о детской математике
Педагогика как наука об образовании страдает от двух фундаментальных проблем. Во-первых, в первом приближении никого ничему нельзя научить, поэтому вся затея бессмысленна. Во-вторых, даже если изредка чему-то можно, этот процесс очень трудно оценить, измерить и подвергнуть точному экспериментальному сравнению - еще труднее, чем в психологии; поэтому педагогика рассыпается на конгломерат разных "школ", "подходов" и "методик", которые соревнуются друг с другом в основном по внешней риторической убедительности, чем по реальной эффективности, и меняются случайным образом по велению моды и со сменой поколений.
Вместе с тем, за последние 50-100 лет среди теоретиков педагогики оказалось по разным причинам немало умных и деятельных людей, и поэтому отдельные статьи в этой дисциплине бывают очень интересными, поучительными, полными восхитительных фактов и опытов. Сегодня мне в очередной раз попалась правдивая история, которую уже встречал в прошлом в англоязычных статьях о преподавании математики в младших классах.
Младшеклассникам предложили следующую задачу:
На борту корабля 26 овец и 10 коз. Сколько лет капитану?
Из 97 учеников 76 дали ответ на этот вопрос, так или иначе используя исходные данные (видимо, наиболе частым ответом было 36). Лишь незначительное меньшинство ответили, что задача бессмысленная или что они не могут ее решить.
В этой истории выпукло, емко, смешно проявляется знакомая учителям привычка учеников манипулировать числами, не вдумываясь в смысл задачи. Неудивительно, что она кочует из статьи в статью. Кстати, в 2018-м году был небольшой всплеск статей в СМИ, когда эта задача обнаружилась в контрольной по математике в глубинке Китая и рассмешила Интернет. Об этом написали в частности BBC и российские источники, но незамеченным остался факт, что ровно в этом виде она известна с 80-х в профессиональной литературе педагогов.
Сегодня я добрался до первоисточника (это не было тяжело, всего лишь цепочка из 4 ссылок), который оказался по-французски - отчет за 1980-й год института педагогики IREM в Гренобле. За годы пересказов история не исказилась, что прекрасно, но в первоисточнике оказалось все-таки немало интересного дополнительного контекста. Во-первых, пораженные этим первым обстоятельством, французские педагоги составили еще несколько задач подобного рода и систематически опросили учеников 7-10 лет.
Например: в овчарне 125 овец и 5 собак, сколько лет пастуху? Ученик объясняет свое решение: "сначала я попробовал 125+5, но это слишком большой возраст, потом 125-5, тоже не подходит. Зато 125/5=25 подходит для возраста. Поэтому я уверен в своем ответе."
Во-вторых, важный нюанс (почему всегда должны быть нюансы? Почему ничто не может быть тупо однозначным?): в целом только среди учеников 2-3 классов (7-8 лет) подавляющее большинство делали какие-то действия с цифрами и писали ответ. Среди учеников 4-5 классов (9-10 лет), наоборот, уже большинство писали, что не могут решить задачу или она кажется неправильной.
Может, вам кажется, что у знакомых вам школьников все будет по-другому, и это такая случайность, или французский национальный дух, или то, что 1980 был годом обезьяны, или еще что? Пишет некая блоггерша 10 лет назад, о которой ничего не знаю, даже не знаю, где преподавала (ее результат для 5-8 классов более пессимистичен, чем исходный французский!):
"Мне такие результаты показались печальными и даже неправдоподобными, и я решила провести свой небольшой эксперимент. Скажу честно, я была просто уверена, что мои дети посмеются с этой задачи и не станут ее решать. Не тут-то было!!! Все 24 человека, ученики с 5-го по 8-й класс, долго и методично пытались разгадать тайну возраста капитана. Ответы варьировались от 2,6 до 287 лет. Только двое наконец сказали, что ответа у этой задачи нет. Но им никто не поверил: раз есть задача, должно быть и решение."
====================================================
И все-таки мне не очень нравится этот эксперимент, несмотря на всю его выпуклость. Как раз по той причине, которую указала блоггерша: "Раз есть задача, должно быть и решение". Дети к этому приучены, и авторитет учителя заставляет их предположить, что какое-то решение есть. Трудно - невозможно - отделить случай "вообще не вник в условие, сложил два числа, как обычно требуется" от случая "выглядит бредом, но они хотят, чтобы я что-то сделал, и надо дать какой-то ответ, от фонаря попробую сложить". Эксперимент не чистый.
Поэтому мне больше нравится другая задача в том же духе, которую вычитал в одной из статей, которые пролистал в проходе по цепочке к первоисточнику задачи про возраст капитана. Это задача про хобби учеников. Сначала условие, и решите сами перед тем, как продолжать читать - далее я объясню, чем она интересна.
Класс из 30 учеников попросили ответить, есть ли у них хобби читать или играть на музыкальном инструменте в свободное время. Результаты: 16 учеников читают, 13 занимаются музыкой, 5 не занимаются ни тем ни другим.
