Велика Теорема Ферма
Французький юрист і за сумісництвом великий математик XVII століття П"єр Ферма (1601-1665) висунув одне цікаве твердження з області теорії чисел, що згодом одержало назву Великої теореми Ферма. Це одна з найвідоміших і феноменальних математичних теорем. Напевно, ажіотаж навколо її був би не так сильний, якби в книзі Діофанта Олександрійського (III століття) "Арифметика", що Ферма частенько перечитував, роблячи позначки на її широких полях, і яку люб'язно зберіг для нащадків його син Семюел, не була виявлено приблизно наступний запис визначного математика:
"Я маю у своєму розпорядженні досить разючий доказ, але він занадто великий, щоб його можна було розмістити на полях".
Цей запис, і став причиною грандіозної метушні навколо теореми в подальшому. Отже, знаменитий учений заявив, що довів свою теорему. Давайте ж задамося питанням: чи дійсно він її довів чи банально збрехав? Або є інші версії, що пояснюють появу того запису на полях, що не давав спокійно спати багатьом математикам наступних поколінь?
Історія Великої теореми надзвичайно захоплююча. В 1636 році Ферма заявив, що рівняння виду Хn+Yn=Zn не має рішень у цілих числах при показнику степеня n>2. Це власне і є Велика теорема Ферма. У цій, здавалося б, простій на вигляд математичній формулі Всесвіт замаскував неймовірну складність.
Трохи дивним є те, що, чомусь, теорема спізнилася з появою на світ, оскільки ситуація назріла давно, адже її окремий випадок при n=2 - інша знаменита математична формула - теорема Піфагора, виникла на двадцять два сторіччя раніше. На відміну від теореми Ферма, теорема Піфагора має нескінченну безліч цілочисельних розв?язань, наприклад, такі Піфагорові трикутники: (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (8,15,17) ... (27,36,45) ... (112,384,400) ... (4232, 7935, 8993) ...
Синдром Великої теореми
Хто тільки не намагався довести теорему Ферма. Будь-який новоспечений студент вважав своїм обов'язком прикластися до Великої теореми, але довести її все нікому не вдавалося. Спочатку не вдавалося сто років. Потім ще сто. Серед математиків став розвиватися масовий синдром: "Як же так? Ферма довів, а я що, не зможу, чи що?" і деякі з них на цьому ґрунті звихнулися в повному сенсі цього слова.
Скільки б теорему не перевіряли - вона завжди виявлялася вірна. Я знав одного енергійного програміста, що був одержимо ідеєю спростувати Велику теорему, намагаючись знайти хоча б одне її рішення методом перебору цілих чисел з використанням швидкодіючого комп'ютера (у той час частіше йменувався ЕОМ). Він вірив в успіх свого задуму й любив присуджувати: "Ще небагато - і гримне сенсація!". Думаю, що в різних місцях нашої планети була чимала кількість такого сорту сміливих шукачів. Жодного рішення він, звичайно ж, не знайшов. І ніякі комп'ютери, хоч навіть із казковою швидкодією, ніколи не змогли б перевірити теорему, адже всі змінні цього рівняння (у тому числі й показники ступеня) можуть зростати нескінченно.
Найвіртуозніший і плідний математик XVIII століття Леонард Ейлер, архів записів якого людство розгрібало майже ціле століття, довів теорему Ферма для степенів 3 і 4 (вірніше, він повторив загублені докази самого П"єра Ферма); його послідовник у теорії чисел, Лежандр - для степеня 5; Дирихле - для степеня 7. Але в загальному виді теорема залишалася недоведеною.
На початку XX століття (1907) заможний німецький аматор математики на прізвище Вольфскель заповів сто тисяч марок тому, хто пред'явить повний доказ теореми Ферма. Почався ажіотаж. Математичні кафедри були завалені тисячами доказів, але всі вони, як ви здогадуєтеся, містили в собі помилки. Говорять, що в деяких німецьких університетах, у яких у великій кількості надходили "докази" теореми Ферма, були заготовлені бланки приблизно такого змісту:
Шановний __________________________________________________!
У Вашому доведенні теореми Ферма на ____ сторінці в ____ рядку зверху
у формулі:____________________ виявлена наступна помилка:,
які розсилалися невдачливим здобувачам премії.
В той час у колі математиків з'явилося напівпрезирливе прізвисько - ферміст. Так називали всякого самовпевненого вискочку, якому не вистачало знань, але зате з лишком вистачало амбіцій для того, щоб поспіхом спробувати сили в доказі Великої теореми, а потім, не помітивши власних помилок, гордо ляснувши себе в груди, голосно заявити: "Я перший довів теорему Ферма!". Кожний ферміст, був він хоч навіть десятитисячним, уважав себе першим - це й було смішним. Простий зовнішній вигляд Великої теореми так сильно нагадував фермістам легкий здобуток, що їх абсолютно не бентежило, що навіть Ейлер з Гаусом не змогли впоратися з нею.
