ЖЖ против Евклида или Немного математической археологии.
Всем привет!
Сегодняшняя пачка задачек небольшая, но весьма древняя - им более 2 тысяч лет. Известно даже имя математика, который их тогда и решил - это Евклид. И задачки эти посвящены так называемым «совершенным числам», то есть таким, которые равны сумме всех своих делителей. Например, 6 = 1+2+3. Или 28 = 1+2+4+7+14. Вот такая сегодня математическая археология ->
Задачка 1. Евклид доказал, что если 2n - 1 - простое число, то 2(n - 1) * (2n - 1) - совершенное (n - натуральное число, само собой). Получится ли нам самостоятельно доказать этот факт? Умнее ли мы Евклида или же всё ещё нет?
Задачка 2. Доказать, что все чётные совершенные числа имеют вид 2(n - 1) * (2n - 1), где 2n - 1 - простое.
Задачка 3. Доказать, что нечётных совершенных чисел не существует.
Шучу! Не буду вас мучить совершенными нечётными числами. Вот что про них пишет Википедия: Нечётных совершенных чисел до сих пор не обнаружено, однако не доказано и то, что их не существует.
Удачи в математически-археологических упражнениях!
А теперь увлекательное решение предыдущего мат-мат-математического.
Напоминаю условия.
Задачка1. A*B*(A+B) = 20042020, где А и B - целые числа. Требуется: найти решение или доказать нерешабельность.
Решение: 20042020 = 2042019 + 1 = [сумма цифр 2042019 = 18, признак делимости на 9] = 9*[что-то] + 1. То есть, это число при делении на 9 даёт в остатке единицу.
Какие могут быть A и B? Ни одно из них не может делиться на тройку, поскольку 20042020 на тройку нацело не делится. То есть, варианты: A=3x+1 или A=3x+2, и B=3y+1 или B=3y+2. Комбинаций 3x+1 и 3y+2 (аналогично 3x+2 и 3y+1) одновременно быть не может, поскольку иначе A+B делится на 3.
Получаем варианты A=3x+1 и B=3y+1 или A=3x+2 и B=3y+2. Подставляем, считаем, по дороге заменяем ‘z=x+y’ ->
{1,1} A*B*(A+B) = (3x+1)(3y+1)(3z+2) = 27xyz + 9xz + 9yz + 3z + 18xy + 6(x+y) + 2 = (cворачиваем 6(x+y)=6z) = 27xyz + 9(xz+yz+2xy) + 9z + 2 = 9*[что-то] + 2 <= не подходит, поскольку при делении на 9 должна быть единица.
{2,2} A*B*(A+B) = (3x+2)(3y+2)(3z+4) = 27xyz + 18xz + 18yz + 12z + 36xy + 24(x+y) + 16 = 9*[что-то] + 16, остаток от деления на 9 будет 7. Тоже не подходит.
Всё.
Задачка2. Решить в целых числах: (x-y)^3 + (y-z)^3 + (z-x)^3 = 30.
Решение: Если посмотреть на этого мат-крокодила иначе, то будет вот так:
a^3 + b^3 + c^3 = 30, при этом a+b+c=0, c=-a-b =>
a^3 + b^3 - a^3 - 2a^2*b - a*b^2 - a^2*b - 2a*b^2 - b^3 =>
3a^2*b + 3a*b^2 = -30
ab(a+b) = -10 = -1*2*5
Перебираем все возможные варианты {a,b,a+b} = {+-1,+-2,+-5} - решения нет.
Задачка3. Доказать, что 11^(n+2) + 12^(2n+1) делится на 133.
Решение:
11^(n+2) + 12^(2n+1) = 121*11^n + 12*((11+1)^2)^n) = 121*11^n + 12*144^n
Преобразуем второе слагаемое:
12*144^n = 12*(133+11)^n = 12*(133*[что-то] + 11^n)
Исходный «мат-крокодил» превращается...
11^(n+2) + 12^(2n+1) = 121*11^n + 12*133*[что-то] + 12*11^n = 133*11^n + 133*[что-то].
Готово. Оно делится на 133.
А кто молодец и лучше всех справился с этими задачками? А вот они! Поздравляю!
abienscumvento, mikluha_maklai, Vladislav Nikolaev
Всё на сегодня в нашем клубе арифметиков, всем спасибо за внимание! Дальше будет интереснее.
