Шары и весы. Нестареющая тема.
Сегодня у меня всего лишь одна задачка, но она весьма заковыриста :) И да - самые лучшие (в разных измерениях) ответы мы будем поощрять ценными антивирусными призами!
Задачка эта для определения степени развития гибкости упругости возможностей вашего личного головного мозга. Можно, конечно же, пояндогуглить этот вопросик, но ведь это умеет любой взявший мобилу в руки младенец. Короче, решайте мозгом:
На столе 13 шаров. Один шар другого веса - по отношению к остальным 12-ти шарам (легче или тяжелее - неизвестно, просто другой). На столе весы (больше-меньше). Задача. За три (только три!) взвешивания определить "неправильный" шар.
источник
Предупреждаю, что минут через 10-15 «взвешивания шаров» вам может показаться, что решения нет. Это не так! Оно существует, но весьма необычное. Кстати, я здесь публиковал эту задачку 2.5 года назад... но правильного решения никто так и не нашёл :) Задачка очень хороша, над ней можно пару часов просидеть. А я тем временем ещё что-нибудь откопаю интересненького.
А покамест ответы на вчерашние задачки и... награждение самых-самых и в том числе лучших. Суда по накалу страстей и количеству комментов, самоизоляция уже дошла до белого каления и мозги настойчиво требуют пищи, которой у меня много :) Так вот, ответы на Задачу 1:
Напоминаю условие: Лежат две верёвки разной длины. Если поджечь с одного края - они обе горят ровно один час. Скорость горения неравномерна. Может половина гореть почти час, а остальное потом - вжик и всё. А может и наоборот. У вас есть эти две верёвки и зажигалка. Больше ничего нет. Нужно отмерить 45 минут.
Решение: Одну верёвку поджигаем с двух сторон, вторую с одной стороны. Ровно через полчаса первая верёвка сгорит вся. В этот же момент поджигаем второй край второй верёвки. «На полчаса» верёвка уже прогорела, её остаток с двух сторон будет гореть 15 минут. Как догорит до конца - 45 минут прошло.
Задачка 2. Есть листок в клеточку 10 на 10. Вырезали клетку в верхнем левом и в правом нижнем углах - по одной клетке в двух противоположных углах. Спрашивается, как замостить всю поверхность доминошками 2x1, чтобы они покрывали всю поверхность. Т.е. как (100-2)/2 = 49 доминошек разложить на листке в один слой и чтобы всё было закрыто - как это сделать?
Решение: Закрасить половину клеток в чёрный цвет, как на шахматной доске.
Комментарий: Отрезанные клетки в разных углах имеют одинаковый цвет, на картинке - тёмный. То есть, количество тёмных клеток меньше, чем белых. Но каждая доминошка при любом расположении закрывает одну белую и одну тёмную клетку. То есть, количество клеток разных цветов должно быть одинаковым. Всё.
Задачка 3. Ночью мне привиделось число... очень необычное. Оно состоит из 10 знаков, т.е. цифр. Первая цифра равна количеству нулей в этом числе. Вторая цифра = количеству единиц в числе, третья = количеству двоек, ... , а последняя = количеству девяток. Очень необычное число. Но - беда! Проснувшись утром я его забыл... Требуется помощь.
Решение. Да просто перебором по первой цифре! Может там стоять ноль?
0????????? - нет, не может. Поскольку это означает, что в этом числе ноль нулей, а тут уже один стоит. Противоречие. Может ли там стоять единица?
1????????? - это означает, что в числе всего один ноль. А вот теперь нужно применить вот какой факт про это число. Сумма всех его цифр равна 10. Почему? Да просто потому, что в числе всего 10 цифр. То есть, «количество нулей + количество единиц + ... + количество девяток» = количеству цифр в этом числе, то есть = 10.