(Фермісти, як не дивно, існують і зараз. Один з них хоч і не вважав, що довів теорему, як класичний ферміст, але до недавніх пір намагався зробити це - відмовився вірити мені, коли я повідомив йому, що теорема Ферма вже доведена).
Найбільш сильні математики, можливо, у тиші своїх кабінетів теж пробували обережно підходити до цієї надважкої штанги, але не говорили про це вголос, щоб не прославитися фермістами й, таким чином, не нашкодити своєму високому авторитету.
На той час з'явився доказ теореми для показника ступеня n<100. Потім для n<619. Чи треба говорити про те, що всі докази неймовірно складні. Але в загальному виді теорема залишалася недоведеною.
Дивна гіпотеза
До середини XX століття ніяких серйозних просувань в історії Великої теореми не спостерігалося. Але незабаром у математичному житті відбулася одна цікава подія. В 1955 році 28-річний японський математик Ютака Таніяма висунув твердження із зовсім іншої області математики, що одержало назву "гіпотези Таніями" (вона ж "гіпотеза Таніями-Шимури-Вейла"), що, на відміну від запізнілої теореми Ферма, випередило свій час.
Гіпотеза Таніями говорить: "кожній еліптичнії кривії відповідає певна модулярная форма". Дане твердження для математиків тієї пори звучало приблизно так само абсурдно, як для нас звучить твердження: "кожне дерево складається з певного металу". Неважко вгадати, як може поставитися до подібного твердження нормальна людина - вона просто не сприйме його всерйоз, що й відбулося: математики дружно проігнорували гіпотезу.
Невелике пояснення. Еліптичні криві, відомі здавна, мають двомірний вигляд (розташовуються на площині). Модулярні ж функції, відкриті в XIX столітті, мають чотиривімірний вигляд, тому ми їх навіть уявити собі не можемо своїми тривимірними мізками, але можемо описати математично; крім того, модулярні форми дивні тим, що мають гранично можливу симетрію - їх можна інвертувати (зрушувати) у будь-якому напрямку, відбивати дзеркально, міняти місцями фрагменти, повертати нескінченно багатьма способами - і при цьому їхній вид не змінюється. Як бачимо, еліптичні криві й модулярні форми мають мало спільного. Гіпотеза ж Таніями стверджує, що описові рівняння двох відповідних один одному цих абсолютно різних математичних об'єктів можна розкласти в той самий математичний ряд.
Гіпотеза Таніями була занадто парадоксальна: вона з'єднала зовсім різні поняття - досить прості плоскі криві й неуявні чотиривимірні форми. Таке нікому не спадало на думку. Коли на міжнародному математичному симпозіумі в Токіо у вересні 1955 року Таніяма продемонстрував кілька відповідностей еліптичних кривих модулярним формам, то всі побачили в цьому не більш, ніж збіг обставин. На скромні питання Таніями маститий француз Андре Вейл, що у той час був одним із кращих у світі фахівців у теорії чисел, дав цілком дипломатичну відповідь, що, мов, якщо допитливого Таніяму не покине ентузіазм, то, може бути, йому пощастить, і його неймовірна гіпотеза підтвердиться, але це, мабуть, трапиться не скоро. Загалом, як і багато інших видатних відкриттів, спочатку гіпотеза Таніями залишилася без уваги, тому що до неї ще не доросли - її майже ніхто не зрозумів. Один лише колега Таніями, Горо Шимура, добре знаючи свого обдарованого друга, інтуїтивно відчував, що його гіпотеза вірна.
Через три роки (1958) Ютака Таніяма покінчив життя самогубством (сильні, однак, у Японії самурайські традиції). З погляду здорового глузду - ніяк не розумний вчинок, особливо, якщо врахувати, що зовсім незабаром він збирався одружитися. Свою передсмертну записку лідер молодих японських математиків почав так: "Ще вчора я не думав про самогубство. Останнім часом мені часто доводилося чути від інших, що я втомився розумово й фізично. Взагалі ж я й зараз не розумію, навіщо це роблю..." і так далі на трьох аркушах. Жаль, звичайно, що так склалася доля цікавої людини, але все генії трошки дивакуваті - на те вони й генії (на думку чомусь спали слова Артура Шопенгауера: "у звичайному житті від генія стільки ж користі, як від телескопа в театрі"). Гіпотеза осиротіла. Ніхто не знав, як її довести.
