Двумерная задача: плавание квадратика в жидкости
Досточтимый hyperpov восстановил сделанный им несколько лет назад исключительно занятный файл:
плавание двумерного квадратика в жидкости.
Квадрат имеет равномерную плотность; в файле 1000 картинок: плотность квадратика меняется от 0 до 0,999 с шагом в 0,001. Квадратик плавает в жидкости с плотностью 1. Можно сделать размер окошка по размеру картинки и пролистывать файл клавишами "Page Up" и "Page Down" - все будет работать как мультипликация.
При некоторых значениях плотности симметричное положение квадратика не будет состоянием устойчивого равновесия.
Ссылка для скачивания https://www.dropbox.com/s/yktrk5hlc88te22/brus.pdf
Материалы по теме
https://biglebowsky.livejournal.com/94265.html
https://engineering-ru.livejournal.com/362071.html
https://www.youtube.com/watch?time_continue=1&v=8_nTLIuk6Hk
https://www.youtube.com/watch?v=LJevke4_i5Y
Update.
Был задан вопрос - а что будет в случае 3D задачи: длинный брус квадратного сечения?
Если я не налепил ошибок (а я мог их налепить), то расчет выглядит так.
Упростим жизнь - введем предположение (не всегда правильное), что квадратное сечение оказалось в "прямом" положении. Смотрим на брус сбоку.
Предположим, что брус плавает горизонтально и в этой проекции. Будет ли такое положение устойчивым?
L - длина
H - высота
h - глубина погруженной части
ρ - относительная плотность бруса, H*ρ=h
a (aspect ratio) - удлинение бруса, a = L/H
Высота от "киля" (Keel) до ЦТ бруса (Gravity) K_G = H/2
Высота от "киля" до центра плавучести бруса (Bouyancy) K_B = h/2
Момент инерции ватерлинии (относительно оси через середину бруса) I = L3/12
https://en.wikipedia.org/wiki/Second_moment_of_area
Объем погруженной части V = L*h
Высота от "киля" до метацентра (Metacentre) K_M = K_B + I/V https://en.wikipedia.org/wiki/Metacentric_height
Высота от ЦТ до метацентра (она же - метацентрическая высота) G_M = K_M - K_G
Мы хотим, чтобы метацентрическая высота была положительной G_M > 0
Подставляем.
h/2 + L3/(12Lh) - H/2 > 0
Домножим на 2h и поменяем местами второе и третье слагаемые
h2 - Hh + L2/6 > 0
Замена: h=ρH
ρ2H2 - ρH2 + L2/6 > 0
Делим на H2
ρ2 - ρ + L2/(6 H2) > 0
Замена: L/H = a
ρ2 - ρ + a2/6 > 0
Дискриминант D = 1 - 4a2/6
Требуем, чтобы D<0
(2/3) a2 > 1
a2 > 3/2
Таким образом (если я ничего не напутал): в рассмотренной задачке, начиная с некоторого удлинения, на виде сбоку горизонтальное положение бруса устойчиво независимо от плотности.
Далее, конечно, нужно рассмотреть более хитрую задачку - одновременное кренение по 2 осям.
Однако, вроде бы, по структуре формул можно ожидать чего-то подобного решению для простейшего случая: начиная с некоторого удлинения, на виде сбоку горизонтальное положение должно быть устойчивым.
плавание двумерного квадратика в жидкости.
Квадрат имеет равномерную плотность; в файле 1000 картинок: плотность квадратика меняется от 0 до 0,999 с шагом в 0,001. Квадратик плавает в жидкости с плотностью 1. Можно сделать размер окошка по размеру картинки и пролистывать файл клавишами "Page Up" и "Page Down" - все будет работать как мультипликация.
При некоторых значениях плотности симметричное положение квадратика не будет состоянием устойчивого равновесия.
Ссылка для скачивания https://www.dropbox.com/s/yktrk5hlc88te22/brus.pdf
Материалы по теме
https://biglebowsky.livejournal.com/94265.html
https://engineering-ru.livejournal.com/362071.html
https://www.youtube.com/watch?time_continue=1&v=8_nTLIuk6Hk
https://www.youtube.com/watch?v=LJevke4_i5Y
Update.
Был задан вопрос - а что будет в случае 3D задачи: длинный брус квадратного сечения?
Если я не налепил ошибок (а я мог их налепить), то расчет выглядит так.
Упростим жизнь - введем предположение (не всегда правильное), что квадратное сечение оказалось в "прямом" положении. Смотрим на брус сбоку.
Предположим, что брус плавает горизонтально и в этой проекции. Будет ли такое положение устойчивым?
L - длина
H - высота
h - глубина погруженной части
ρ - относительная плотность бруса, H*ρ=h
a (aspect ratio) - удлинение бруса, a = L/H
Высота от "киля" (Keel) до ЦТ бруса (Gravity) K_G = H/2
Высота от "киля" до центра плавучести бруса (Bouyancy) K_B = h/2
Момент инерции ватерлинии (относительно оси через середину бруса) I = L3/12
https://en.wikipedia.org/wiki/Second_moment_of_area
Объем погруженной части V = L*h
Высота от "киля" до метацентра (Metacentre) K_M = K_B + I/V https://en.wikipedia.org/wiki/Metacentric_height
Высота от ЦТ до метацентра (она же - метацентрическая высота) G_M = K_M - K_G
Мы хотим, чтобы метацентрическая высота была положительной G_M > 0
Подставляем.
h/2 + L3/(12Lh) - H/2 > 0
Домножим на 2h и поменяем местами второе и третье слагаемые
h2 - Hh + L2/6 > 0
Замена: h=ρH
ρ2H2 - ρH2 + L2/6 > 0
Делим на H2
ρ2 - ρ + L2/(6 H2) > 0
Замена: L/H = a
ρ2 - ρ + a2/6 > 0
Дискриминант D = 1 - 4a2/6
Требуем, чтобы D<0
(2/3) a2 > 1
a2 > 3/2
Таким образом (если я ничего не напутал): в рассмотренной задачке, начиная с некоторого удлинения, на виде сбоку горизонтальное положение бруса устойчиво независимо от плотности.
Далее, конечно, нужно рассмотреть более хитрую задачку - одновременное кренение по 2 осям.
Однако, вроде бы, по структуре формул можно ожидать чего-то подобного решению для простейшего случая: начиная с некоторого удлинения, на виде сбоку горизонтальное положение должно быть устойчивым.