1. Сколько учеников и читают, и занимаются музыкой?
2. Сколько из тех, кто занимается музыкой, не читают?
3. Сколько из тех, кто читает, не занимается музыкой?
Теперь объясню, что интересно в этой задаче (вы ведь уже ответили для себя на все три вопроса, верно?)
Автор статьи предложил эту задачу 56 ученикам 5-8 классов и получил следующий результат, который я бы никогда не предсказал. 100% учеников правильно ответили на первый вопрос (ответ: 4), но только 25% правильно ответили на второй, и столько же на третий. В обоих случаях самым частым неправильным ответом было тоже 4, плюс многие просто не ответили.
Меня это удивило поначалу, потому что я не мог понять, как можно правильно ответить на первый вопрос и после этого затрудниться с остальными. Автор объясняет это так (и вроде бы объяснения самих учеников эту версию поддерживают). Большинство складывают 16+13+5, получают 34, т.е. на 4 больше, "чем надо", и поэтому "понимают", что 4 это правильный ответ на первый вопрос. Но при этом модели ситуации в голове у них не возникает, т.е. они не видят диаграмму Венна или другое деление на группы. По сути дела они манипулируют числами, не пытаясь продумать смысл задачи, и неверные ответы на 2-3 вопросы это демонстрируют.
Я повторил этот эксперимент на очень репрезентативной отборке n=1 (ученица 5 класса) и подтвердил результаты исходной статьи. Ю. быстро ответила "4" на первый вопрос, но надолго задумалась над вторым и третьим; сначала пыталась объяснить, что это невозможно узнать, а потом решила, что ответ будет 16 и 13. Кстати, полагаю, что многие ученики, не продумывающие модель вопроса, не понимают сознательно, что между 16 и 13 есть пересечение (казалось бы, их верный ответ на первый вопрос предполагает это, но может быть, они представляют это, не продумывая как следует, что "и то и другое" это отдельный вид ответа, не указанный в условии). Только когда я попросил Ю. как следует еще раз подумать над условием задачи и над тем, что означают числа '16', '13' и '5' и какие ученики в них входят, она дошла - не сразу - до правильного ответа на второй и третий вопросы; и тогда по ее объяснениям уже было понятно, что она построила правильную "картинку" в голове, которой вначале, несмотря на правильный ответ на первый вопрос, у нее не было.
Мораль та же, что с задачей про возраст капитана - ученики привыкают бездумно проводить арифметические операции и выдавать "логичный" ответ; для того, чтобы научить их решать задачи, важно проверять и форсировать их умение строить модели в голове - но эксперимент более чистый, потому что нет загрязняющего фактора "авторитет учителя заставляет игнорировать сущий абсурд".
Вместе с тем, за последние 50-100 лет среди теоретиков педагогики оказалось по разным причинам немало умных и деятельных людей, и поэтому отдельные статьи в этой дисциплине бывают очень интересными, поучительными, полными восхитительных фактов и опытов. Сегодня мне в очередной раз попалась правдивая история, которую уже встречал в прошлом в англоязычных статьях о преподавании математики в младших классах.
Младшеклассникам предложили следующую задачу:
На борту корабля 26 овец и 10 коз. Сколько лет капитану?
Из 97 учеников 76 дали ответ на этот вопрос, так или иначе используя исходные данные (видимо, наиболе частым ответом было 36). Лишь незначительное меньшинство ответили, что задача бессмысленная или что они не могут ее решить.
В этой истории выпукло, емко, смешно проявляется знакомая учителям привычка учеников манипулировать числами, не вдумываясь в смысл задачи. Неудивительно, что она кочует из статьи в статью. Кстати, в 2018-м году был небольшой всплеск статей в СМИ, когда эта задача обнаружилась в контрольной по математике в глубинке Китая и рассмешила Интернет. Об этом написали в частности BBC и российские источники, но незамеченным остался факт, что ровно в этом виде она известна с 80-х в профессиональной литературе педагогов.
Сегодня я добрался до первоисточника (это не было тяжело, всего лишь цепочка из 4 ссылок), который оказался по-французски - отчет за 1980-й год института педагогики IREM в Гренобле. За годы пересказов история не исказилась, что прекрасно, но в первоисточнике оказалось все-таки немало интересного дополнительного контекста. Во-первых, пораженные этим первым обстоятельством, французские педагоги составили еще несколько задач подобного рода и систематически опросили учеников 7-10 лет.
Например: в овчарне 125 овец и 5 собак, сколько лет пастуху? Ученик объясняет свое решение: "сначала я попробовал 125+5, но это слишком большой возраст, потом 125-5, тоже не подходит. Зато 125/5=25 подходит для возраста. Поэтому я уверен в своем ответе."