Років десять про гіпотезу Таніями майже не згадували. Але на початку 70-х років вона стала популярною - її регулярно перевіряли всі, хто зміг у ній розібратися - і вона завжди підтверджувалася (як, власне, і теорема Ферма), але, як і колись, ніхто не міг її довести.
Дивний зв'язок двох гіпотез
Пройшло ще приблизно 15 років. В 1984 році відбулася одна ключова подія в житті математики, що об'єднало екстравагантну японську гіпотезу з Великою теоремою Ферма. Німець Герхард Фрей висунув цікаве твердження, схоже на теорему: "Якщо буде доведена гіпотеза Таніями, то буде доведена й Велика теорема Ферма". Інакше кажучи, теорема Ферма є наслідком гіпотези Таніями. (Фрей методом хитромудрих математичних перетворень звів рівняння Ферма до виду рівняння еліптичної кривої (тієї самої, котра фігурує й у гіпотезі Таніями), більш-менш обґрунтував своє припущення, але довести його не зміг). І от лише через півтора року (1986) професор каліфорнійського університету Кенет Рибет чітко довів теорему Фрея.
Що ж тепер вийшло? Тепер виявилося, що оскільки теорема Ферма вже точно є наслідком гіпотези Таніями, потрібно всього-на-всього довести останню, щоб зірвати лаври підкорювача легендарної теореми Ферма. Але гіпотеза виявилася непростою. До того ж у математиків за сторіччя з'явилася алергія на теорему Ферма, і багато хто з них вирішили, що впоратися з гіпотезою Таніями також буде практично неможливо.
Смерть гіпотези Ферма. Народження теореми
Пройшло ще 8 років. Одному прогресивному англійському професорові математики із Принстонского університету (Нью-Джерсі, США), Ендрю Уайлсу, здалося, що він знайшов доказ гіпотези Таніями. Якщо геній не лисий, то, як правило, скуйовджений та волохатий. Уайлс - скуйовджений, отже, схожий на генія. Увійти в історію, звичайно, заманливо й дуже хотілося, але Уайлс, як дійсний учений, не зваблювався, розуміючи, що тисячам фермістів до нього теж ввижалися примарні докази. Тому, перш, ніж представити свій доказ світу, він ретельно перевіряв його сам, але усвідомлюючи, що може мати суб'єктивну упередженість, залучав до перевірок також і інших, наприклад, під виглядом звичайних математичних завдань він іноді підкидав тямущим аспірантам різні фрагменти свого доказу. Пізніше Уайлс зізнався, що ніхто, крім його дружини не знав, що він працює над доказом Великої теореми.
І от після довгих перевірок і тяжких роздумів, Уайлс нарешті набрався хоробрості, а може, як йому самому здавалося, нахабності й 23 червня 1993 року на математичній конференції з теорії чисел у Кембриджі оголосив про своє велике досягнення.
Це, звичайно, була сенсація. Ніхто не очікував такої сміливості від маловідомого математика. Відразу з'явилася преса. Усіх мучив пекучий інтерес. Стрункі формули, як штрихи прекрасної картини, стали перед цікавими поглядами присутніх. Справжні математики дивляться на всякі рівняння й бачать у них не цифри, константи й змінні, а однаково, що вірші або музику чують, точно так само, як ми, читаючи книгу, дивимося на букви, але начебто б як їх і не зауважуємо, а відразу сприймаємо зміст тексту.
Презентація доказу, здавалося, пройшла успішно - помилок у ньому не знайшли - ніхто не почув ні однієї фальшивої ноти. Усі вирішили, що таки масштабна подія: доведена гіпотеза Таніями, а отже й Великої теореми Ферма. Але приблизно за два місяці, за кілька днів до того, як рукопис доказу Уайлса повинен була піти в тираж, у ньому було виявлено невідповідність (Кац, колега Уайлса, помітив, що один фрагмент міркувань опирався на "систему Ейлера", але те, що спорудив Уайлс, такою системою не було), хоча в цілому прийоми Уайлса були визнані цікавими, витонченими й новаторськими.
Уайлс проаналізував ситуацію й вирішив, що програв. Можна собі представити, як він всим своїм нутром відчув, що значить "від великого до смішного один крок". "Хотів увійти в Історію, а замість цього ввійшов до складу команди клоунів і комедіантів - самовпевнених фермістів" - приблизно такі думки вимотували його в той тяжкий період життя. Для нього, серйозного вченого-математика, це була трагедія, і він закинув свій доказ у довгий ящик.
