разобрать на кусочки
Недавно попалась одна математическая задачка, которая хорошо иллюстрирует философскую (а может, психологическую, не уверен) проблему, которая мне то и дело мешает. Попробую объяснить подробно на этом примере.
Задача такая. В классе 20 учеников, которые собираются в разные клубы. В каждом клубе нечетное число членов, но если взять любые два разных клуба, число общих членов между ними - тех, кто в обоих клубах - будет всегда четным (0 тоже четное число). Докажите, что клубов не более 20.
Эта задача примечательна тем, что у нее есть простое и понятное решение, но оно использует язык высшей математики и только знакомым с ней будет простым и понятным. Я сейчас это решение процитирую, но если вы в нем ничего не понимаете, можете пропустить, дальше я не буду о нем говорить. А если понимаете, то может оценить его краткость и красоту.
Решение такое: каждый клуб это вектор в линейном пространстве размерности 20 над полем из двух элементов {0,1}. В качестве набора векторов клубы линейно независимы, потому что любая сумма клубов ненулевая (возьмите скалярное произведение с одним из векторов в сумме; из условий про четность и нечетность сразу видно, что произведение с самим собой равно 1, с любым другими клубом 0). Значит, их не больше 20.
Такая ситуация - что для решения относительно элементарного вопроса прибегают к более "мощной" и одновременно более абстрактной математике, использующей понятия, вообще не встречающиеся казалось бы в вопросе (поле, векторное пространство, линейная независимость, размерность) - совершенно обыденна в математике, встречается каждый день, и ничего плохого в ней нет. Даже больше того. Во-первых, применение более абстрактных понятий к более конкретным проблемам - одна из главных причин, зачем эти более абстрактные понятия придумали и ввели. Во-вторых, связи между разными областями математического знания - одно из самых глубоких свойств математики и одно из самых важных для ее развития.
И все-таки что-то мне в этом решении не нравится. Есть у меня проблема с ним. Я прекрасно его понимаю, нахожу красивым, ценю и осознаю, что оно решает задачу; но задача остается *необъясненной*. Непонятно, почему - в терминах клубов и членов - клубов не может быть больше 20. Применение теоремы о размерности и линейной независимости в линейной алгебре не отвечает на этот вопрос, не дает объяснения. Когда я вижу такое решение, мне неизбежно хочется, не знаю, как это сформулировать, может "вытянуть его обратно", может "разобрать на кусочки" - короче, показать, как именно абстрактное доказательство преобразуется в конкретный аргумент в терминах клубов и членов. Мне кажется, что пока это не сделано, решение в некотором смысле неправильное. Неправильное не в смысле "неверное", а в смысле "не такое, как хочется", эстетическом что ли смысле.
Это очень сильное ощущение, вполне вероятно, контрпродуктивно. Мне кажется - не знаю, как это проверить, может, математики, читающие это, выскажутся - что у профессиональных математиков вряд ли есть такое стремление. Их, наверное, полностью удовлетворяет решение через векторное пространство, и нет соблазна "разобрать его на кусочки". И то сказать, такой разбор, даже если возможен, совершенно необязательно даст что-то интересное и важное для понимания. Скорее нет, чем да, полагаю. Но мне все равно всегда хочется его провести, потому что без него я будто не понимаю *на самом деле* доказательство или решение. Вот такая проблема.
(поставлю в скобки еще один пример для математиков, прошу прощения у других: я когда-то писал о том, как меня поразило в юношестве доказательство в книге Вейля того, что размер конечного поля всегда степень простого числа, в две строки (находим простое подполе, т.е. все элементы 0, 1, 1+1 итд.; его размер простое число, чтобы не было делителей нуля, и все поле является векторным пространством над ним). Я очень люблю этот аргумент, считаю его бесконечно красивым, и все равно, когда я вспоминаю его, мне хочется ответить на вопрос: "но если я возьму например 80 элементов и попытаюсь определить на них операции + и *, что именно помешает им выполнять аксиомы поля? Где - на элементарном уровне - проявится эта доказанная на более абстрактном уровне невозможность?" Пример вопроса, который математики себе, мне кажется, не задают)
Конечно, есть случаи - и с настоящей математикой обычно так - когда ясно, что 'разобрать на кусочки' если и возможно теоретически, все равно ничего полезного не принесет. В 80-х годах Фрей и Серр предложили, а Рибет доказал, связь между Великой теоремой Ферма и гипотезой Таниямы-Шимуры в математике эллиптических кривых и модулярных форм. В 1995-м Эндрю Уайлс доказал частичный вариант гипотезы Таниямы-Шимуры, которого хватило таким образом для доказательства Великой теоремы Ферма. Понятно, что попытка взять это доказательтство и "перевести" его целиком на язык натуральных чисел, чтобы ответить на вопрос, *почему все-таки* невозможно x^n+y^n=z^n - глупая и невыполнимая идея. В качестве противоположного примера - есть известное шуточное доказательство Фюрстенберга бесконечности простых чисел, через топологическое пространство. Его достаточно просто "разобрать на кусочки" и показать, что по сути за ним скрывается все то же стандартное доказательство, а топология просто красивым образом его драпирует.
В задаче про клубы - является ли использование линейной алгебры глубоким и существенным, как в случае теоремы Ферма (как ни смешно такое сравнение), или необязательной драпировкой, как в случае доказательства Фюрстенберга? Я не знаю, как на это ответить, кроме как попытаться "разобрать на кусочки" абстрактное доказательство. Для меня это оказалось нелегким делом, заняло несколько часов раздумий и набросков и неоднократного запутывания себя, и в итоге получилось решение, вроде бы верное, которое можно назвать элементарным, но оно гораздо длиннее того простого, что выше, и совсем не факт, что "объясняет" что-то лучше. Математик все равно увидит в нем следы линейно-алгебраических идей. Так стоило ли городить огород? Не знаю.
