три чуда линейной алгебры

[avva]

У известного венгерского математика Ласло Бабаи есть, оказывается, учебник линейной алгебры, еще не дописанный до конца, под названием "Discover Linear Algebra". Большинство доказательств в нем дается в виде упражнений

Comments

[livelight]

А может, мы просто не понимаем суть линейки, потому она и полна для нас чудесами. Описываем хобот и уши и удивляемся, какие они, хотя из слона (которого мы не видим) они следуют однозначно.

Впрочем, квантовые физики (некоторые) давно признали, что они не понимают суть квантовой физики, поэтому - shut up and calculate!

[enemyoflj]

Точки удивления очень правильные. А задачи такие я не люблю. При чём тут простые показатели? Почему не точные квадраты, не числа, название которых на русском языке начинается с буквы "с"? Как сказал по поводу какой-то такой задачи мой товарищ - "честнее надо быть".

Вот вам до кучи

[hyperpov]

Какова бы ни была квадратная матрица A с элементами в каком угодно поле, найдется такая невырожденная матрица B того же размера и с элементаи из того же поля, что AB=BAT, где T обозначает транспонирование. Особенно удивительно в данном примере то, что несмотря на простую формулировку, не существет такого простого доказательства, как в случаях с рангом или ортонормальностью.

[hyperpov]

Вот еще вспомнил. Возьмем n-мерный куб и ортогонально спроецируем его на два нетривиальных подпространства, являющиеся ортогональными дополнениями друг друга. Сюрприз: объемы проекций равны. (Объем - в смысле соответствующей размерности. Так, объем отрезка - это его длина, объем плоского многоугольника - площадь.)

[spin_one_half]

Скажите, а где об этом можно прочитать?

[hyperpov]

К сожалению, не знаю источников по этой конкретной задаче. Раздел линейной алгебры, упражнением к которому она может быть, находится по ключевым словам «внешняя алгебра» и «плюккеровы координаты».

[a_konst]

А как сравнивать объемы в разных размерностях?
Или этот факт только для четного n и подпространств строго половинной размерности?

[vida_louca]

Удивляет, что в пространство меньшей размерности нельзя вставить пространство большей?
Наверное, для этого нужно быть математиком...

[akor168]

Дело в том что без линейности это возможно. Например можно однозначно отобразить пространство любой конечной размерности(и даже кое какие бесконечной) на одномерную прямую.

[niktoinikak]

???????????????? Если множества - да. Но пространство - вряд ли. Т е топологическое пространство конечной размерности вряд ли может содержать подпространство большей размерности. Просто по определению.

[hyperpov]

Это смотря какие пространства рассматривать и как размерность определять.