Але от через рік з невеликим, у вересні 1994 року, під час міркування над тим вузьким місцем доказу разом зі своїм колегою Тейлором з Оксфорда, останнього по голові зненацька вгепала думка, що "систему Ейлера" можна поміняти на теорію Івасава (розділ теорії чисел). Тоді вони спробували скористатися теорією Івасава, обійшовшись без "системи Ейлера", і в них усе зійшлося. Виправлений варіант доказу був відданий на перевірку й через рік було оголошено, що в ньому все абсолютно чітко, без єдиної помилки. Улітку 1995 року в одному з головних математичних журналів - "Анали математики" - було опубліковано повний доказ гіпотези Таніями (отже, Великої теореми Ферма), що зайняло весь номер - понад сто аркушів. Доказ такий складний, що зрозуміти його цілком мали змогу всього лише декілька десятків чоловік в усьому світі.
Таким чином, наприкінці ХХ століття увесь світ визнав, що на 360 році свого життя Велика теорема Ферма, що насправді весь цей час була гіпотезою, є таки доведеною теоремою. Ендрю Уайлс довів Велику теорему Ферма й увійшов в Історію.
Подумаєш, довели якусь теорему...
Щастя першовідкривача завжди дістається комусь одному - це саме він останнім ударом молота розколює твердий горішок. Але не можна ігнорувати безліч попередніх ударів, які не одне сторіччя формували тріщину у Великій теоремі: Ейлера й Гауса (королів математики своїх часів), Еваріста Галуа (що встиг за своє коротке 21-річне життя заснувати теорії груп і полів, роботи якого були визнані геніальними лише після його смерті), Анрі Пуанкаре (засновника не тільки вигадливих модулярних форм, але й конвенціоналізму - філософського напрямку), Давида Гільберта (одного з найсильніших математиків ХХ століття), Ютаку Таніяму, Горо Шимуру, Мордела, Фальтінґса, Ернста Кумера, Барі Мазура, Герхарда Фрея, Кена Ріббета, Річарда Тейлора й інших достойних учених (не побоюся цих слів).
Доказ Великої теореми Ферма можна поставити в один ряд з такими досягненнями ХХ століття, як винахід комп'ютера, ядерної бомби й польоту в космос. Хоч про нього й не так широко відомо, тому що він не потрапляє в поле наших повсякденних інтересів, як наприклад, телевізор або електрична лампочка, але він явився спалахом наднової зірки, що, як і всі непорушні істини, завжди буде світити людству.
Ви можете сказати: "Подумаєш, довели якусь теорему, кому це треба?". Справедливе питання. Отут у точності згодиться відповідь Давіда Гілберта. Коли на питання: "яке завдання зараз для науки є найбільш важливим?", він відповів: "піймати муху на звороті Місяця", його резонно запитали: "А кому це треба?", він відповів так: "Це нікому не треба. Але подумайте над тим, скільки важливих найскладніших завдань треба вирішити, щоб це здійснити". Подумайте, скільки завдань за 360 років змогло вирішити людство, перш, ніж довести теорему Ферма. У пошуках її доказу була відкрита чи ледве не половина сучасної математики. Треба також урахувати, що математика - авангард науки (і, до речі, єдина з наук, що будується без єдиної помилки), і будь-які наукові досягнення й винаходи починаються саме тут. Як помітив Леонардо да Вінчі, "наукою можна визнати лише те вчення, що підтверджується математично".
* * *
А тепер давайте повернемося на початок нашої історії, згадаємо запис П?єра Ферма на полях підручника Діофанта й ще раз задамося питанням: чи Дійсно Ферма довів свою теорему? Цього ми, звичайно, не можемо знати напевно, і як у будь-якій справі тут виникають різні версії:
Версія 1: Ферма довів свою теорему. (На питання: " чи мав Ферма точно такий же доказ своєї теореми?", Ендрю Уайлс сказав: "Ферма не міг мати у своєму розпорядженні такий доказ. Це доказ ХХ століття". Ми з вами розуміємо, що в XVII столітті математика, звичайно ж, була не та, що наприкінці ХХ століття - у ту епоху д?Артаньяна, цариця наук ще не мала тих відкриттів (модулярні форми, теорема Таніями, Фрея та ін.), які тільки й дозволили довести Велику теорему Ферма. Звичайно, можна припустити: чим чорт не жартує - а раптом Ферма здогадався іншим шляхом? Ця версія хоч і ймовірна, але за оцінками більшості математиків, майже неможлива);
Версія 2: П?єру Ферма здалося, що він довів свою теорему, але в його доказі були помилки. (Тобто, сам Ферма був також і першим фермістом);
Версія 3: Ферма свою теорему не довів, а на полях просто збрехав.
Якщо вірна одна із двох останніх версій, що найбільше імовірно, то тоді можна зробити простий висновок: великі люди, вони хоч і великі, але теж можуть помилятися або іноді трошки прибрехати (в основному цей висновок буде корисний для тих, хто схильний безроздільно довіряти своїм кумирам й іншим володарям думок). Тому, читаючи здобутки авторитетних синів людства або слухаючи їхні пафосні виступи, ви маєте повне право сумніватися в їхніх твердженнях. (Прошу відмітити, що сумніватися - не значить відкидати).