Задача такая. В классе 20 учеников, которые собираются в разные клубы. В каждом клубе нечетное число членов, но если взять любые два разных клуба, число общих членов между ними - тех, кто в обоих клубах - будет всегда четным (0 тоже четное число). Докажите, что клубов не более 20.
Эта задача примечательна тем, что у нее есть простое и понятное решение, но оно использует язык высшей математики и только знакомым с ней будет простым и понятным. Я сейчас это решение процитирую, но если вы в нем ничего не понимаете, можете пропустить, дальше я не буду о нем говорить. А если понимаете, то может оценить его краткость и красоту.
Решение такое: каждый клуб это вектор в линейном пространстве размерности 20 над полем из двух элементов {0,1}. В качестве набора векторов клубы линейно независимы, потому что любая сумма клубов ненулевая (возьмите скалярное произведение с одним из векторов в сумме; из условий про четность и нечетность сразу видно, что произведение с самим собой равно 1, с любым другими клубом 0). Значит, их не больше 20.
Такая ситуация - что для решения относительно элементарного вопроса прибегают к более "мощной" и одновременно более абстрактной математике, использующей понятия, вообще не встречающиеся казалось бы в вопросе (поле, векторное пространство, линейная независимость, размерность) - совершенно обыденна в математике, встречается каждый день, и ничего плохого в ней нет. Даже больше того. Во-первых, применение более абстрактных понятий к более конкретным проблемам - одна из главных причин, зачем эти более абстрактные понятия придумали и ввели. Во-вторых, связи между разными областями математического знания - одно из самых глубоких свойств математики и одно из самых важных для ее развития.
И все-таки что-то мне в этом решении не нравится. Есть у меня проблема с ним. Я прекрасно его понимаю, нахожу красивым, ценю и осознаю, что оно решает задачу; но задача остается *необъясненной*. Непонятно, почему - в терминах клубов и членов - клубов не может быть больше 20. Применение теоремы о размерности и линейной независимости в линейной алгебре не отвечает на этот вопрос, не дает объяснения. Когда я вижу такое решение, мне неизбежно хочется, не знаю, как это сформулировать, может "вытянуть его обратно", может "разобрать на кусочки" - короче, показать, как именно абстрактное доказательство преобразуется в конкретный аргумент в терминах клубов и членов. Мне кажется, что пока это не сделано, решение в некотором смысле неправильное. Неправильное не в смысле "неверное", а в смысле "не такое, как хочется", эстетическом что ли смысле.
Это очень сильное ощущение, вполне вероятно, контрпродуктивно. Мне кажется - не знаю, как это проверить, может, математики, читающие это, выскажутся - что у профессиональных математиков вряд ли есть такое стремление. Их, наверное, полностью удовлетворяет решение через векторное пространство, и нет соблазна "разобрать его на кусочки". И то сказать, такой разбор, даже если возможен, совершенно необязательно даст что-то интересное и важное для понимания. Скорее нет, чем да, полагаю. Но мне все равно всегда хочется его провести, потому что без него я будто не понимаю *на самом деле* доказательство или решение. Вот такая проблема.
(поставлю в скобки еще один пример для математиков, прошу прощения у других: я когда-то писал о том, как меня поразило в юношестве доказательство в книге Вейля того, что размер конечного поля всегда степень простого числа, в две строки (находим простое подполе, т.е. все элементы 0, 1, 1+1 итд.; его размер простое число, чтобы не было делителей нуля, и все поле является векторным пространством над ним). Я очень люблю этот аргумент, считаю его бесконечно красивым, и все равно, когда я вспоминаю его, мне хочется ответить на вопрос: "но если я возьму например 80 элементов и попытаюсь определить на них операции + и *, что именно помешает им выполнять аксиомы поля? Где - на элементарном уровне - проявится эта доказанная на более абстрактном уровне невозможность?" Пример вопроса, который математики себе, мне кажется, не задают)
Конечно, есть случаи - и с настоящей математикой обычно так - когда ясно, что 'разобрать на кусочки' если и возможно теоретически, все равно ничего полезного не принесет. В 80-х годах Фрей и Серр предложили, а Рибет доказал, связь между Великой теоремой Ферма и гипотезой Таниямы-Шимуры в математике эллиптических кривых и модулярных форм. В 1995-м Эндрю Уайлс доказал частичный вариант гипотезы Таниямы-Шимуры, которого хватило таким образом для доказательства Великой теоремы Ферма. Понятно, что попытка взять это доказательтство и "перевести" его целиком на язык натуральных чисел, чтобы ответить на вопрос, *почему все-таки* невозможно x^n+y^n=z^n - глупая и невыполнимая идея. В качестве противоположного примера - есть известное шуточное доказательство Фюрстенберга бесконечности простых чисел, через топологическое пространство. Его достаточно просто "разобрать на кусочки" и показать, что по сути за ним скрывается все то же стандартное доказательство, а топология просто красивым образом его драпирует.
В задаче про клубы - является ли использование линейной алгебры глубоким и существенным, как в случае теоремы Ферма (как ни смешно такое сравнение), или необязательной драпировкой, как в случае доказательства Фюрстенберга? Я не знаю, как на это ответить, кроме как попытаться "разобрать на кусочки" абстрактное доказательство. Для меня это оказалось нелегким делом, заняло несколько часов раздумий и набросков и неоднократного запутывания себя, и в итоге получилось решение, вроде бы верное, которое можно назвать элементарным, но оно гораздо длиннее того простого, что выше, и совсем не факт, что "объясняет" что-то лучше. Математик все равно увидит в нем следы линейно-алгебраических идей. Так стоило ли городить огород? Не знаю.