Субботний мат-блиц-марафон. Задачка-4, которая только выглядит просто.

[e_kaspersky]

Жизнь должна быть прекрасной и удивительной! Прекрасна она по определению, поскольку за окном тёплый (а где-то наверняка и ярко-солнечный) летний денёчек, а удивительной её делает четвёртая порция задачек нашего субботнего мат-блиц-марафона. Вот таких:

===>

Задачка 4. Найти все целые решения уравнения y² = x³ + 1

-----

Задачка 4-лёгкая.

Comments

[ext_2322471]

Единственное решение : x=2, y=3.

[e_kaspersky]

Почему?

[kostichek]

Задачка 4. Найти все целые решения уравнения y² = x³ + 1
Ответ:
x = -1, y = 0
x = 0, y = 1
x = 2, y = 3

Решение:
Разложим x³ + 1 = (x + 1)(x² -x +1), отсюда очевидно следует корень x=-1, y=0 и уравнение x + 1 = x² - x +1 (для получение полного квадрата y²), которое даст еще два корня x² - 2x = 0, то есть, x=0 y=1 и x=2 y=3

[e_kaspersky]

"очевидно следует" - а можно это чуть более подробнее?

[kostichek]

Задачка 4-лёгкая. Доказать, что если:
x + 2ˣ = y + 2ʸ
то =>
x + sin(x) = y + sin(y)

Решение:
Предположим, что x > y, тогда
2^x - 2^y = y - x
2^y (2^(x-y) - 1) = y - x, где левая часть равенства больше 0, а правая меньше 0.
Аналогичное противоречие при x < y, тем самым x = y, а из это следует равенство x + sin(x) = y + sin(y)

[e_kaspersky]

Да, это легко.

[surikata_tver]

x + 2ˣ = y + 2ʸ => x - y = 2ʸ - 2ˣ.
Если x > y , то левая часть >0 , правая -- <0 -> невозможно
Если y > x, то левая часть <0 , правая -- >0 -> невозможно
Значит x=y и x + sin x = y + sin y

[e_kaspersky]

Да, ровно так.

[ottonturk_g]

попробую решить:
x + 2ˣ = y + 2ʸ , то =>
x + sin(x) = y + sin(y)

x - y = 2^y - 2^x
x - y = sin(y) - sin(x)

а вот слово probability на доске меня смущает :(