Фелікс Кірсанов
мшф Петро Новосад
"Я маю у своєму розпорядженні досить разючий доказ, але він занадто великий, щоб його можна було розмістити на полях".
Цей запис, і став причиною грандіозної метушні навколо теореми в подальшому. Отже, знаменитий учений заявив, що довів свою теорему. Давайте ж задамося питанням: чи дійсно він її довів чи банально збрехав? Або є інші версії, що пояснюють появу того запису на полях, що не давав спокійно спати багатьом математикам наступних поколінь?
Історія Великої теореми надзвичайно захоплююча. В 1636 році Ферма заявив, що рівняння виду Хn+Yn=Zn не має рішень у цілих числах при показнику степеня n>2. Це власне і є Велика теорема Ферма. У цій, здавалося б, простій на вигляд математичній формулі Всесвіт замаскував неймовірну складність.
Трохи дивним є те, що, чомусь, теорема спізнилася з появою на світ, оскільки ситуація назріла давно, адже її окремий випадок при n=2 - інша знаменита математична формула - теорема Піфагора, виникла на двадцять два сторіччя раніше. На відміну від теореми Ферма, теорема Піфагора має нескінченну безліч цілочисельних розв?язань, наприклад, такі Піфагорові трикутники: (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (8,15,17) ... (27,36,45) ... (112,384,400) ... (4232, 7935, 8993) ...
Синдром Великої теореми
Хто тільки не намагався довести теорему Ферма. Будь-який новоспечений студент вважав своїм обов'язком прикластися до Великої теореми, але довести її все нікому не вдавалося. Спочатку не вдавалося сто років. Потім ще сто. Серед математиків став розвиватися масовий синдром: "Як же так? Ферма довів, а я що, не зможу, чи що?" і деякі з них на цьому ґрунті звихнулися в повному сенсі цього слова.
Скільки б теорему не перевіряли - вона завжди виявлялася вірна. Я знав одного енергійного програміста, що був одержимо ідеєю спростувати Велику теорему, намагаючись знайти хоча б одне її рішення методом перебору цілих чисел з використанням швидкодіючого комп'ютера (у той час частіше йменувався ЕОМ). Він вірив в успіх свого задуму й любив присуджувати: "Ще небагато - і гримне сенсація!". Думаю, що в різних місцях нашої планети була чимала кількість такого сорту сміливих шукачів. Жодного рішення він, звичайно ж, не знайшов. І ніякі комп'ютери, хоч навіть із казковою швидкодією, ніколи не змогли б перевірити теорему, адже всі змінні цього рівняння (у тому числі й показники ступеня) можуть зростати нескінченно.
Найвіртуозніший і плідний математик XVIII століття Леонард Ейлер, архів записів якого людство розгрібало майже ціле століття, довів теорему Ферма для степенів 3 і 4 (вірніше, він повторив загублені докази самого П"єра Ферма); його послідовник у теорії чисел, Лежандр - для степеня 5; Дирихле - для степеня 7. Але в загальному виді теорема залишалася недоведеною.
На початку XX століття (1907) заможний німецький аматор математики на прізвище Вольфскель заповів сто тисяч марок тому, хто пред'явить повний доказ теореми Ферма. Почався ажіотаж. Математичні кафедри були завалені тисячами доказів, але всі вони, як ви здогадуєтеся, містили в собі помилки. Говорять, що в деяких німецьких університетах, у яких у великій кількості надходили "докази" теореми Ферма, були заготовлені бланки приблизно такого змісту:
Шановний __________________________________________________!
У Вашому доведенні теореми Ферма на ____ сторінці в ____ рядку зверху
у формулі:____________________ виявлена наступна помилка:,
які розсилалися невдачливим здобувачам премії.
В той час у колі математиків з'явилося напівпрезирливе прізвисько - ферміст. Так називали всякого самовпевненого вискочку, якому не вистачало знань, але зате з лишком вистачало амбіцій для того, щоб поспіхом спробувати сили в доказі Великої теореми, а потім, не помітивши власних помилок, гордо ляснувши себе в груди, голосно заявити: "Я перший довів теорему Ферма!". Кожний ферміст, був він хоч навіть десятитисячним, уважав себе першим - це й було смішним. Простий зовнішній вигляд Великої теореми так сильно нагадував фермістам легкий здобуток, що їх абсолютно не бентежило, що навіть Ейлер з Гаусом не змогли впоратися з нею.
