Противоположности в логике
После разговора о противоположностях в диалектике понял, что надо уточнить понимание противоположностей в логике. Здесь пойдет речь о классической двузначной формальной логике (ФЛ). Не сомневаюсь, что многие из участников сообщества в основном это знают, однако, думаю, что освежить память будет полезно.
А начнем с длинного эпиграфа:)
- Попугай, как ты думаешь, сколько тут орехов нападало?
- Куча! - сказал попугай, оглядевшись по сторонам. - Целая куча нападала.
- А сколько нужно орехов, - спросил слонёнок, - чтобы получилась куча?
- Куча - это когда много, - сказал попугай.
- А много - это сколько?
- Много - это много.
- Давай всё-таки разберёмся! - предложил слонёнок. - Десять орехов - это куча?
Слонёнок подобрал десять орехов и сложил их вместе. Попугай обошёл вокруг десяти орехов и осмотрел их с разных сторон. Потом он залез на орехи и поглядел на них сверху.
- Да! - сказал попугай. - Десять орехов - это куча!
Слонёнок подобрал ещё два ореха и положил их отдельно.
- А два? - спросил слонёнок.
Попугай подошёл к двум орехам и немножко рядом с ними постоял.
- Нет, - сказал попугай, - два - это не куча. Что это за куча, когда всего два ореха? Два - не куча!
Тогда слонёнок взял один орех от десяти и переложил его к двум орехам. Теперь у него с одной стороны получилось девять орехов, а с другой три.
- Три ореха - это куча? - спросил слонёнок.
- Три - это тоже не куча, - сказал попугай, - всё равно мало.
- А девять? - спросил слонёнок.
- Девять - куча!
- А четыре? - спросил слонёнок.
- Не куча.
- А восемь?
- Куча.
- А пять?
- Не куча.
- А семь?
- Куча.
- Ну, а шесть орехов?
Спрашивая, слонёнок всё время брал орехи оттуда, где их было больше, и перекладывал туда, где было меньше. И вот теперь перед попугаем лежали две совершенно одинаковые кучки. По шесть орехов в каждой.
- Не ку … - сказал попугай. - Нет. Ку … Или - не ку?.. Ку, ку! Тьфу! Что ты меня путаешь?! - закричал он.
- Ничего я не путаю, - обиделся слонёнок. - Ты сказал, что пять орехов - это ещё не куча, а семь - уже куча. Вот я и спрашиваю: шесть орехов - это куча или не куча?
Попугай немного помолчал, а потом сказал:
- Нда!
- Значит, «много» от «мало» никак не отличишь? - спросил слонёнок.
- Да нет, - сказал попугай, - отличить можно.
- Как?
- Очень просто. Мало, - это когда всё съел и ещё хочется. А много - это когда уже больше не хочется.
Григорий Остер. Бабушка удава
И так, противоположности в ФЛ бывают разные. Их возможные взаимодействия иллюстрируются Логическим квадратом, который также иногда так прямо и называют Квадрат противоположностей. Противоположности бывают контрадикторными (противоречащими) и контрарными (собственно противоположными, противными).
Контрадикторные противоположные суждения подчиняются закону противоречия, поэтому они не могут быть оба истинными, и принципу исключенного третьего, поэтому одно из них истинно. Таким образом, из двух контрадикторных суждений одно и только одно истинно, из истинности одного следует ложность другого и из ложности одного - истинность другого. Контрадикторное - отрицающее высказывание (например: холодно - нехолодно, высоко - невысоко, случайно - неслучайно, человеческий - нечеловеческий и т. п.).
Контрарные противоположные суждения не могут быть оба истинными, но могут быть оба ложными. Наличие контрарного отношения между двумя суждениями является основанием для умозаключения от истинности одного из них к ложности другого. Но опровержение данного суждения с помощью контрарного ему суждения вообще говоря невозможно, т.к. при ложности опровергаемого суждения ложным может оказаться и опровергающее. Примеры - холодно - тепло, холодно - жарко, высоко - низко, случайно - закономерно.
Сравним два понятия - противополож¬ные (контрарные) и противоречащие (контрадикторные):
«белый» - «чёрный» (противоположные, контрарные),
«белый» - «небелый» (противоречащие, контрадикторные),
Можно наглядно убедиться, что разница между этими двумя логическими отношениями огромная: тогда как второй член первой пары (чёрный) имеет вполне определённое содержание, которое можно представить, второй член второй пары (небелый) такого определённого содержания не имеет. [Г.И. Челпанов. Учебник логики]
Таким образом, в ФЛ надо четко понимать, о каких противоположностях идет речь, а иначе возможны ошибки. Не всякая противоположность входит в законы противоречия и исключения третьего, а только контрадикторная. Причем контрадикторная противоположность так и формулируется через отрицание. Если посмотреть книжки по логике, то в них такие примеры и приводятся. Собственно противоположность (контрарная), в отличие от противоречия, формулируется парами противоположных характеристик. Но такие противоположности не подчиняются законам противоречия и исключения третьего. В противном случае можно придти к ошибочному утверждению, что, например, положительный = не-отрицательный. Хотя из математики хорошо известно, что это вещи отнюдь не равные, и математика отличает положительный от не-отрицательного. Последний включает в себя помимо положительных чисел еще и ноль. Отмечу, что в сюжете, который вынесен в эпиграф, попугай и слоненок очень хорошо знают логику и не путают типы противоположностей:)
Таким образом, смысл и понимание противоположностей в ФЛ получается из того, как эти противоположности соотносятся друг с другом. Такая же ситуация и диалектики, в которой смысл противоположностей также выясняется через их взаимодействие. Ни там, ни там ничего полезного о противоположностях сказать нельзя, не указав на способ их взаимодействия.
Но еще раз, логика есть правила вывода, по словам Андрей Шумана, формализация в логике Это придумывание однозначных способов того, как из одних абстрактных объектов механически получать другие абстрактные объекты. Но сами эти абстрактные объекты ФЛ установить не может. Т.е. для того, что бы применять законы (правила) ФЛ сначала надо извне для логики установить эти абстрактные объекты. А это уже не есть задача логики, она эти задачи не решает. Причем для ФЛ все равно, где и как провести разделение на противоположности, оно задается аксиоматически. Также как все равно математики, количество чего выражается теми или иными числами. И в математике, и в логике при их использовании надо быть осторожными и внимательными, дабы не наделать ошибок. Две капли воды и две капли воды совсем не обязательно будет четыре капли, вполне может получиться двадцать капель. А не-высокий вполне может оказаться не низким, а средним, или чуть выше среднего.
Собственно с этой, совсем не логической проблемой, столкнулись попугай со слоненком. «Шесть орехов - это куча или не куча?» ФЛ просто требует однозначного ответа на этот вопрос. Но для ФЛ вообще говоря можно границу провести достаточно произвольно. Но об этом произволе никогда не надо забывать, при дальнейшем построении дедуктивной системы. Собственно, именно об этом и пишет Энгельс, говоря о законе противоположностей.
Диалектик прямо так и скажет, что шесть орехов и есть единство кучи и не-кучи. И закон исключения третьего тут совершенно не причем. Не надо также забывать, что диалектика противостоит не ФЛ, а метафизики. Поэтому диалектическое единство противоположного понимает противоположности иначе, чем закон противоречия ФЛ. И ничего тут страшного нет, ведь одно и тоже слово, один и тот же термин вполне могут использоваться в разных сферах деятельности в отличающихся, вплоть до противоположности, смыслах.