Смотрим на 1?????????. Единица плюс где-то ноль и 8 ненулевых позиций. И сумма цифр в этих ненулевых позициях равна девяти. То есть, «9 яблок надо разложить в 8 ящиков, и чтобы в каждом ящике было минимум одно яблоко». Вариант одит: 7 с единицей, одна позиция с двойкой. Но вторая цифра в числе есть «количество единиц», то есть, получается вот что: 18100... - поскольку троек и четвёрок нет, то там два нуля, а ноль должен быть один. Да и сумма цифр уже вываливается за 10, поскольку дальше должны быть единицы.
Аналогично всё остальное:
2????????? - «8 яблок разложить в 7 ящиков» => число получается.. 262000... В начале ‘2’, потом ‘6’ = количество единиц («ящиков с одним яблоком»), двоек уже две, но троек, четвёрок и пятёрок нет. То естьЮ там минимум три нуля - а их должно быть два. Не проходит.
3????????? - «7 яблок разложить в 6 ящиков» => 351100... Тоже нет.
4????????? - «6 яблок в 5 ящиков» => 441020... Тоже нет, уже больше 10.
5????????? - «5 яблок в 4 ящика» => 5311010... Тоже нет, сумма больше 10.
6????????? - «4 яблока в 3 ящика» => 6210001000. Есть! Вот ответ. Но единственный ли он?
7????????? - «3 яблока в 2 ящика» => 7110... Нет, единиц должно быть одна штука, а их уже две.
8????????? - «2 яблока в 1 ящик» => 8110000010. Сумма цифр = 11.
9????????? - ну, девять нулей по любому быть не может, поскольку в крайней левой позиции (количество девяток) уже ненулевое число.
Всё. Ответ: 6210001000
Задачка 4. На сообразительность. Есть вот такое «равенство»: 30 - 33 = 3
Надо переместить одну цифру так, чтобы равенство оказалось верным. Задача решаемая. Перемещать разрешается только цифру, а не чёрточку.
Решение простое: 30 - 3³ = 3. Можно и так: 30 - 3 = 3³
Понравилось? :)
Задачка 5. Есть вот такой красивый цилиндр, на который очень аккуратно и ровно накручена тонкая проволока. Проволоки хватило ровно на четыре оборота вокруг цилиндра - от края до края. Длина цилиндра - 12 сантиметров, длина окружности поперечного сечения - 4 сантиметра. Найдите длину проволоки.
Решение: Размотать цилиндр в прямоугольник:
Длина проволоки получается квадратный корень из 162+122 = √(42*(42+32)) = √(42*25) = 4*5 = 20 сантиметров. Теорема Пифагора, она самая :)
Задачка 6, самая интересная. Редакция ЖЖ решила порадовать первую сотню блогеров и испекла для них огромный-преогромный торт, чтобы на всех хватило. Блогеры подходят по очереди. Первый отрезает себе по-честному 1% торта. Второй - 2% от оставшегося торта. Третий - 3% от того, что осталось после первых двух. И так далее. Последний (сотый) забирает себе что осталось - 100% самого последнего куска. Кто из них отрезал себе самый большой кусок? Каким номером выгоднее всего подходить к столу?
Во-первых, не надо считать точные цифры. Нам всё равно сколько кто получит, посему надо просто сравнить порции соседей и найти того, кто получил больше предыдущего и последующего. Так? Найти того, чей кусок больше чем у соседей. Найти "максимум функции куска торта".
Ну, поехали. Пусть в торте "100 единиц". Первый получает 1%=1 единица. Второй получает 2% от 99 кусков, т.е. ... умножаем 99 на 2 (это ведь несложно?) и получаем... 1.98 "единиц торта", что почти в два раза больше первого.
2. Про первого можно забыть - он не победитель. Его можно вообще не учитывать. А для облегчения калькуляции считать, что торт опять целый и что в нём 100 "тортовых единиц". И задачка формулируется так: пришло 99 человек, первый берёт 2%, второй 3%, последний 100%. Логика понятна?