(Фермісти, як не дивно, існують і зараз. Один з них хоч і не вважав, що довів теорему, як класичний ферміст, але до недавніх пір намагався зробити це - відмовився вірити мені, коли я повідомив йому, що теорема Ферма вже доведена).
Найбільш сильні математики, можливо, у тиші своїх кабінетів теж пробували обережно підходити до цієї надважкої штанги, але не говорили про це вголос, щоб не прославитися фермістами й, таким чином, не нашкодити своєму високому авторитету.
На той час з'явився доказ теореми для показника ступеня n<100. Потім для n<619. Чи треба говорити про те, що всі докази неймовірно складні. Але в загальному виді теорема залишалася недоведеною.
Дивна гіпотеза
До середини XX століття ніяких серйозних просувань в історії Великої теореми не спостерігалося. Але незабаром у математичному житті відбулася одна цікава подія. В 1955 році 28-річний японський математик Ютака Таніяма висунув твердження із зовсім іншої області математики, що одержало назву "гіпотези Таніями" (вона ж "гіпотеза Таніями-Шимури-Вейла"), що, на відміну від запізнілої теореми Ферма, випередило свій час.
Гіпотеза Таніями говорить: "кожній еліптичнії кривії відповідає певна модулярная форма". Дане твердження для математиків тієї пори звучало приблизно так само абсурдно, як для нас звучить твердження: "кожне дерево складається з певного металу". Неважко вгадати, як може поставитися до подібного твердження нормальна людина - вона просто не сприйме його всерйоз, що й відбулося: математики дружно проігнорували гіпотезу.
Невелике пояснення. Еліптичні криві, відомі здавна, мають двомірний вигляд (розташовуються на площині). Модулярні ж функції, відкриті в XIX столітті, мають чотиривімірний вигляд, тому ми їх навіть уявити собі не можемо своїми тривимірними мізками, але можемо описати математично; крім того, модулярні форми дивні тим, що мають гранично можливу симетрію - їх можна інвертувати (зрушувати) у будь-якому напрямку, відбивати дзеркально, міняти місцями фрагменти, повертати нескінченно багатьма способами - і при цьому їхній вид не змінюється. Як бачимо, еліптичні криві й модулярні форми мають мало спільного. Гіпотеза ж Таніями стверджує, що описові рівняння двох відповідних один одному цих абсолютно різних математичних об'єктів можна розкласти в той самий математичний ряд.
Гіпотеза Таніями була занадто парадоксальна: вона з'єднала зовсім різні поняття - досить прості плоскі криві й неуявні чотиривимірні форми. Таке нікому не спадало на думку. Коли на міжнародному математичному симпозіумі в Токіо у вересні 1955 року Таніяма продемонстрував кілька відповідностей еліптичних кривих модулярним формам, то всі побачили в цьому не більш, ніж збіг обставин. На скромні питання Таніями маститий француз Андре Вейл, що у той час був одним із кращих у світі фахівців у теорії чисел, дав цілком дипломатичну відповідь, що, мов, якщо допитливого Таніяму не покине ентузіазм, то, може бути, йому пощастить, і його неймовірна гіпотеза підтвердиться, але це, мабуть, трапиться не скоро. Загалом, як і багато інших видатних відкриттів, спочатку гіпотеза Таніями залишилася без уваги, тому що до неї ще не доросли - її майже ніхто не зрозумів. Один лише колега Таніями, Горо Шимура, добре знаючи свого обдарованого друга, інтуїтивно відчував, що його гіпотеза вірна.
Через три роки (1958) Ютака Таніяма покінчив життя самогубством (сильні, однак, у Японії самурайські традиції). З погляду здорового глузду - ніяк не розумний вчинок, особливо, якщо врахувати, що зовсім незабаром він збирався одружитися. Свою передсмертну записку лідер молодих японських математиків почав так: "Ще вчора я не думав про самогубство. Останнім часом мені часто доводилося чути від інших, що я втомився розумово й фізично. Взагалі ж я й зараз не розумію, навіщо це роблю..." і так далі на трьох аркушах. Жаль, звичайно, що так склалася доля цікавої людини, але все генії трошки дивакуваті - на те вони й генії (на думку чомусь спали слова Артура Шопенгауера: "у звичайному житті від генія стільки ж користі, як від телескопа в театрі"). Гіпотеза осиротіла. Ніхто не знав, як її довести.
Років десять про гіпотезу Таніями майже не згадували. Але на початку 70-х років вона стала популярною - її регулярно перевіряли всі, хто зміг у ній розібратися - і вона завжди підтверджувалася (як, власне, і теорема Ферма), але, як і колись, ніхто не міг її довести.
