Стало быть, и формула для описания квантового состояния n-кубитоной системы будет в общем случае содержать 2n слагаемых, каждое со своим коэффициентом - амплитудой вероятности. В частных случаях, когда какие-то из амплитуд вероятности равны нулю, слагаемых будет меньше.
Если же говорить на "векторном" языке, то вектор состояния n-кубитной системы существует в 2n - мерном комплексном пространстве и представляет собой сумму 2n базисных векторов - базисных состояний. Ещё раз не советую тратить время на то, чтобы вообразить себе такое пространство. Просто поверьте, что векторная математика тут прекрасно работает.
Продолжение