Поехали. Первый (т.е. бывший второй) берёт 2%=2 единицы торта. Второй получает 3%*(100-2)=3%*98=2.94. Третий получает больше второго.
3.4.5... Забываем про второго. Третий берёт 3 единицы (опять считаем, что в торте 100 единиц), четвёртый = 4*0.97=3.88. Забываем про третьего.
Четвёртый берёт 4 куска, пятый 5*0.96=4.8. Забываем про четвёртого.
Пятый берёт 5, шестой 6*0.95=5.7.
Шестой берёт 6, седьмой 7*0.94=6.58.
Седьмой 7, восьмой 8*0.93=7.44.
Восьмой 8, девятый 9*0.92=8.28.
Девятый 9, десятый 10*0.91=9.1.
Десятый 10, одиннадцатый 11*0.9=9.9
<=== вот оно, график "больше-меньше" пошёл вниз!
Так, а вдруг у этой функции "кто больше" не один максимум, а несколько? Вдруг условный "33-й" получит больше 10-го? Кто сказал, что у этой функции только один максимум?
"Элементарно, Ватсон!" (с). Чистая математика, никаких фокусов.
N-нный гость получает N кусков (в той же модели "от ста кусков").
N+1-й гость получает (100-N)*(N+1)/100.
Умножаем обе части (куски N-нного гостя и куски N+1-го) на 100, раскрываем скобки...
100*N <- ? -> 100N - N2 +100 - N
Переносим всё налево и получаем функцию:
N2 + N - 100
Что ещё с начальной школы называется квадратичной функцией или квадратным трёхчленом? Парабола. И у неё только один "излом" (максимум или минимум). Посему "двух 10-х номеров" среди гостей быть не может.
Вуаля!
А теперь... трам-пам-пам-парам! Кто же лучше всего справился с этими задачками? Всем равняться на...
Никита Каширин
bar_suk
mercury13_kiev
Молодцы, поздравляю! С вами свяжутся для дистанционной передачи ценных, просто незаменимых призов в наше "удалённое" время - адаптивной защиты формата "всё в одном" = Kaspersky Security Cloud. Защищайтесь везде и нигде не болейте!
Задачка эта для определения степени развития гибкости упругости возможностей вашего личного головного мозга. Можно, конечно же, пояндогуглить этот вопросик, но ведь это умеет любой взявший мобилу в руки младенец. Короче, решайте мозгом:
На столе 13 шаров. Один шар другого веса - по отношению к остальным 12-ти шарам (легче или тяжелее - неизвестно, просто другой). На столе весы (больше-меньше). Задача. За три (только три!) взвешивания определить "неправильный" шар.
источник
Предупреждаю, что минут через 10-15 «взвешивания шаров» вам может показаться, что решения нет. Это не так! Оно существует, но весьма необычное. Кстати, я здесь публиковал эту задачку 2.5 года назад... но правильного решения никто так и не нашёл :) Задачка очень хороша, над ней можно пару часов просидеть. А я тем временем ещё что-нибудь откопаю интересненького.
А покамест ответы на вчерашние задачки и... награждение самых-самых и в том числе лучших. Суда по накалу страстей и количеству комментов, самоизоляция уже дошла до белого каления и мозги настойчиво требуют пищи, которой у меня много :) Так вот, ответы на Задачу 1:
Напоминаю условие: Лежат две верёвки разной длины. Если поджечь с одного края - они обе горят ровно один час. Скорость горения неравномерна. Может половина гореть почти час, а остальное потом - вжик и всё. А может и наоборот. У вас есть эти две верёвки и зажигалка. Больше ничего нет. Нужно отмерить 45 минут.
Решение: Одну верёвку поджигаем с двух сторон, вторую с одной стороны. Ровно через полчаса первая верёвка сгорит вся. В этот же момент поджигаем второй край второй верёвки. «На полчаса» верёвка уже прогорела, её остаток с двух сторон будет гореть 15 минут. Как догорит до конца - 45 минут прошло.