Дивний зв'язок двох гіпотез
Пройшло ще приблизно 15 років. В 1984 році відбулася одна ключова подія в житті математики, що об'єднало екстравагантну японську гіпотезу з Великою теоремою Ферма. Німець Герхард Фрей висунув цікаве твердження, схоже на теорему: "Якщо буде доведена гіпотеза Таніями, то буде доведена й Велика теорема Ферма". Інакше кажучи, теорема Ферма є наслідком гіпотези Таніями. (Фрей методом хитромудрих математичних перетворень звів рівняння Ферма до виду рівняння еліптичної кривої (тієї самої, котра фігурує й у гіпотезі Таніями), більш-менш обґрунтував своє припущення, але довести його не зміг). І от лише через півтора року (1986) професор каліфорнійського університету Кенет Рибет чітко довів теорему Фрея.
Що ж тепер вийшло? Тепер виявилося, що оскільки теорема Ферма вже точно є наслідком гіпотези Таніями, потрібно всього-на-всього довести останню, щоб зірвати лаври підкорювача легендарної теореми Ферма. Але гіпотеза виявилася непростою. До того ж у математиків за сторіччя з'явилася алергія на теорему Ферма, і багато хто з них вирішили, що впоратися з гіпотезою Таніями також буде практично неможливо.
Смерть гіпотези Ферма. Народження теореми
Пройшло ще 8 років. Одному прогресивному англійському професорові математики із Принстонского університету (Нью-Джерсі, США), Ендрю Уайлсу, здалося, що він знайшов доказ гіпотези Таніями. Якщо геній не лисий, то, як правило, скуйовджений та волохатий. Уайлс - скуйовджений, отже, схожий на генія. Увійти в історію, звичайно, заманливо й дуже хотілося, але Уайлс, як дійсний учений, не зваблювався, розуміючи, що тисячам фермістів до нього теж ввижалися примарні докази. Тому, перш, ніж представити свій доказ світу, він ретельно перевіряв його сам, але усвідомлюючи, що може мати суб'єктивну упередженість, залучав до перевірок також і інших, наприклад, під виглядом звичайних математичних завдань він іноді підкидав тямущим аспірантам різні фрагменти свого доказу. Пізніше Уайлс зізнався, що ніхто, крім його дружини не знав, що він працює над доказом Великої теореми.
І от після довгих перевірок і тяжких роздумів, Уайлс нарешті набрався хоробрості, а може, як йому самому здавалося, нахабності й 23 червня 1993 року на математичній конференції з теорії чисел у Кембриджі оголосив про своє велике досягнення.
Це, звичайно, була сенсація. Ніхто не очікував такої сміливості від маловідомого математика. Відразу з'явилася преса. Усіх мучив пекучий інтерес. Стрункі формули, як штрихи прекрасної картини, стали перед цікавими поглядами присутніх. Справжні математики дивляться на всякі рівняння й бачать у них не цифри, константи й змінні, а однаково, що вірші або музику чують, точно так само, як ми, читаючи книгу, дивимося на букви, але начебто б як їх і не зауважуємо, а відразу сприймаємо зміст тексту.
Презентація доказу, здавалося, пройшла успішно - помилок у ньому не знайшли - ніхто не почув ні однієї фальшивої ноти. Усі вирішили, що таки масштабна подія: доведена гіпотеза Таніями, а отже й Великої теореми Ферма. Але приблизно за два місяці, за кілька днів до того, як рукопис доказу Уайлса повинен була піти в тираж, у ньому було виявлено невідповідність (Кац, колега Уайлса, помітив, що один фрагмент міркувань опирався на "систему Ейлера", але те, що спорудив Уайлс, такою системою не було), хоча в цілому прийоми Уайлса були визнані цікавими, витонченими й новаторськими.
Уайлс проаналізував ситуацію й вирішив, що програв. Можна собі представити, як він всим своїм нутром відчув, що значить "від великого до смішного один крок". "Хотів увійти в Історію, а замість цього ввійшов до складу команди клоунів і комедіантів - самовпевнених фермістів" - приблизно такі думки вимотували його в той тяжкий період життя. Для нього, серйозного вченого-математика, це була трагедія, і він закинув свій доказ у довгий ящик.
Але от через рік з невеликим, у вересні 1994 року, під час міркування над тим вузьким місцем доказу разом зі своїм колегою Тейлором з Оксфорда, останнього по голові зненацька вгепала думка, що "систему Ейлера" можна поміняти на теорію Івасава (розділ теорії чисел). Тоді вони спробували скористатися теорією Івасава, обійшовшись без "системи Ейлера", і в них усе зійшлося. Виправлений варіант доказу був відданий на перевірку й через рік було оголошено, що в ньому все абсолютно чітко, без єдиної помилки. Улітку 1995 року в одному з головних математичних журналів - "Анали математики" - було опубліковано повний доказ гіпотези Таніями (отже, Великої теореми Ферма), що зайняло весь номер - понад сто аркушів. Доказ такий складний, що зрозуміти його цілком мали змогу всього лише декілька десятків чоловік в усьому світі.