Во-вторых, важный нюанс (почему всегда должны быть нюансы? Почему ничто не может быть тупо однозначным?): в целом только среди учеников 2-3 классов (7-8 лет) подавляющее большинство делали какие-то действия с цифрами и писали ответ. Среди учеников 4-5 классов (9-10 лет), наоборот, уже большинство писали, что не могут решить задачу или она кажется неправильной.
Может, вам кажется, что у знакомых вам школьников все будет по-другому, и это такая случайность, или французский национальный дух, или то, что 1980 был годом обезьяны, или еще что? Пишет некая блоггерша 10 лет назад, о которой ничего не знаю, даже не знаю, где преподавала (ее результат для 5-8 классов более пессимистичен, чем исходный французский!):
"Мне такие результаты показались печальными и даже неправдоподобными, и я решила провести свой небольшой эксперимент. Скажу честно, я была просто уверена, что мои дети посмеются с этой задачи и не станут ее решать. Не тут-то было!!! Все 24 человека, ученики с 5-го по 8-й класс, долго и методично пытались разгадать тайну возраста капитана. Ответы варьировались от 2,6 до 287 лет. Только двое наконец сказали, что ответа у этой задачи нет. Но им никто не поверил: раз есть задача, должно быть и решение."
====================================================
И все-таки мне не очень нравится этот эксперимент, несмотря на всю его выпуклость. Как раз по той причине, которую указала блоггерша: "Раз есть задача, должно быть и решение". Дети к этому приучены, и авторитет учителя заставляет их предположить, что какое-то решение есть. Трудно - невозможно - отделить случай "вообще не вник в условие, сложил два числа, как обычно требуется" от случая "выглядит бредом, но они хотят, чтобы я что-то сделал, и надо дать какой-то ответ, от фонаря попробую сложить". Эксперимент не чистый.
Поэтому мне больше нравится другая задача в том же духе, которую вычитал в одной из статей, которые пролистал в проходе по цепочке к первоисточнику задачи про возраст капитана. Это задача про хобби учеников. Сначала условие, и решите сами перед тем, как продолжать читать - далее я объясню, чем она интересна.
Класс из 30 учеников попросили ответить, есть ли у них хобби читать или играть на музыкальном инструменте в свободное время. Результаты: 16 учеников читают, 13 занимаются музыкой, 5 не занимаются ни тем ни другим.
1. Сколько учеников и читают, и занимаются музыкой?
2. Сколько из тех, кто занимается музыкой, не читают?
3. Сколько из тех, кто читает, не занимается музыкой?
Теперь объясню, что интересно в этой задаче (вы ведь уже ответили для себя на все три вопроса, верно?)
Автор статьи предложил эту задачу 56 ученикам 5-8 классов и получил следующий результат, который я бы никогда не предсказал. 100% учеников правильно ответили на первый вопрос (ответ: 4), но только 25% правильно ответили на второй, и столько же на третий. В обоих случаях самым частым неправильным ответом было тоже 4, плюс многие просто не ответили.
Меня это удивило поначалу, потому что я не мог понять, как можно правильно ответить на первый вопрос и после этого затрудниться с остальными. Автор объясняет это так (и вроде бы объяснения самих учеников эту версию поддерживают). Большинство складывают 16+13+5, получают 34, т.е. на 4 больше, "чем надо", и поэтому "понимают", что 4 это правильный ответ на первый вопрос. Но при этом модели ситуации в голове у них не возникает, т.е. они не видят диаграмму Венна или другое деление на группы. По сути дела они манипулируют числами, не пытаясь продумать смысл задачи, и неверные ответы на 2-3 вопросы это демонстрируют.
Я повторил этот эксперимент на очень репрезентативной отборке n=1 (ученица 5 класса) и подтвердил результаты исходной статьи. Ю. быстро ответила "4" на первый вопрос, но надолго задумалась над вторым и третьим; сначала пыталась объяснить, что это невозможно узнать, а потом решила, что ответ будет 16 и 13. Кстати, полагаю, что многие ученики, не продумывающие модель вопроса, не понимают сознательно, что между 16 и 13 есть пересечение (казалось бы, их верный ответ на первый вопрос предполагает это, но может быть, они представляют это, не продумывая как следует, что "и то и другое" это отдельный вид ответа, не указанный в условии). Только когда я попросил Ю. как следует еще раз подумать над условием задачи и над тем, что означают числа '16', '13' и '5' и какие ученики в них входят, она дошла - не сразу - до правильного ответа на второй и третий вопросы; и тогда по ее объяснениям уже было понятно, что она построила правильную "картинку" в голове, которой вначале, несмотря на правильный ответ на первый вопрос, у нее не было.
Мораль та же, что с задачей про возраст капитана - ученики привыкают бездумно проводить арифметические операции и выдавать "логичный" ответ; для того, чтобы научить их решать задачи, важно проверять и форсировать их умение строить модели в голове - но эксперимент более чистый, потому что нет загрязняющего фактора "авторитет учителя заставляет игнорировать сущий абсурд".