Задачка по математике

[bravchick]

А вот еще замечательная задачка по математике. Скорее всего хорошо известная. Но я почему-то ее в свое олимпиадное детство пропустил:  на листе бумаги поставили кляксу сложной формы, площадь которой меньше 1 кв. см.  Доказать, что можно нарисовать на бумаге сетку из квадратов размером 1х1 см. так, что ни одна вершина сетки не попадет на кляксу. 

Comments

[southwest]

мне кажется, будет верным более сильное утверждение: любую заранее нарисованную сетку из квадратов 1х1 можно будет перенести параллельно (без поворотов) так, что выполнится это условие

[bravchick]

Ну да, это тоже верно

[southwest]

кстати, не обязательно также иметь кляксу сложной формы, для клякс простой формы это тоже верно :)

[kramian]

Да, и так проще! Потому что такие сетки а)однозначно соответствуют точкам в единичном квадратике и б) у них нет общих узелков. Если узелок какой-нибудь сетки попал на кляксу, то можно зачернить соотв. точку в единичном квадратике. И раз у разных сеток разные узелки, то таких зачерненных точек будет не больше, чем точек в кляксе.

Я даже не знаю, как прямо доказать исходное утверждение, не доказывая сперва вот это более сильное.

более деликатный вариант

[a_shen]

(тоже известный) - что если в шаре 10% испачкано, то можно вписать куб так, чтобы все вершины были чистыми

Re: более деликатный вариант

[mmazin]

радиус шара равен стороне куба?

шар, естественно,

[a_shen]

такой, чтобы его вообще можно было вписать в куб (это однозначно определяет радиус, но не сторона, а половина главной диагонали)

[southwest]

вы хотите сказать куб вписать в шар?

испачкано 10% поверхности куба?

проекция на тор

[falcao]

А я помню этот тип задач! Была целая серия таких -- включая вписывание куба и прочее.

Мне кажется, что в "школьной" формулировке лучше говорить о том, что лист бумаги забрызгали, и сумма площадей получившихся клякс такая-то. Это у нас в сознании клякса = фигура, а последняя не обязательно связна. А школьник "по умолчанию" может подразумевать это условие, хотя оно здесь не нужно.

[shkrobius]

А у меня была другая любимая задача про кляксу. Пусть есть клякса и отрезок АВ такой, что он лежит вне кляксы; прямая АВ разбивает кляксу. Используя только линейку, продолжить АВ за кляксой.

[shkrobius]

...не перечеркивая кляксу, разумеется.

[russhatter]

Мне кажет, полезно было бы оговорить, что решётку можно только двигать. А то ведь если решетку можно еще и поворачивать, клякса может быть ещё больше; по крайней мере, мне так кажется.

[rus4]

Это кстати интересный вопрос, можно ли увеличить площадь кляксы. Измеримых множеств, образ которых при любом движении содержит ровно одну точку решетки, не существует (такое множество обязательно имело бы меру 1), а неизмеримые существуют (то и другое не очевидно). Но отсюда не следует, что не существует множеств меры сколь угодно близкой к 1, для которых образ при любом движении содержит хотя бы одну целую точку.

[russhatter]

Возможно, я неправильно понял, но если не разрешать повороты, то оба контрпримера по обобщениям тривиальны:
- клякса в форме единичного квадрата пересекается с любой решёткой с теми же направляющими.
- фиксируем решётку, рисуем кляксу в виде маленьких кружочков вокруг вершин решётки; таким образом мы можем сделать какую угодно большую по площади кляксу: дорисовывание кружочка над очередной вершиной ничего не меняет, они все при проекции на фактор-тор проецируются в один и тот же маленький кружочек, а из любой другой точки фактор-тора делается по решётке.

[rus4]

Движения - это в том числе и повороты. Существует ли множество площади 1.0000001, которое при любом повороте содержит целую точку?