Сегодняшняя пачка задачек небольшая, но весьма древняя - им более 2 тысяч лет. Известно даже имя математика, который их тогда и решил - это Евклид. И задачки эти посвящены так называемым «совершенным числам», то есть таким, которые равны сумме всех своих делителей. Например, 6 = 1+2+3. Или 28 = 1+2+4+7+14. Вот такая сегодня математическая археология ->
Задачка 1. Евклид доказал, что если 2n - 1 - простое число, то 2(n - 1) * (2n - 1) - совершенное (n - натуральное число, само собой). Получится ли нам самостоятельно доказать этот факт? Умнее ли мы Евклида или же всё ещё нет?
Задачка 2. Доказать, что все чётные совершенные числа имеют вид 2(n - 1) * (2n - 1), где 2n - 1 - простое.
Задачка 3. Доказать, что нечётных совершенных чисел не существует.
Шучу! Не буду вас мучить совершенными нечётными числами. Вот что про них пишет Википедия: Нечётных совершенных чисел до сих пор не обнаружено, однако не доказано и то, что их не существует.
Удачи в математически-археологических упражнениях!
А теперь увлекательное решение предыдущего мат-мат-математического.
Напоминаю условия.
Задачка1. A*B*(A+B) = 20042020, где А и B - целые числа. Требуется: найти решение или доказать нерешабельность.
Решение: 20042020 = 2042019 + 1 = [сумма цифр 2042019 = 18, признак делимости на 9] = 9*[что-то] + 1. То есть, это число при делении на 9 даёт в остатке единицу.
Какие могут быть A и B? Ни одно из них не может делиться на тройку, поскольку 20042020 на тройку нацело не делится. То есть, варианты: A=3x+1 или A=3x+2, и B=3y+1 или B=3y+2. Комбинаций 3x+1 и 3y+2 (аналогично 3x+2 и 3y+1) одновременно быть не может, поскольку иначе A+B делится на 3.
Получаем варианты A=3x+1 и B=3y+1 или A=3x+2 и B=3y+2. Подставляем, считаем, по дороге заменяем ‘z=x+y’ ->
{1,1} A*B*(A+B) = (3x+1)(3y+1)(3z+2) = 27xyz + 9xz + 9yz + 3z + 18xy + 6(x+y) + 2 = (cворачиваем 6(x+y)=6z) = 27xyz + 9(xz+yz+2xy) + 9z + 2 = 9*[что-то] + 2 <= не подходит, поскольку при делении на 9 должна быть единица.
{2,2} A*B*(A+B) = (3x+2)(3y+2)(3z+4) = 27xyz + 18xz + 18yz + 12z + 36xy + 24(x+y) + 16 = 9*[что-то] + 16, остаток от деления на 9 будет 7. Тоже не подходит.
Всё.
Задачка2. Решить в целых числах: (x-y)^3 + (y-z)^3 + (z-x)^3 = 30.
Решение: Если посмотреть на этого мат-крокодила иначе, то будет вот так:
a^3 + b^3 + c^3 = 30, при этом a+b+c=0, c=-a-b =>
a^3 + b^3 - a^3 - 2a^2*b - a*b^2 - a^2*b - 2a*b^2 - b^3 =>
3a^2*b + 3a*b^2 = -30
ab(a+b) = -10 = -1*2*5
Перебираем все возможные варианты {a,b,a+b} = {+-1,+-2,+-5} - решения нет.
Задачка3. Доказать, что 11^(n+2) + 12^(2n+1) делится на 133.
Решение:
11^(n+2) + 12^(2n+1) = 121*11^n + 12*((11+1)^2)^n) = 121*11^n + 12*144^n
Преобразуем второе слагаемое:
12*144^n = 12*(133+11)^n = 12*(133*[что-то] + 11^n)
Исходный «мат-крокодил» превращается...
11^(n+2) + 12^(2n+1) = 121*11^n + 12*133*[что-то] + 12*11^n = 133*11^n + 133*[что-то].
Готово. Оно делится на 133.
А кто молодец и лучше всех справился с этими задачками? А вот они! Поздравляю!
abienscumvento, mikluha_maklai, Vladislav Nikolaev
Всё на сегодня в нашем клубе арифметиков, всем спасибо за внимание! Дальше будет интереснее.