Задачка 2. Есть листок в клеточку 10 на 10. Вырезали клетку в верхнем левом и в правом нижнем углах - по одной клетке в двух противоположных углах. Спрашивается, как замостить всю поверхность доминошками 2x1, чтобы они покрывали всю поверхность. Т.е. как (100-2)/2 = 49 доминошек разложить на листке в один слой и чтобы всё было закрыто - как это сделать?
Решение: Закрасить половину клеток в чёрный цвет, как на шахматной доске.
Комментарий: Отрезанные клетки в разных углах имеют одинаковый цвет, на картинке - тёмный. То есть, количество тёмных клеток меньше, чем белых. Но каждая доминошка при любом расположении закрывает одну белую и одну тёмную клетку. То есть, количество клеток разных цветов должно быть одинаковым. Всё.
Задачка 3. Ночью мне привиделось число... очень необычное. Оно состоит из 10 знаков, т.е. цифр. Первая цифра равна количеству нулей в этом числе. Вторая цифра = количеству единиц в числе, третья = количеству двоек, ... , а последняя = количеству девяток. Очень необычное число. Но - беда! Проснувшись утром я его забыл... Требуется помощь.
Решение. Да просто перебором по первой цифре! Может там стоять ноль?
0????????? - нет, не может. Поскольку это означает, что в этом числе ноль нулей, а тут уже один стоит. Противоречие. Может ли там стоять единица?
1????????? - это означает, что в числе всего один ноль. А вот теперь нужно применить вот какой факт про это число. Сумма всех его цифр равна 10. Почему? Да просто потому, что в числе всего 10 цифр. То есть, «количество нулей + количество единиц + ... + количество девяток» = количеству цифр в этом числе, то есть = 10.
Смотрим на 1?????????. Единица плюс где-то ноль и 8 ненулевых позиций. И сумма цифр в этих ненулевых позициях равна девяти. То есть, «9 яблок надо разложить в 8 ящиков, и чтобы в каждом ящике было минимум одно яблоко». Вариант одит: 7 с единицей, одна позиция с двойкой. Но вторая цифра в числе есть «количество единиц», то есть, получается вот что: 18100... - поскольку троек и четвёрок нет, то там два нуля, а ноль должен быть один. Да и сумма цифр уже вываливается за 10, поскольку дальше должны быть единицы.
Аналогично всё остальное:
2????????? - «8 яблок разложить в 7 ящиков» => число получается.. 262000... В начале ‘2’, потом ‘6’ = количество единиц («ящиков с одним яблоком»), двоек уже две, но троек, четвёрок и пятёрок нет. То естьЮ там минимум три нуля - а их должно быть два. Не проходит.
3????????? - «7 яблок разложить в 6 ящиков» => 351100... Тоже нет.
4????????? - «6 яблок в 5 ящиков» => 441020... Тоже нет, уже больше 10.
5????????? - «5 яблок в 4 ящика» => 5311010... Тоже нет, сумма больше 10.
6????????? - «4 яблока в 3 ящика» => 6210001000. Есть! Вот ответ. Но единственный ли он?
7????????? - «3 яблока в 2 ящика» => 7110... Нет, единиц должно быть одна штука, а их уже две.
8????????? - «2 яблока в 1 ящик» => 8110000010. Сумма цифр = 11.
9????????? - ну, девять нулей по любому быть не может, поскольку в крайней левой позиции (количество девяток) уже ненулевое число.
Всё. Ответ: 6210001000
Задачка 4. На сообразительность. Есть вот такое «равенство»: 30 - 33 = 3
Надо переместить одну цифру так, чтобы равенство оказалось верным. Задача решаемая. Перемещать разрешается только цифру, а не чёрточку.
Решение простое: 30 - 3³ = 3. Можно и так: 30 - 3 = 3³
Понравилось? :)
Задачка 5. Есть вот такой красивый цилиндр, на который очень аккуратно и ровно накручена тонкая проволока. Проволоки хватило ровно на четыре оборота вокруг цилиндра - от края до края. Длина цилиндра - 12 сантиметров, длина окружности поперечного сечения - 4 сантиметра. Найдите длину проволоки.