Таким чином, наприкінці ХХ століття увесь світ визнав, що на 360 році свого життя Велика теорема Ферма, що насправді весь цей час була гіпотезою, є таки доведеною теоремою. Ендрю Уайлс довів Велику теорему Ферма й увійшов в Історію.
Подумаєш, довели якусь теорему...
Щастя першовідкривача завжди дістається комусь одному - це саме він останнім ударом молота розколює твердий горішок. Але не можна ігнорувати безліч попередніх ударів, які не одне сторіччя формували тріщину у Великій теоремі: Ейлера й Гауса (королів математики своїх часів), Еваріста Галуа (що встиг за своє коротке 21-річне життя заснувати теорії груп і полів, роботи якого були визнані геніальними лише після його смерті), Анрі Пуанкаре (засновника не тільки вигадливих модулярних форм, але й конвенціоналізму - філософського напрямку), Давида Гільберта (одного з найсильніших математиків ХХ століття), Ютаку Таніяму, Горо Шимуру, Мордела, Фальтінґса, Ернста Кумера, Барі Мазура, Герхарда Фрея, Кена Ріббета, Річарда Тейлора й інших достойних учених (не побоюся цих слів).
Доказ Великої теореми Ферма можна поставити в один ряд з такими досягненнями ХХ століття, як винахід комп'ютера, ядерної бомби й польоту в космос. Хоч про нього й не так широко відомо, тому що він не потрапляє в поле наших повсякденних інтересів, як наприклад, телевізор або електрична лампочка, але він явився спалахом наднової зірки, що, як і всі непорушні істини, завжди буде світити людству.
Ви можете сказати: "Подумаєш, довели якусь теорему, кому це треба?". Справедливе питання. Отут у точності згодиться відповідь Давіда Гілберта. Коли на питання: "яке завдання зараз для науки є найбільш важливим?", він відповів: "піймати муху на звороті Місяця", його резонно запитали: "А кому це треба?", він відповів так: "Це нікому не треба. Але подумайте над тим, скільки важливих найскладніших завдань треба вирішити, щоб це здійснити". Подумайте, скільки завдань за 360 років змогло вирішити людство, перш, ніж довести теорему Ферма. У пошуках її доказу була відкрита чи ледве не половина сучасної математики. Треба також урахувати, що математика - авангард науки (і, до речі, єдина з наук, що будується без єдиної помилки), і будь-які наукові досягнення й винаходи починаються саме тут. Як помітив Леонардо да Вінчі, "наукою можна визнати лише те вчення, що підтверджується математично".
* * *
А тепер давайте повернемося на початок нашої історії, згадаємо запис П?єра Ферма на полях підручника Діофанта й ще раз задамося питанням: чи Дійсно Ферма довів свою теорему? Цього ми, звичайно, не можемо знати напевно, і як у будь-якій справі тут виникають різні версії:
Версія 1: Ферма довів свою теорему. (На питання: " чи мав Ферма точно такий же доказ своєї теореми?", Ендрю Уайлс сказав: "Ферма не міг мати у своєму розпорядженні такий доказ. Це доказ ХХ століття". Ми з вами розуміємо, що в XVII столітті математика, звичайно ж, була не та, що наприкінці ХХ століття - у ту епоху д?Артаньяна, цариця наук ще не мала тих відкриттів (модулярні форми, теорема Таніями, Фрея та ін.), які тільки й дозволили довести Велику теорему Ферма. Звичайно, можна припустити: чим чорт не жартує - а раптом Ферма здогадався іншим шляхом? Ця версія хоч і ймовірна, але за оцінками більшості математиків, майже неможлива);
Версія 2: П?єру Ферма здалося, що він довів свою теорему, але в його доказі були помилки. (Тобто, сам Ферма був також і першим фермістом);
Версія 3: Ферма свою теорему не довів, а на полях просто збрехав.
Якщо вірна одна із двох останніх версій, що найбільше імовірно, то тоді можна зробити простий висновок: великі люди, вони хоч і великі, але теж можуть помилятися або іноді трошки прибрехати (в основному цей висновок буде корисний для тих, хто схильний безроздільно довіряти своїм кумирам й іншим володарям думок). Тому, читаючи здобутки авторитетних синів людства або слухаючи їхні пафосні виступи, ви маєте повне право сумніватися в їхніх твердженнях. (Прошу відмітити, що сумніватися - не значить відкидати).
Фелікс Кірсанов
мшф Петро Новосад