Решение: Размотать цилиндр в прямоугольник:
Длина проволоки получается квадратный корень из 162+122 = √(42*(42+32)) = √(42*25) = 4*5 = 20 сантиметров. Теорема Пифагора, она самая :)
Задачка 6, самая интересная. Редакция ЖЖ решила порадовать первую сотню блогеров и испекла для них огромный-преогромный торт, чтобы на всех хватило. Блогеры подходят по очереди. Первый отрезает себе по-честному 1% торта. Второй - 2% от оставшегося торта. Третий - 3% от того, что осталось после первых двух. И так далее. Последний (сотый) забирает себе что осталось - 100% самого последнего куска. Кто из них отрезал себе самый большой кусок? Каким номером выгоднее всего подходить к столу?
Во-первых, не надо считать точные цифры. Нам всё равно сколько кто получит, посему надо просто сравнить порции соседей и найти того, кто получил больше предыдущего и последующего. Так? Найти того, чей кусок больше чем у соседей. Найти "максимум функции куска торта".
Ну, поехали. Пусть в торте "100 единиц". Первый получает 1%=1 единица. Второй получает 2% от 99 кусков, т.е. ... умножаем 99 на 2 (это ведь несложно?) и получаем... 1.98 "единиц торта", что почти в два раза больше первого.
2. Про первого можно забыть - он не победитель. Его можно вообще не учитывать. А для облегчения калькуляции считать, что торт опять целый и что в нём 100 "тортовых единиц". И задачка формулируется так: пришло 99 человек, первый берёт 2%, второй 3%, последний 100%. Логика понятна?
Поехали. Первый (т.е. бывший второй) берёт 2%=2 единицы торта. Второй получает 3%*(100-2)=3%*98=2.94. Третий получает больше второго.
3.4.5... Забываем про второго. Третий берёт 3 единицы (опять считаем, что в торте 100 единиц), четвёртый = 4*0.97=3.88. Забываем про третьего.
Четвёртый берёт 4 куска, пятый 5*0.96=4.8. Забываем про четвёртого.
Пятый берёт 5, шестой 6*0.95=5.7.
Шестой берёт 6, седьмой 7*0.94=6.58.
Седьмой 7, восьмой 8*0.93=7.44.
Восьмой 8, девятый 9*0.92=8.28.
Девятый 9, десятый 10*0.91=9.1.
Десятый 10, одиннадцатый 11*0.9=9.9
<=== вот оно, график "больше-меньше" пошёл вниз!
Так, а вдруг у этой функции "кто больше" не один максимум, а несколько? Вдруг условный "33-й" получит больше 10-го? Кто сказал, что у этой функции только один максимум?
"Элементарно, Ватсон!" (с). Чистая математика, никаких фокусов.
N-нный гость получает N кусков (в той же модели "от ста кусков").
N+1-й гость получает (100-N)*(N+1)/100.
Умножаем обе части (куски N-нного гостя и куски N+1-го) на 100, раскрываем скобки...
100*N <- ? -> 100N - N2 +100 - N
Переносим всё налево и получаем функцию:
N2 + N - 100
Что ещё с начальной школы называется квадратичной функцией или квадратным трёхчленом? Парабола. И у неё только один "излом" (максимум или минимум). Посему "двух 10-х номеров" среди гостей быть не может.
Вуаля!
А теперь... трам-пам-пам-парам! Кто же лучше всего справился с этими задачками? Всем равняться на...
Никита Каширин
bar_suk
mercury13_kiev
Молодцы, поздравляю! С вами свяжутся для дистанционной передачи ценных, просто незаменимых призов в наше "удалённое" время - адаптивной защиты формата "всё в одном" = Kaspersky Security Cloud. Защищайтесь везде и нигде не болейте!